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《点集拓扑》复习题
一、概念叙述
1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A的凝聚点
4、闭包 5、基 子基 6、子空间
7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集
10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间
13、空间 14、空间 15、可分空间
16、空间 17、空间（） 18、正则空间
19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间
22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间
二、判断题
1、有限集不可能有聚点 （ ）
2、拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是 （ ）
3、如果，则 （ ）
4、设Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的子集，则A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交。 （　）
５、若是同胚映射，则　　　　（　　）
６、离散空间中任意子集的导集都是空集　　　　（　　）
７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集　　　（　）
８、度量空间必是空间　　（　　）
９、在中，是开集　　　（　）
１０、映射是连续映射的若拓扑空间Ｘ中序列收敛于，则扑拓空间Ｙ中相应序列收敛于　　　（　）
１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则　　　　　　　　　（　　　）
１２、空间必为可分空间　　（　　）
１３、正则且正规空间必为空间　　（　）
１４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集　（　）
１５、设Ｘ是一个拓扑空间，，则点是集合Ａ的一个凝聚点在中有一个序列收敛于　　　（　　）
１６、度量空间也是拓扑空间　（　）
１７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间　　（　）
１８、拓扑空间是一个连通空间当且仅当中不存在既开又闭的非空真子集. ( )
19、若拓扑空间中的子集是连通集，则它的闭包也是一个连通集。
20、设、是拓扑空间中的两个连通子集，则也是的一个连通子集 （ ）
21、如果、是拓扑空间中两个不交的开子集，则、必是X中隔离子集 （ ）
22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性 （ ）
23、正规空间必是Hausdorff空间 （ ）
24、在一个紧致的空间中，一个集合是紧致子集它是一个闭集（ ）
25、紧空间必是Lindelǒf空间 （ ）
26、度量空间中紧致集必是有界闭集 （ ）
27、正则空间必是Hausdorff空间 （ ）
28、设是空间、的积空间，,分别是、中闭集 （ ）
29、设、是拓扑空间中两个子集，并且，则有 （ ）
30、若拓扑空间是连通空间，则必是局部连通空间 （ ）
三、填空
1、设是同胚映射，则必是一一映射，并且 和 都是连续的。
2、设是拓扑空间的子集，的拓扑称为 ；拓扑空间称为的 。
3、连通空间中既开又闭的子集只能是 和 。
4、设是拓扑空间，若的每一 覆盖都有一个 ，
则是Lindelǒf空间。
5、正规的 空间或紧致的 空间是空间。
6、是拓扑空间。若的每一个 开覆盖都有 ，则是可数紧致空间。
7、如果是离散空间中一个非空连通子集，则必是 。
8、如果是一个可数集，则上的可数补拓扑空间必定是 。
9、设是离散度量空间，上度量为则中任一点的球形邻域 。
10、在拓扑空间中，如果子集是开集，是闭集，则是 是 。
11、设是实数集上的可数补空间，是中一个可数集，是中一个不可数集，则 ，= 。
12、如果集合上的任一拓扑，拓扑空间都是紧致空间，则必是 。
13、在平面空间中，度量定义为任意两点则以原点为中心，为半径的球形邻域的图形是 。
14、积空间的子基元素的一般形式是 或 。
15、设是实数空间的一个子空间，则的子集是的 。
16、在实数空间中，取为整数集，为有理数集，则 ，
。
17、设=，上拓扑，取子集，则
。
18、如果是平庸空间，则必为紧致空间，它的每一个开覆盖A，必有有限子覆盖= 。
四、单选题
1、设=，它的一个拓扑是（ ）

2、设是拓扑空间，为所有闭集构成的族，则有（ ）．
若 则有
若 则有
若 则
3、设为拓扑空间，则对，必有（ ）．
是闭集
4、设为拓扑空间，，则有 （ ）．
的任意邻域都是的开集 的任意邻域都是的闭集
包含的开集都是的邻域
若是的邻域，但不是的邻域
5、已知是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间中的开集是 （ ）．

其中．
6、设，是平庸拓扑，中两子集是隔离的是（ ）．
与 与 与 与
7、下面命题中正确的是（ ）．
平庸空间是空间
在空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列
空间未必是空间 空间中每一单点集都是闭集
8、若是空间，则必是（ ）．
正则空间 正规空间 空间 空间
9、下面不连通的拓扑空间是（ ）．
实数空间 平庸空间
包含多于两个点的离散空间
拓扑学家正弦曲线
10、下面正确的命题是（ ）．
设是连续映射，若 满足第二可数性公理（即是空间），则 也是空间。
空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。
若拓扑空间都是空间，则积空间也是空间。
空间未必满足第一可数性公理。
11、拓扑空间中，是隔离子集，则在子空间中子集是（ ）．
开集，但不是闭集 闭集，但不是开集
既是开集，又是闭集 既不是开集，又不是闭集
12、在实数空间中，子集，，，，其中可能有同胚关系的是（ ）．
与 与 与 与
13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为空间”的（ ）。
充分条件 必要条件
充分必要条件 既不是充分条件，也不必要条件
14、设是实数空间的一个子空间，则中的子集是的（ ）．
开集，但不是闭集 闭集，但不是开集
既是开集，又是闭集 既不是开集，又不是闭集
15、设集合上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正确的是（ ）
是空间 是空间
是可分空间 是空间
16、拓扑空间中“只有单点集”是“为离散空间”的（ ）
充分条件 必要条件
充分必要条件 既不是充分条件，也不必要条件
五、证明题
1、设是一个集合，令，则是的一个拓扑．
2、有理数集作为实数空间的子空间是不连通的．
3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理．
4、拓扑空间的子集是开集的充要条件是是它的每一点的邻域．
5、若是空间，则中的每个单点集都是闭集。
6实数空间不是一个紧致空间。
7、包含不少于两个点的平庸空间不是空间。
8、设为度量空间，如果为有限集，证明：为离散空间。
9、设为拓扑空间，证明：如果的每一个子集都满足，则是离散空间。
10、设为拓扑空间， （其中为实数空间）是连续映射，证明中的子集为开集。
11、证明：正则的空间必是空间。
12、证明：实数集上的可数补拓扑空间必是一个空间。
13、设是度量空间，证明：如果有一个基只含有有限个元素，则必为有限集，且是离散空间。
14、证明：可分空间的任一个开子空间都是可分空间。
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