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解三角形中有关范围问题的一般方法
江苏省阜宁中学 顾乃春
解三角形是高中数学的重要内容，是继三角函数、三角恒等变换之后的内容，所以解三角形问题常常和前面的知识综合应用，特别是在考查两角和与差的三角公式这个重要的知识点时，三角形作为主要的载体，在高考试卷中以填空题或解答题形式出现，近年又多以解答题形式出现，其中涉及范围的求解问题出现的频率又较高，应引起重视。求范围问题大体包括三角形中的角、角的三角函数值、边、面积的范围。本文以求三角形的面积为例来说明解决这类问题的主要方法。
例：半径为R的圆外接于，且.
①求角C； ②求面积的最大值；
①先利用正弦定理，再利用余弦定理易得；
②解法一：三角公式法
解：

当即时，取最大值为
从解三角形的角度出发，把所有的角都用一个未知角来表示，利用已学的三角公式：两角和与差正弦、余弦、正切公式，倍角公式来解决，包括公式的倒用、变用。作为解决这类问题的通解通法，一般较易想到。
解法二：积化和差（或和差化积）法
解：

当时，取最大值为
或解：

当时，取最大值为
此法也是三角公式法的一种，但此公式在教学中已经要求不高，所以把此法单独列出。把A-B看作整体或者把B用A来表示。从解法过程来看，虽然公式不要求掌握，但可以用两角和与差公式推导出，其实也是两角和与差公式的应用，如果掌握能更有效的解决相关问题。
解法三：导数法
解：

令

令 即
在上，单调递增； 在上，单调递减；

三角函数作为特殊的函数，由于在三角形中，所以角在一定的范围内，可以尝试利用导数来解决有关范围问题，会达到意想不到的效果，思维过程更简洁明了，这也是解决三角函数最值问题的通解通法。
解法四：基本不等式法
解：

又
当即时，

因为要求的范围中含有乘积的形式（或者和的形式），可以尝试利用基本不等式来解决范围问题或者最值问题，这样会更快捷。
解法五：数形结合法
C
A
H
B
D
解： 在⊙O中取弧
如图，当点C在弧上运动，
构成时，是满足条件的三角形。
过C作，垂足为H

C
A
H
B
O
线段AB的长为定值，当CH过圆心O时，
D
CH的长度最大。
此时CD为AB的垂直平分线，
则

运用数形结合的方法，来尝试处理作为基本几何图形的角的有关问题，可以充分利用几何性质，有时会达到巧妙的解题效果。此法有一定的技巧性，虽然不易想到，但对我们以后处理类似问题带来全新的启示。
本文主要以求面积的范围为例，其实有关角、角的三角函数值、边等的范围或者最值问题，这些方法一样适用。总之在解决解三角形有关范围问题时可以尝试利用1.两角和与差公式、倍角公式；2.积化和差或者和差化积公式；3.导数；4.基本不等式；5.几何性质。掌握了这些基本的方法，解决这类较复杂、较综合的问题就会游刃有余。
读者可以试用选用以上介绍的方法去完成以下练习：
①在△ABC中，若a，b，c满足2b=a+c,求∠B的取值范围.
②在△ABC中，已知BC=10，周长为25，则cosA的最小值.
③在△ABC中，已知2B=A+C，b=1，求a+c的取值范围.

练习题答案及提示：
题1是求三角形中角的范围类问题
提示：利用法四——基本不等式法可得
题2是求三角形中角的三角函数值范围类问题
提示：利用方法四——基本不等式法可得
题3是求三角形中边的范围类问题
提示：利用方法一——三角公式法；方法二——积化和差（或和差化积）法；方法五——导数法可得
1、解：∵2b=a+c
∴

又∵
∴
2、解：设三角形三边分别为a，b，c
∵a=BC=10，a+b+c=25
∴
∴
∴

∴
3、解：∵2B=A+C ∴ 又∵b=1
∴
∴a+c=2R(sinA+sinC)=其中
解法完全同文中例题，解略。
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