离散型随机变量的方差教学设计.doc

课题： 离散型随机变量的方差
赵耀 （武汉市实验学校）
一 教学设计
1. 教学目标分析
《数学课程标准》要求对于统计教学必须通过案例来进行，教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较为系统的数据处理全过程，并在此过程中学习一些数据处理的方法，运用所学知识、方法去解决实际问题.
本节课通过一个实际的案例，在某些评价方法无效的前提下，促使学生去寻找新的评价标准，在这个过程中，和学生一起观察、分析、回顾、猜想，实践、对比，通过这些过程，
鼓励学生积极主动、勇于探索，提高学生的数学思维能力. 本课的教学目标如下：
（1）通过实例使学生经历数据处理的系统过程
（2）理解随机变量方差的含义
（3）利用随机变量的均值和方差解决实际问题
2. 教学内容解析
本课内容为人教A版《普通高中课程标准实验教科书A版 数学2-3 选修》第65页.
2.3.2 离散型随机变量的方差.学生通过对前一节的学习，已经知道了散型随机变量分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象,用离散型随机变量的均值来对随机变量进行比较,对随机变量的均值与样本均值的联系与区别有一定了解.样本方差可以描述样本数据偏离样本平均值的平均水平,但是否有其他的评价标准并不清楚，而且利用均值来比较是否总是有效也不了解，所以本课的教学重点是：
理解离散型随机变量方差的含义
3. 教学问题诊断
在统计的教学中，学生经常会经历数据处理的过程，学生能利用统计的基本知识对数据进行分析比较，但方法不多,且多为一个指标就可以得出结论,因此本课的教学难点确定为：
利用离散型随机变量的均值和方差解决实际问题
4．教学对策分析
本课需要学生处理的数据较多，学生参与度较高，需事先为学生准备原始数据，供其分析，还需采用投影仪、多媒体课件辅助教学，采用的软件是excel，同时要求学生自带计算器.

5. 教学基本流程
创设情境，发现问题

分析数据，共同交流

明确方向，选定方法

形成结论，解决问题

辩证分析，理解应用

6. 教学过程设计
一：引入方差
某班要在甲、乙两名同学中选派一名选手参加30公尺射击比赛，现在以他们俩近
三个月中记录的300次成绩作为依据,经统计得到下面数据,我们该怎样对他忙的成绩分
析,来决定选谁参加比赛?
(设计意图）： 让学生经历数据处理的系统过程,运用已有的统计基础知识,自由选
择方法,通过相互合作认识,共同交流来尝试解决问题,触发问题:
我们无法比较他们的水平,

学生可能选择下面的统计方法,教师根据实际情况加以引导:
.直观感觉,离散与集中
.抽样调查,利用部分去估计整体
.利用频率分布求样本平均值,求方差
.利用随机变量分布列求期望,利用分布列图看稳定与波动

(1) 通过学生讨论,教师引导,首先确定采用用随机变量分布列进行分析,因为比较全面
（设计意图）：加深学生对分布列作用的认识.
学生可以通过求他们平均中靶环数来比较射击水平的高低， 两人平均
中靶环数相等. 继续观察可以发现：他们击中目标靶环数的分布范围不同.这个用
分布列图可以看得更清楚,乙的成绩更稳定.
(2)引导学生回顾怎样刻画数据的稳定性？
(设计意图）：通过数据稳定性这一特征，激发学生回顾方差的概念，为后面的数据
分析确定方向
(3) 回顾样本方差的概念，怎样计算样本的方差, 它与样本数据的稳定性有怎样的联系?
(设计意图）：回顾样本方差的概念，特别是方差公式中对“样本数据与样本平均值的
偏离程度”是怎样体现出来的.
样本方差越小,说明样本数据越集中于样本平均值的附近,样本方差的计算公式是:
,
其中表示所有样本点的平均值,是第个样本离样本平均值的平方,
可以看成是第个样本点在刻画数据集中于样本平均值时的权重.
在样本方差的定义中,每个样本点所占的权重都是相同的.

二：类比方差
（1） 现在我们需要一个刻画随机变量稳定性的量，类比样本方差计算公式 ,能否用
类似样本方差的量来刻画随机变量的稳定性呢?
(设计意图）：要求学生运用类比思想，对样本方差公式方差进行分析，从而得到求随机
变量方差的方法.在这个过程中，学生对方差的理解进一步加深.

我们先对样本方差公式进行分析

样本方差

样本的平均值:

样本离样本平均值距离的
平方:

各个样本点在刻画数据集中样本平均值时的权重:

求和:

类比随机变量,我们有
样本方差
类比随机变量
样本的平均值:
随机变量的均值:
样本离样本平均值距离的
平方:
随机变量的各个不同的取值与随机变量的均值的平方:
各个样本点在刻画数据集中样本平均值时的权数:
随机变量的各个不同值在刻画数据集中随机变量均值时的权数: 随机变量取各个不同值的概率
求和:
求和:

（2）可以看到，在我们的这个计算公式中，描述了相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度.我们称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差，记作.

随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于平均值的平均程度. 方差或标准差越小,则随机变量偏离于平均值的平均程度越小.
随机变量的方差的单位是随机变量单位的平方，而标准差的单位是随机变量的单位。

（3）计算方差，继续比较两位选手的水平。
(设计意图）：对公式的熟悉, 方差小是否一定好？

三：评析方差
对于该选派方差小还是方差大的选手参加比赛，学生的讨论不会有结果
通过思考第二个问题:
(1) 如果其他的参赛选手的射击成绩都在9环左右,那么应该派甲乙两名选手中的哪一
名去参赛呢?
(2)如果其他的参赛选手的射击成绩都在7环左右,又应该哪一名去参赛呢?
（设计意图）：加深学生对方差的理解，运用方差解决实际问题
(3) 为了巩固随机变量的方差计算公式，讲解课本例题4
（4）为了为了进一步检验学生对这类知识的掌握程度，设计了一个练习题
（课本例题5）
这个例题的作用，是巩固学生对方差的理解。同时对方差的应用，要结合均值的大
小。一般是首选均值较高的，如果均值相同，就需要通过方差做进一步的比较，结合
实际情况来进行选择。

小结:
1. 随机变量的方差、标准差公式.
2. 随机变量方差、标准差的含义
3. 随机变量方差、标准差的应用
作业：P69 练习：1 习题2.3 ：4

二 教学反思
通过本节课的教学实践，对《新课程标准中》“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”有了更进一步的认识，而学生在体验了数学在解决实际问题中的作用后，激发了学习数学的人兴趣，提高他们的数学应用意识，通过计算器实际操作和excel软件的应用，提高了实践能力.
成功之处：利用对有原始数据的实际问题的探究，更接近学生的认知.突出了以学生为主体，教师为引导的教学思想.通过excel软件的使用，避免了机械、枯燥的运算，同时使得大量数据的统计计算成为可能，并可以即时进行数形转换,提高了课堂的效率，让学生亲身经历体会到数据统计的基本方法.
改进之处：在类比方差的过程中，对于还有没有其他方法可以计算方差，没有做更深入的探究.