第十七章勾股定理导学案.doc

17.1勾股定理 导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解勾股定理的由来 经历探索勾股定理的过程2、理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用【重点难点】重点：理解勾股定理，理解证明勾股定理的证明方法难点：勾股定理的证明知识概览图直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方公式（c为斜边长）勾股定理新课导引如果梯子底端离建筑物5米，17米长的梯子可以达到该建筑物的高度是多少？根据题目的意思，我们画出如右图所示的图形，已知AB=17米，AC=5米，ACB=90，如何求这个三角形的BC边的长呢？教材精华知识点1 有关勾股定理的历史古时候，把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，因此有勾3、股4、弦5之说.历史上，周朝数学家商高对周公说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”意思是说：矩形以其对角线相折所成的直角三角形中，如果勾为3，股为4，那么弦必为5.这足以说明我国是最早了解勾股定理的国家之一.知识点2 勾股定理的探索让我们通过计算面积的方法探索勾股定理.观察图18-1，正方形A中有9个小方格，即A的面积是9个单位面积.正方形B中有9个小方格，即B的面积是9个单位面积.正方形C中有18个小方格，即C的面积是18个单位面积.可以发现，C的面积=A的面积+B的面积.知识点3 勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【拓展】 （1）勾股定理存在的前提是直角三角形，如果不是直角三角形，那么三边之间就没有这种关系了.（2）勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想的典范.（3）勾股定理的证明.证明勾股定理的方法有许多，现在给出几种证法（拼图法）：证法1：如图18-2所示，因为大正方形的边长是a+b，所以面积为，而中间小正方形的面积为c2,周围四个直角三角形面积和为4，故有+4，整理得.证法2：如图18-3所示，图为大正方形的边长是a+b，所以它的面积为，又因为该正方形的边长与如图18-2所示的正方形的边长相等，所以面积也相等.故有+4=c2+4，整理得.证法3：如图18-4所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成的.S梯形，S梯形2+=ab+,，整理得.证法4：如图18-5所示，该图是由4个全等的直角三角形拼成的，且中间是正方法.以c为边的大正方形面积是c2，而4个直角三角形的面积和为4，且中间的小正方形的面积是.c2=4+（b-a）2,整理得.知识点4 勾股定理的应用（1）运用直角三角形三边的数量关系来解决生活中的实际问题，如已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长.（2）运用直角三角形三边的数量关系的变式，即勾股定理变式.由可以得到如下关系：；.课堂检测基础知识应用题1、在ABC中，C=90.（1）若a=5，b=12，求c；（2）若c=26，b=24，求a.2、在一棵树的10 m高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20 m的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的路程相等,那么这棵树有多高?综合应用题3、如图18-10所示，在ABC中，A=60，AB=15 cm，AC=24 cm，求BC的长.4、如图18-11所示，A，B两个村子在河CD同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1 km，BD=3 km,CD=3 km.现要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2000元.请在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用.探索创新题5、已知RtABC中，A，B，C的对边长分别为a,b,c，设ABC的面积为S，周长为l.(1) 请你完成下面的表格；a,b,ca+b-c3,4,55,12,138,15,17（2）仔细观察上表中你填定的数据规律，如果a,b,c为已知的正实数，且a+b-c=m，那么= （用含m的代数式表示）；（3）请说明你写的猜想的推理过程.体验中考1、图18-19是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是 （ ） A13 B26C47 D942、如图18-20所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）A5 B25C10+5 D35学后反思【解题方法小结】（1）求不规则图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形.（2）四边形中常通过作辅助线构造直角三角形，以利用勾股定理.（3）点到线的最短距离是垂线段的长度，在同一题中可能反复应用勾股定理.附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解析 利用勾股定理来求未知边长. 【解题方法】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理原式还是变式.解：在ABC中，C=90，所以.（1）因为，a=5,b=12，所以，所以c=13.（2）因为，c=36,b=24，所以.所以a=10.2、解析 如图18-9所示,设A为树根,D为树顶,B为猴子所在处,则AB=10 m,C为池塘,设BD=x m,已知两只猴子走过的路程相等,即DB+CD=AB+AC,就可以应用勾股定理求出CD,继而求出树高AD.解:如图18-9所示,B为猴子初始位置,则AB=10 m,C为池塘,则AC=20 m.设BD=x m,则树高AD=(10+x)m.BD+CD=AB+AC,x+CD=20+10.CD=(30-x)m.在RtACD中,A=90,由勾股定理得,202+（10+x）2=(30-x) 2,x=5.树高AD=10+5=15(m).3、解析 本题中并没有直接给出直角三角形，可作垂线构造直角三角形.已知A=60，因此作AB边上的高或AC边上的高，运用含30角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解.解：过点C作CDAB，垂足为D，所以ADC=90.因为A=60，所以ACD=30.所以AD=AC=24=12（cm）.又因为AB=15 cm,所以BD=AB-AD=15-12=3（cm）.在RtADC中，.在RtBCD中，.所以BC=21（cm）.4、解析 若最省钱只需AO+BO最小，可将A，O，B放在一条线段上考虑，故只需找到点A关于CD的对称点A，连接AB交CD于O，则水厂建在O点处即可，构造直角三角形，应用勾股定理就可求出各边长.解：作点A关于CD的对称点A，连接AB交CD于点O，则O点就是水厂的位置.过A作AHCD交BD延长线于H，AHB为直角三角形.在RtAHB中，AH=CD=3，BH=BD+DH=BD+AC=BD+AC=1+3=4，由勾股定理得AB=5，总费用为20005=10000（元）.5、解：（1）表格中左栏从上至下依次填2，4，6，右栏从上至下依次填，1，.（2）（3）推理过程如下：因为，所以=.又因为S=，所以，即.体验中考1、C 解析 由正方形面积和勾股定理可得E的面积为（32+52）+（22+32）=47.2、B 解析 空间为AB=5，而此题蚂蚁是在长方体表面爬行，因此不能选A.17.2 勾股定理的逆定理知识精点1勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式，则这个三角形是直角三角形2勾股定理的作用：判断一个三角形是不是直角三角形3用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题重、难、疑点重点：掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直难点：用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题疑点：如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题典例精讲例1 试判断：三边长分别为的三角形是不是直角三角形？方法指导：先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判断解：，为三角形的最大边又，由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形方法总结：判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边，再看最大边的平方是否是另两边的平方和若是则是直角三角形，反之不是举一反三 试判断：三边长分别为的三角形是不是直角三角形？解：mn0，为三角形的最大边，又，由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形例2 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且求证：AEF是直角三角形方法指导：要证AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证即可解：证明：设正方形ABCD的边长为a，则，在RtABE中，由勾股定理得：同理在RtABE中，由勾股定理得：在RtCEF中，由勾股定理得：AEF是直角三角形方法总结：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一举一反三 如图，在四边形ABCD中，B=90，AB=BC=4，CD=6，DA=2，求DAB的度数解：连接AC，在RtABC中，B=90，AB=BC=4，BAC=45，在ADC中，ADC是直角三角形，DAC=90DAB=BAC+DAC=45+90=135例3 如图，DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上的中线DG=8cm，求DEF的面积方法指导：利用勾股定理的逆定理解题解：EF=30cm，DGE是直角三角形，即DGEF，方法总结：利用勾股定理的逆定理可证两线垂直举一反三 已知如图，B=D=90，A=60，AB=10，CD=6，求四边形ABCD的面积解：延长AD、BC交于点E在RtABE中，B=90，A=60，AB=10，AE=20由勾股定理可得：，在RtCDE中，CDE=90，E=30，CD=6，四边形ABCD的面积为：例4 已知ABC的三边长为a，b，c，且满足，试判断ABC的形状方法指导：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论解：，或当时，有由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；当时，有a=b，此时三角形是等腰三角形综上，ABC是直角三角形或等腰三角形方法总结：此题易犯的错误是由得，漏掉这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性举一反三 若ABC的三边满足条件，试判断ABC的形状解：，a=5，b=12，c=13，ABC是直角三角形例5 如图，在四边形ABCD中，C=90，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：ADBD方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题解：在RtBCD中，BC=4，CD=3，由勾股定理得：，即BD=5在ABD中，BD=5，AB=13，AD=12，由勾股定理逆定理知：ABD是直角三角形，且ADB=90，ADBD方法总结：判断三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理，只要满足表达式的形式，就可判断三角形是直角三角形举一反三 如图，在ABC中，ADBD，垂足为D，AB=25，CD=18，BD=7，求AC解：在RtADB中，AB=25，BD=7，由勾股定理得：AD=24在RtADC中，AD=24，CD=18，例6 如图，已知ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，求证：方法指导：证明线段的平方关系，应注意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造直角三角形，从而为用勾股定理创造前提条件解：过点A作AEBC于EAB=AC，BE=EC又AEBC，.方法总结：构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三角形在解决问题的过程中，代数和几何的知识经常结合应用举一反三 如图所示，DE=m，BC=n，EBC与DCB互余，求知识网络学法点津勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若，则三角形是直角三角形；若，则三角形是锐角三角形；若，则三角形是钝角三角形所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边同步练习一1已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为正整数），则这个三角形是_三角形，理由是_2若一个三角形的三边长为m+1，8，m+3，当m=_时，此三角形是直角三角形，且其中m+3是斜边3在ABC中，a=2，b=5，则当时，C=904如果一个三角形的三条边长分别是a，b，c，当时，那么这个三角形是_三角形5已知ABC中，AB=k，AC=2k1，BC=3，当k=_时，C=906我们知道，像“3，4，5”，“6，8，10”，“5，12，13”，“7，24，25”这样的每组三个数是勾股数；已知m、n是正整数，mn，设三个勾股数中的最大一个是（1）用含n，m的代数式表示前两个勾股数是_、_（2）如a，b，c是一组勾股数，并且这三个数没有大于1的公因数，则这样的一组勾股数称为基本勾股数例如“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”请再写出一组不同于这三例的基本勾股数：_7如果线段a，b，c能组成一个直角三角形，那么（ ）A也能组成一个直角三角形B只能组成一个锐角三角形C不能组成三角形D无法确定8以下列长度的各组线段为边，能组成直角三角形的是（ ）A2cm，3cm，5cmB2cm，1.5cm，2.5cmC7cm，8cm，10cmD9三角形各边（从小到大）长度的平方比如下列各组数据，其中不是直角三形的是（ ）A1：1：2B1：3：4C9：25：26D25：144：16910下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）Aa=1.5，b=2，c=3Ba=7，b=24，c=25Ca=6，b=8，c=10Da=3，b=4，c=511三角形的三边长为a，b，c，且满足等式，则此三角形是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形12给出下列几组数：（1）5，6，7；（2）8，15，6；（3）；（4）其中能作为直角三角形的三条边长的有（ ）A1个B2个C3个D4个13适合下列条件的ABC中，直角三角形的个数为（ ）（1）；（2）a=b，A=45；（3）A=32，B=58；（4）a=7，b=24，c=25；（5）a=25，b=2，c=314一个三角形三边的长分别是15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是（ ）A12cmB10cmCD15如图18.2-4，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，B=90，求四边形ABCD的面积16已知：如图18.2-5，在ABC中，AC=5，AB=12，BC=13，求BC边上的高AD17初春时分，两组同学到村外平坦的原野上采集植物标本，分手后，他们向不同的两个方向前进，第一组的速度是30m/min，第二组的速度是40m/in，半小时后两组同学同时停下来，而此时两组同学相距1500m（1）两组同学行走的方向是否成直角？（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？18如图182-6，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F分别在AB，BC上，且BE=BF=1问EFD是否是直角三角形？并说明理由19先阅读下列文字，然后按要求回答问题：如图18.2-7，在ABC中，CDAB于D，且，A，B都是锐角在RtABC中，所以，即，如果在RtBDC中，按照上述推理可得到什么结论呢？进而可得到ABC是什么形状的三角形？同步练习二1如图，长方形ABCD的长AB=12，宽CB=10，E是BC的中点那么AE=_2如图，正方体ABCDABCD的棱长是3，那么，3一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_4工人师傅常用如下方法来检验电线杆是否垂直于地面现测得拉线AB=10m，BD=8m，AD=6m问此时电线杆是否与地面垂直？_，因为_5如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是_6如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）A2cmB3cmC4cmD5cm7如图，正方形ABCD中，AOBD，OE，FG，HI都垂直于AD；EF，GH，IJ都垂直于AO如已知IJ=1求BD的长8ABC中，AB=m5，AC=m+11，BC=24，则当m=_时，B=909ABC中，三边a，b，c满足，那么ABC是_三角形10如图，四边形ABCD中，BAD=90，AD=3cm，AB=4cm，BC=5cm，CD=6cm（1）连接BD，判别CBD的形状（2）求四边形ABCD的面积11（1）如图（1），一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙根C距离为1.5m，梯子滑动手停在DE的位置上，如图（2）所示，测得BD的长为0.5m，问梯子顶端A下落的距离是否也为0.5m？为什么？（2）如图（3）梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离是2m，梯子顶端B到地面的距离是7m现将梯子的底端A向左移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降至B，那么BB；等于1m；大于1m；小于1m其中正确结论的序号是_参 考 答 案同步练习一1直角；勾股定理的逆定理 214 329 4直角 525 ，即，则，解得k=25 6（1）因为，而，所以（2）20，21，29 7A 设c为斜边，则，两边同乘以，得，即 8B 要注意D中的，即9，16，25三边不能组成直角三角形的三边，因为 9B 10A 11B 12B 13B 14A 15连接AC，则AC=5，可证ACD为直角三角形 16 17（1）第一组行走，第二组行走因为，所以行走方向成直角（2）设再经过xmin相遇，则（30+40）x=1500，故 18是在RtAED中同理求得。所以，所以EFD是直角三角形。19，进而，所以ABC为一个直角三角形同步练习二113 218，27 310 4垂直；略 549 6B 设CD=x则DE=x，因为AE=AC=6，所以BE=106=4因为CD=x，所以BD=8x在RtBDE中，即解得x=3cm 716 在RtIAH中，IAH=45，所以AIJ=45，所以AJ：IJ=1，同理JH=1，所以AH=2，AF=4，AO=8，DO=8，DB=16815 由勾股定理知，即，解得m=159直角把化简，得，即所以ABC为直角三角形 10（1）CBD是等腰三角形，可求出BD=5，所以BC=BD，即BCD为等腰三角形（2）18 把四边形ABCD分为ABD，CBD的面积之和，ABD的面积为在求BCD的面积时作高BE，求得BE=4，所以四边形ABCD的面积为11（1）梯子顶端A下落的距离是05m，在RtCDE中，即，所以，AC=2AE=ACCE=05（m） （2）解法同上，先求出，即，然后求出估算，故第23页