线性代数第二章答案.doc

第二章　矩阵及其运算

1. 已知线性变换:
,
求从变量x1, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换.
解 由已知:
,
故 ,
.

2. 已知两个线性变换
, ,
求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换.
解 由已知

,
所以有.

3. 设, , 求3AB-2A及ATB.
解
,
.

4. 计算下列乘积:
(1);
解 .
(2);
解 =(1´3+2´2+3´1)=(10).
(3);
解 .
(4) ;
解 .
(5);
解

=(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3)
.

5. 设, , 问:
(1)AB=BA吗?
解 AB¹BA.
因为, , 所以AB¹BA.
(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?
解 (A+B)2¹A2+2AB+B2.
因为,
,
但 ,
所以(A+B)2¹A2+2AB+B2.
(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?
解 (A+B)(A-B)¹A2-B2.
因为, ,
,
而 ,
故(A+B)(A-B)¹A2-B2.

6. 举反列说明下列命题是错误的:（也可参考书上的答案）
(1)若A2=0, 则A=0;
解 取, 则A2=0, 但A¹0.
(2)若A2=A, 则A=0或A=E;
解 取, 则A2=A, 但A¹0且A¹E.
(3)若AX=AY, 且A¹0, 则X=Y .
解 取
, , ,
则AX=AY, 且A¹0, 但X¹Y .
7. 设, 求A2, A3, × × ×, Ak.
解 ,
,
× × × × × ×,
.

8. 设, 求Ak .
解 首先观察
,
,
,
,
× × × × × ×,
.
用数学归纳法证明:
当k=2时, 显然成立.
假设k时成立，则k+1时，

,
由数学归纳法原理知:
. （也可提取公因式，变成书上的答案）

9. 设A, B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.
证明 因为AT=A, 所以
(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,
从而BTAB是对称矩阵.

10. 设A, B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明 充分性: 因为AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以
(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,
即AB是对称矩阵.
必要性: 因为AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以
AB=(AB)T=BTAT=BA.

11. 求下列矩阵的逆矩阵:
(1);
解 . |A|=1, 故A-1存在. 因为
,
故 .
(2);
解 . |A|=1¹0, 故A-1存在. 因为
,
所以 .
(3);
解 . |A|=2¹0, 故A-1存在. 因为
,
所以 .
(4)(a1a2× × ×an ¹0) .
解 , 由对角矩阵的性质知
.

12. 解下列矩阵方程:
(1);
解 .
(2);
解

.
(3);
解

.
(4).
解
.

13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1);
解 方程组可表示为
,
故 ,
从而有 .
(2).
解 方程组可表示为
,
故 ,
故有 .

14. 设Ak=O (k为正整数), 证明(E-A)-1=E+A+A2+× × ×+Ak-1.
证明 因为Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因为
E-Ak=(E-A)(E+A+A2+× × ×+Ak-1),
所以 (E-A)(E+A+A2+× × ×+Ak-1)=E,
由定理2推论知(E-A)可逆, 且
(E-A)-1=E+A+A2+× × ×+Ak-1.

证明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A).
另一方面, 由Ak=O, 有
E=(E-A)+(A-A2)+A2-× × ×-Ak-1+(Ak-1-Ak)
=(E+A+A2+× × ×+A k-1)(E-A),
故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+× × ×+Ak-1)(E-A),
两端同时右乘(E-A)-1, 就有
(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+× × ×+Ak-1.

15. 设方阵A满足A2-A-2E=O, 证明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1.
证明 由A2-A-2E=O得
A2-A=2E, 即A(A-E)=2E,
或 ,
由定理2推论知A可逆, 且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E,
或
由定理2推论知(A+2E)可逆, 且.

证明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 两端同时取行列式得
|A2-A|=2,
即 |A||A-E|=2,
故 |A|¹0,
所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|2¹0, 故A+2E也可逆.
由 A2-A-2E=O ÞA(A-E)=2E
ÞA-1A(A-E)=2A-1EÞ,
又由 A2-A-2E=OÞ(A+2E)A-3(A+2E)=-4E
Þ (A+2E)(A-3E)=-4 E,
所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1,
.

16. 设A为3阶矩阵, , 求|(2A)-1-5A*|.
解 因为, 所以

=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8´2=-16.

17. 设矩阵A可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*.
证明 由, 得A*=|A|A-1, 所以当A可逆时, 有
|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1¹0,
从而A*也可逆.
因为A*=|A|A-1, 所以
(A*)-1=|A|-1A.
又, 所以
(A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*.

18. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明:
(1)若|A|=0, 则|A*|=0;
(2)|A*|=|A|n-1.
证明
(1)用反证法证明. 假设|A*|¹0, 则有A*(A*)-1=E, 由此得
A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,
所以A*=O, 这与|A*|¹0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.
(2)由于, 则AA*=|A|E, 取行列式得到
|A||A*|=|A|n.
若|A|¹0, 则|A*|=|A|n-1;
若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.
因此|A*|=|A|n-1.

19. 设, AB=A+2B, 求B.
解 由AB=A+2E可得(A-2E)B=A, 故
.
20. 设, 且AB+E=A2+B, 求B.
解 由AB+E=A2+B得
(A-E)B=A2-E,
即 (A-E)B=(A-E)(A+E).
因为, 所以(A-E)可逆, 从而
.

21. 设A=diag(1, -2, 1), A*BA=2BA-8E, 求B.
解 由A*BA=2BA-8E得
(A*-2E)BA=-8E,
B=-8(A*-2E)-1A-1
=-8[A(A*-2E)]-1
=-8(AA*-2A)-1
=-8(|A|E-2A)-1
=-8(-2E-2A)-1
=4(E+A)-1
=4[diag(2, -1, 2)]-1

=2diag(1, -2, 1).
22. 已知矩阵A的伴随阵,
且ABA-1=BA-1+3E, 求B.
解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.
由ABA-1=BA-1+3E得
AB=B+3A,
B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A

.

23. 设P-1AP=L, 其中, , 求A11.
解 由P-1AP=L, 得A=PLP-1, 所以A11= A=PL11P-1.
|P|=3, , ,
而 ,
故 .

24. 设AP=PL, 其中, ,
求j(A)=A8(5E-6A+A2).
解 j(L)=L8(5E-6L+L2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]
=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).
j(A)=Pj(L)P-1

.

25. 设矩阵A、B及A+B都可逆, 证明A-1+B-1也可逆, 并求其逆阵.
证明 因为
A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,
而A-1(A+B)B-1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A-1(A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆.
(A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(A+B)-1A.

26. 计算.
解 设, , , ,
则 ,
而 ,
,
所以 ,
即 . （最后一行的-9也可除以-1变成9，从而变成书上的答案）
27. 取, 验证.
解 ,
而 ,
故 .

28. 设, 求|A8|及A4.
解　令, ,
则 ,
故 ,
.
.

29. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆, 求
(1);
解 设, 则
.
由此得 Þ,
所以 .
(2).
解 设, 则
.
由此得 Þ,
所以 .

30. 求下列矩阵的逆阵:
(1);
解 设, , 则
, .
于是 .
(2).
解 设, , , 则

.