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专题复习 一次函数
考点一：一次函数的图象和性质
例1 对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点（-1，3） B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞1时，y＜0 D．y的值随x值的增大而增大
对应训练1．下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（　　）
A．y=2x+8 B．y=-2+4x C．y=-2x+8 D．y=4x
考点二：一次函数的图象和系数的关系
例2 如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
例3 P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=- x图象上的两点，下列判断中，正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．当x1＜x2时，y1＜y2 D．当x1＜x2时，y1＞y2
对应训练2．若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
3． A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．b=0 D．ab＜0
考点三：一次函数解析式的确定
例4 已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，-2）和点B（1，0），则k= 2
，b= -2
．
对应训练4．（2013•重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（　　）
A．y=2x B．y=-2x C．y= x D．y=- x
考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系
例5 函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（　　）
A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
例6 体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（　　）
进球数
0
1
2
3
4
5
人数
1
5
x
y
3
2
A．y=x+9与y=x+ B．y=-x+9与y=x+
C．y=-x+9与y=- x+ D．y=x+9与y=- x+
对应训练
5．直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b≥0的解集．

6．如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是 y=-x
．
考点五：一次函数综合题
例7 如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；

对应训练
7．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-（ +1）x+ =0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点六：一次函数的应用
例8某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）．
（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？
（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？

对应训练
8．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．
（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；
（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．

【聚焦中考】
1．一条直线y=kx+b，其中k+b=-5、kb=6，那么该直线经过（　　）
A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限
2．设点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y= 图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．一次函数y=-2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=-1时，y＞0．则b的取值范围是 -2＜b＜3
．
4．把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（　　）
A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4
5．甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行．图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系．则下列说法错误的是（　　）
A．乙摩托车的速度较快 B．经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点
C．经过0.25小时两摩托车相遇
D．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地 km

6．某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x（单位：台）
10
20
30
y（单位：万元∕台）
60
55
50
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该机器的生产数量；
（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价-成本）

7．根据要求，解答下列问题：
（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；
（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．
①求直线l3的函数表达式；
②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．
（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=- x垂直的直线l5的函数表达式．

8．如图，直线y=-x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

【备考真题过关】
一、选择题
1．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（　　）
A．- B．-2 C． D．2
2．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（　　）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
3．若反比例函数y=的图象过点（-2，1），则一次函数y=kx-k的图象过（　　）
A．第一、二、四象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
4．直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞-1 B．m＜1 C．-1＜m＜1 D．-1≤m≤1
5．张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（　　）
A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=-8t+25
B．途中加油21升
C．汽车加油后还可行驶4小时
D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升
6．小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

二、填空题
7．在一次函数y=（2-k）x+1中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为 k＜2
．
8．若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 k＞0
．
9．在一次函数y=kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第 四
象限．
10．已知，函数y=3x的图象经过点A（-1，y1），点B（-2，y2），则y1 ＞
y2（填“＞”“＜”或“=”）
11．（2013•永州）已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，-1），B（-1，3）两点，则k ＜
0（填“＞”或“＜”）
12．已知正比例函数y=kx的图象经过点A（-1，2），则正比例函数的解析式为 y=-2x
．
13．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则 的值为 ．
14．如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 y=-2x-2
．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-2，0），（-1，0），BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y=x+b经过点A，C′，则点C′的坐标是 （1，3）
．

16．如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 8
分钟该容器内的水恰好放完．
17．甲乙两地相距50千米．星期天上午8：00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地．2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y（千米）与小聪行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发 小时时，行进中的两车相距8千米．
三、解答题
18．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围．

19．莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；
（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润．

20．水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售收入-进货金额）

22．某公司专销产品，第一批产品上市40天内全部售完．该公司对第一批产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图10中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图11中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？（说明理由）

30
40
t／天
60
y日销售量／万件
Ｏ
图10
20
40
t／天
60
y销售利润/（元/件）
Ｏ
图11

23．已知：如图1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s;点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2).解答下列问题：
①.当t为何值时，PQ∥BC? ②.设⊿AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；
③.是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt⊿ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
④.如图2，连接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四边形PQP‘C,那么是否存在某时刻t，使四边形PQP’C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由。

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