模型为本 意识为标 普适为径——培养小学生“模型意识”的理路研究和实践探索.pdf

教师新Teachers Today【编者按】数学为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式。学会用数学的语言表达世界，是数学核心素养的重要内涵。作为数学语言的重要表现之一，义务教育数学课程标准（2022年版）将原来的“模型思想”分为“模型意识”与“模型观念”。小学生具备较好的模型意识，不但有助于学生应用意识的培养，还能够为其后续模型观念的确立打下坚实的经验基础。数学模型存在于数学学科的方方面面，发挥着不可替代的作用。教师如何引导学生形成对数学模型的普适性初步感悟？如何培养学生以数学的概念或方法解释现实问题？本期话题就学生的模型意识培养展开探讨。小学数学中有这样一道题目：水池有一根进水管和一根出水管，打开进水管6小时可将空池注满，打开出水管9小时可以放完满池的水。如果同时打开进水管和出水管，多少小时可以把空池注满？这道题本是培养学生模型意识的经典题目，却有不少教师觉得难教，学生也觉得难以理解，甚至有人对这道题设计的意义提出了质疑，这就是数学教学中模型意识缺失所带来的典型后果。义务教育数学课程标准（2022年版）（以下简称课程标准）中将原“模型思想”分解为模型意识和模型观念，让模型思想的内涵更有层次感，也更具有可操作性。模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。但这个概念对一线教师来说，理解上有些难度，不知道如何去落实。造成上述不利局面的原因：一是对数学模型的认识不清晰，总觉得这是一个很高大上的概念；二是对“初步感悟”所表达的意思理解不明朗，不知道这种“意识”该如何落地。要解决这种困境，就有必要对模型意识这个概念进行详细的解读，进而提炼出培养模型意识的思路。一、模型为本根据课程标准中对模型意识的解释，要理解此概念，首先一定要理解数学模型。关于数学模型的解释，一般分为狭义和广义两种。狭义地讲，数学模型是指反映了特定问题或特定事物系统的数学结构。1广义地讲，数学模型就是为解决现实生活中的问题而模型为本意识为标普适为径罗建华培养小学生“模型意识”的理路研究和实践探索【摘要】模型意识是指对数学模型普适性的初步感悟。如何培养小学生的模型意识？本文纵向对比了不同学段有关模型思想的核心素养表现：小学阶段的模型意识、初中阶段的模型观念、高中阶段的数学建模；横向对比了模型意识和应用意识，梳理相关文献，进行理路研究。笔者建议在小学阶段对数学模型采用广义的解释，即数学中的概念、公式等，都是从生活中抽象出来的数学模型，它可以应用到现实生活中，帮助我们解决同一类的问题，是数学应用的基本途径。结合小学生的年龄特点，本文提出了“模型为本、意识为标、普适为径”的模型意识基本培养思路，并呈现了部分实践探索形成的案例。【关键词】模型意识应用意识数学模型普适性32建立的数学概念、定义、公式、性质、定理、规律、法则、图表、图形、数量关系式等。2狭义的理解更为精准，主要是解释了数学建模中的“模”。而广义的理解缺乏一定的技术性含义，是一种比较宽泛的理解，它把数学中的各种概念、理论和公式等都称为数学模型，甚至数学都被说成是一门关于数学模型的学科。3可见数学模型在数学中的重要地位。在小学阶段，应该如何理解数学模型呢？对比小学、初中、高中三个学段关于模型思想的核心素养表现小学阶段的模型意识、初中阶段的模型观念、高中阶段的数学建模，或许能给我们一些启发。从课程标准的解释来看，小学阶段的模型意识侧重于对数学模型普适性的“初步感悟”，初中阶段的模型观念侧重于对运用数学模型解决问题“有清晰的认识”，而到了高中阶段，则要求用数学方法构建模型解决问题。整个体系遵循了从“感悟认识应用”逐步升级的认知规律。对模型意识的理解偏差，很大程度上是混淆了数学模型和数学建模这两个概念。细读课程标准会发现，在小学阶段并没有出现数学建模的概念，初中开始要求“初步感知数学建模的基本过程”，高中则要求具体了解数学建模的具体过程。从这个意义上来说，小学阶段的模型意识尚未上升到“建模”层次，而仅仅停留在对“模型”的理解阶段。由此可见，数学建模是培养学生模型意识与模型观念的高阶目标，模型观念是初步感知数学建模的基本过程，模型意识则是要让学生知道数学模型可以用来解决一类问题。因此，在小学阶段我们更愿意把数学模型做广义的理解，即数学中的概念、公式等，都是从生活中抽象出来的数学模型，它可以应用到生活中，帮助我们解决同一类的问题，是数学应用的基本途径。这样的理解更有利于模型意识的推广，帮助学生建立模型观念，为提升学生的数学建模能力打下扎实的基础。例如，我们来分析“1”这个数字。生活中其实是没有1的，只有1个人、1个苹果、1支铅笔等。数字1是从这些数量为1的事物中抽象出来的符号，它还可以表示1辆车、1个班、1个地球等。因此，哪怕是最简单的数字1，都可以看作是一个数学模型。二、意识为标如何来把握模型意识这个概念呢？对比课程标准中有关模型意识和应用意识的解释，会发现两者有很多的相同之处，如都出现了“现实世界”“解释”“跨学科”“解决”“问题”等词语。从两者的内涵上分析，应用意识是有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题。而在模型意识中，广义视角下的数学模型将数学的概念、原理和方法等包含在内；解释现实世界中的现象和规律，解决现实世界中的问题，体现出了数学模型的普适性。可以看出，两者的内涵从本质上讲是紧密相关的。再从两者的外延上加以分析。一是模型意识要求学生能够认识到现实世界中大多数的问题都与数学有关，要有意识地用数学的概念和方法进行解释；应用意识是要求学生能够感悟现实生活中蕴含着大量的与数量和图形有关的问题，能用数学的方法进行解决。从以上解释可以看出，两者都是在建立数学和生活的联系，要应用数学去解释或解决现实世界中的问题。二是模型意识要求学生知道数学模型可以解决一类问题，是数学应用的基本途径；而应用意识要求学生初步了解数学作为一种通用的科学语言在其他学科中的应用。可以解决一类问题，也就是在这类问题中可以通用，因此两者都在强调数学的通用、应用的重要性，只是表述上有略微的不同。从以上分析可以看出，模型意识与应用意识在内涵和外延上都有很多相似之处，或者我们也可以这样来理解模型意识是培养应用意识的主要路径。在小学阶段，不能对学生的模型意识有过高的要求，它只是数学建模的初级阶段。所以，我们在教学中要侧重于对“意识”的把握，应以“意识”为目标，引导学生产生和巩固这样的意识：数学中的概念、公式等，都是从生活中抽象出来的数学模型，它可以应用到生活中，帮助我们解决同一类的问题。而这个度，则是达到“初步感悟”即可。三、普适为径课程标准对于模型意识的解释中还有三个字Focus on Subjects学科专辑/“小学数学教学渗透模型意识培养”研究专辑33教师新Teachers Today非常重要，那就是“普适性”。普适性是指某一事物（特别是观念、制度和规律等）比较普遍地适用于同类对象或事物的性质。普适性是很多理论研究者一生所追求的目标，希望能将某个理论推而广之，从一个局部性的知识升级为具有普遍性的知识。4换而言之，模型意识的落地，就是要把数学中学到的东西，应用到生活中去，解决同一类的问题。就如我们解决一个数学问题，便不仅仅是会做这一道题，而是要从中提炼出方法，能解决生活中这一类的问题，这就是数学模型的普适性。要做到“普适为径”，需要培养和强化师生的几种意识和能力。一是抽象。数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学的研究对象，就是事物中的数与形以及彼此之间的关系，这也是学生学习数学时应主要关注的两个方面。只有抽象出了结构，才有可能建立模型。因此在教学中，我们要善于创设尽量真实的情境，更要善于抽象出数和形，集中学生的注意力，去解决数学问题。例如，我们在教学生认识“1”的时候，就要先给他们呈现多种数量为1的事物，引导学生发现这些事物的相同点是数量都为1，从而抽象出“1”这个符号；然后再来学习读1、写1，并请学生用1来说一句话；最后，学生回家还要找出生活中数量为1的事物，跟家长交流，充分体会1的应用价值。再如，在认识长方形和正方形的特征时，我们就要呈现各种各样的图形，并从中找出长方形和正方形，再提炼找的依据是什么，这些依据就是长方形和正方形的特征。根据抽象出来的共同点，学生就能建立起长方形和正方形的模型，也为他们在以后的学习和生活中判断一个图形是否是长方形和正方形，甚至是制造一个长方形和正方形提供可靠的支撑。二是对比。数学模型的价值在于，它能解决一类问题，而不是一个问题。当抽象出了一个模型后，要培养学生对比的意识和能力，找到同类事物中的对应元素，才能让数学模型精准地发挥作用。例如，我们在教学“鸽巢原理”时，先通过研究鸽子和巢的数量，以及可能出现的结果，抽象出鸽巢原理的模型；然后提供典型的或变式的事例作为练习，用来对比找出其中的“鸽”和“巢”，培养学生的对比意识和能力，从而实现模型意识的落地（如下表所示）。表1“鸽巢问题”的练习设计表格练习5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人一副牌，取出大小王，还剩52张牌，任意抽取5张，至少有2张是同花色的随意找13位教师，他们中至少有2个人的属相相同医院的 3楼有 3位医生，楼道里有 5位病人在候诊，至少有2位病人会找同一位医生看病鸽5个人5张牌13位教师5位病人巢4把椅子4种花色12种生肖3位医生本文开篇提到的同时打开进水管和出水管的数学模型，可以用来解决生活中许多同类型的问题。最典型的就是自来水厂的蓄水池，一边要出水，供应居民生活所需，一边要给蓄水池补充水，保持蓄水池的水量，而补充水量的大小要根据供水量的大小来设定。还有同样用来蓄水的水库，当下大雨的时候，水库就要泄洪，否则就会冲垮堤坝。一边在下雨，就是进水，一边在泄洪，就是在出水，而泄洪的水量也是要根据降雨量的大小来计算。再延伸一下，我们去参观一个室内展览，随时都有人进出。当参观的人数很多时，也需要用到这个模型，要统计人们在里面参观的平均时间，调查室内最大能容纳多少人，再来计算单位时间可以放进去多少人，这样就可以让我们更加合理地利用资源，实现资源利用效益的最大化。当学生具备了这种对比的意识和能力，数学模型的普适性才能更好体现。三是推广。推广其实就是应用，在这里之所以用推广一词，笔者是想凸显数学模型的“普适性”。首先，教师要有推广的意识，不管教什么内容，都要首先想一想它可以如何推广，这是推动数学发展的动力之一，因为人们总是愿意花时间花精力去学习有用的东西。例如，学生第一次认识加法算式 1+12，我们先让学生充分理解这个算式各部分的意义，掌握读法与写法，然后就要进行推广。我们可以让学生想一想、说一说：生活中还有哪些问题也可以用 1+12来解决？学生就会说：我有1个爸爸，1个妈妈，一共有几个大人？我有1支铅笔，妈妈又给我买了1支，34现在有几支铅笔？我昨天在学校认识了1个好朋友，今天又认识了1个好朋友，我现在有几个好朋友然后，我们便可以总结：这么多的问题，数学中一个算式就解决了，这个算式是什么？是 1+12。相信这个时候，在学生心中，1+12就不再是一个冷冰冰的算式。它是一把神奇的钥匙，可以打开很多扇门。当推广意识作为一种自觉性传递给学生后，他们对数学的价值有了更加笃定的理解，模型意识才算是真正落地。其次，教师要有推广的能力，要善于分解结构，根据关键要素去寻找同类事物，才能进行推广。开篇的那道题，从数学的角度出发，解决这道题的关键是要理解速度差，也就是把水池的蓄水量看作单位“1”，则进水的速度为16，出水的速度为19，速度差为1619=118，然后用1118=18（时）。所以，理解速度差是解决这个问题的关键。根据速度差就能联想到追及问题，追及问题的基本模型是路程差速度差=追及时间。我们可以把“进水”理解为一个跑得快的人，“出水”理解为一个跑得慢的人，他们之间的路程差就是“1”，两者的速度差什么时候把这个“1”填满了，水池就什么时候被注满。也就是说，同时打开进水管和出水管把水池注满的问题，其实是追及问题模型的一个应用。这样一来，就非常形象生动了。所以，讲完出水管进水管的问题之后，我们可以推广到这样的题目：小明和小红早上上学走同一条路，两家相距400米，小明上学要经过小红家，小明的速度是100米/分，小红的速度是60米/分。有一天他们同时出发，小明多少分钟能追上小红？也可以推广到这样的题目：哥哥和弟弟一起做口算题，哥哥每分钟可以做30道题，弟弟每分钟可以做25道题，为了公平，哥哥先让弟弟做了20道题，哥哥几分钟可以和弟弟做的题一样多？这种推广能力，一定是建立在对这个数学模型深入分析的基础上，找到关键要素，方能推而广之。综上所述，要培养学生的模型意识，数学教师应该有这样三个基本的认识：一是模型为本，认识到数学中的概念、公式等，都是从生活中抽象出来的数学模型。二是意识为标，数学模型可以应用到生活中，帮助我们解决同一类的问题，是数学应用的基本途径。三是普适为径，要在教学中去强化师生的三种意识和能力抽象、对比、推广。（作者单位：重庆两江新区星湖学校）参考文献：1张晓刚，康慧.小学数学教学中建构数学模型的问题与对策J.教育理论与实践，2018，38（08）：57-58.2王永春.小学数学与数学思想方法M.上海：华东师范大学出版社，2014.3 路卫华.数学模型与数学结构在不同语境下的含义辨析J.科学技术哲学研究，2019，36（04）：65-69.4 张涛甫，徐亦舒.寻求对话：在舆论研究的特殊性与普适性之间J.新闻大学，2017（05）：23-28，146.购书方式：天猫旗舰店（）或直接联系：福建闽教图书有限公司当当网（）电话：[phone] 83721876本书汇集了陈丽云老师30年的写作教学观，包含各类文本写作的基本功和特点，收录了统编版教材三至六年级习作板块的教学设计，从读到写，将写作教学结构化，一步步培育学生写作力。发现统编版习作的奥秘作者：陈丽云（中国台湾）定价：50.00元Focus on Subjects学科专辑/“小学数学教学渗透模型意识培养”研究专辑35