分解因式法教学设计.doc

第二章 一元二次方程
2.４分解因式法案例与反思
榆中县第六中学 王玲
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了分解因式，掌握了提公因式法及运用公式法熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验。
二、教学任务分析
分解因式法解一元二次方程是解决特殊问题的一种简便、特殊的方法,本课的具体学习任务是：能根据已有的分解因式知识解决形如“x(x－a)=0”和“x2－a2=0”的特殊一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《分解因式法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。”同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
三、教学目标：
【知识与技能目标】
（一）教学知识点
1、应用分解因式法解一些一元二次方程。
2、根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
（二）能力训练要求
1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；
2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；
3、通过分解因式法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
【过程与方法目标】
1、通过学生探究一元二次方程的解法，使学生知道分解因式法是解一元二次方程的一种简便、特殊的方法，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程；
2、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题的方法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。
【情感与态度目标】
1、经历观察，归纳分解因式法解一元二次方程的过程，激发好奇心；
2、进一步丰富数学学习的成功体验，使学生在学习中培养良好的情感、态度和主动参与、合作交流的意识，进一步提高观察、分析、概括等能力。
【教学重点】
应用分解因式法解一元二次方程。
【教学难点】
形如X2=aX的解法。
【教学方法】
启发引导式归纳教学法。
【教具准备】
课件一份。
【教学过程】
本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入，探究新知；第三环节：例题解析；第四环节：巩固练习；第五环节：课堂小结；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。
第一环节：复习回顾
[师]:到现在为止,我们学习了解一元二次方程的三种解法:直接开平方法、配方法、公式法,下面同学们来做一练习.(出示投影片)
解下列方程：
（1） X2-4=0
（2） X2-3X+1=0
（3） (X+1)2-25=0
[生]:老师，解以上方程可不可以用不同的方法？
[师]:可用呀。
[生A]:解方程（1）时，既可以用开平方的方法解，也可以用公式法来求解，就方程的特点，我采用了开平方的方法，即
解：X2-4=0
移项，得X2=4
两边同时开平方，得X=±2
∴X1=2, X2=-2
[生B]:解方程（2）时，既可以用配方法来解，也可以用公式法来解，我采用了公式法，即
解：这里a=1.b=-3,c=1.
b2-4ac=(-3)2-4×1×1
=5＞0
∴X= 3±
2
∴X1= 3+
2
X2= 3-
2
[师]: B同学，你在解方程（2）时，为什么选用公式法，而不选配方法呢？
[生B]: 我觉得配方法不如公式法简便。
[师] ：同学们的意见呢？
[生齐声]： 同意B同学的意见。
[师]：很好，继续。
[生C] ：解方程（3）时，可以把（X+1）当作整体，这时用开平方法简便。
解移项，得(X+1)2=25
两边同时开平方，得
X+1=±5，
即 X+1=5, X+1=-5
∴ X1=4 ， X2=-6
[师]：由此我们知道，在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊的方程，配方法不如公式法简便。因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法。
公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的实用性，既可以解任何一个一元二次方程。
目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫。
实际效果：
第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“n≥0”。
第二问题由于较简单，学生很快回答出来。
第三问题由学生独立完成，通过练习学生复习了配方法及公式法，并能灵活应用，提高了学生自信心。
第二环节：情景引入、探究新知
[师]：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？
[生]：齐答行。
[师]：下面我们来看一个题。（出示投影片），
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
[师]：大家先独自完成，然后分组讨论、交流。

[生A]：设这个数为X，根据题意，可列方程
X2=3X
∴X2-3X=0
∵a=1,b= -3,c=0
∴ b2-4ac=9>0
∴ X1=0, X2=3
∴ 这个数是0或3。
[生B]：设这个数为X，根据题意，可列方程
X2=3X
∴ X2-3X=0
X2-3X+(3/2)2=(3/2) 2
(X-3/2) 2=9/4
∴ X-3/2=3/2 或 X-3/2= -3/2
∴ X1=3, X2=0
∴这个数是0或3。
[生C]：设这个数为x，根据题意，可列方程
X2=3X
两边同时约去X,得
∴ X=3
∴ 这个数是3。
[生D]：我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式X，这时可把X提出来，左边即为两项的乘积。前面我们知道：两个的因式的乘积等于0，则这两个因式为0，这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解。
X2=3X
∴ X2-3X=0
即X(X-3)=0
∴ X=0或X-3=0
∴ X1=0, X2=3
∴ 这个数是0或3。

[师]：同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么?
说明：小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。
[生E]：我们认为C小组的做法不正确,因为要两边同时约去X,必须确保X不等于0,但题目中没有说明。虽然我们组没有人用C同学的做法,但我们一致认为C同学的做法最好,这样做简单又准确.
[师]：对，这说明乙同学在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根。大家在解方程的同时，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误。
[生F]：补充一点，刚才讲X须确保不等于0，而此题恰好X=0,所以不能约去，否则丢根.
[师]：这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密，相信下面同学的回答会一个比一个棒!(及时评价鼓励，激发学生的学习热情)
现在请D同学为大家说说他的想法好不好?
[生齐]：好。
[生D]：X(X-3)=0 所以X1=0或X2=3 因为我想3×0=0, 0×(-3)=0 ， 0×0=0反过来，如果ab=0,那么a=0或b=0,所以a与b至少有一个等于0
[师]：噢，这样行吗?
[生齐]：行。
[师]：D同学应用的是：如果a×b=0,那么a=0,b=0,大家想想，议一议。（出示投影片）
a×b=0时，a=0和b=0可同时成立，那么X(X-3)=0时，X=0和X-3=0也能同时成立吗？
[生齐]：不行。
[师]：那该如何表示呢？
[生齐]：X=0或X-3=0
[师]：好，这时我们可这样表示：如果a×b=0,那么a=0或b=0
也就是说：当一个一元二次方程降为一个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或”，而不是“且”。
因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零。
目的：通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展.问题3和4进一步点明了分解因式的理论根据及实质,教师总结了本节课的重点.
实际效果：对于问题1学生能根据自己的理解选择一定的方法解决，速度比较快。第2问让学生合作解决，学生在交流中产生了不同的看法，经过讨论探究进一步了解了分解因式法解一元二次方程是一种更特殊、简单的方法。C同学对于第3问的回答从特殊到一般讲解透彻，学生语言学生更容易理解。问题4的解决很自然地探究了新知——分解因式法.并且也点明了运用分解因式法解一元二次方程的关键：将方程左边化为因式乘积,右边化为0，这为后面的解题做了铺垫。
说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。
第三环节 例题解析
[师]： 接下来我们再看例题。（出示投影片）
解下列方程：(1)、 5X2=4X (2)、 X-2=X(X-2) (3)、(X+1) 2- 25=0
[师]：同学们能独自做出来吗？
[师]：好，开始。
[生H]：解方程时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解。
解：原方程可变形为 5X2-4X=0,
X(5X-4)=0
X=0 或 5X-4=0
∴∴ X1=0, X2=4/5
[生G]：解方程（2）时因为方程的左、右两边都有(X-2),所以我把(X-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解。
解：(2)原方程可变形为
（X-2）-X(X-2)=0
∴ (X-2)(1-X)=0
∴ X-2=0或1-X=0
∴ X1=2 ， X2=1
[生K]：老师，解方程（2）时能否将原方程展开后再求解
[师]：能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便。
[生M]：方程(X+1) 2- 25=0的右边是0，左边(X+1) 2-25可以把(X+1)看做整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式。
解：(3)原方程可变形为
[(X+1)+5][(X+1)-5]=0
∴ (X+6)(X-4)=0
∴ X+6=0或X-4=0
∴ X1=-6 ， X2=4
[师]：好﹗这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法。由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主。
问题：1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么?步骤是什么? (小组合作交流)
2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解? (课下交流完成)
目的：例题讲解中,第一题学生独自完成,考察了学生对引例的掌握情况,便于及时反馈。第2题体现了师生互动共同合作，进一步规范解题步骤,最后提出两个问题。问题1进一步巩固分解因式法定义及解题步骤，而问题2体现了解题的多样化。
实际效果：对于例题中(1)学生做得很迅速,正确率比较高；(2) (3)题经过探究合作最终顺利的完成,所以学生情绪高涨,讨论热烈,思维活跃,正是因为这，问题1、2学生们有见地的结论不断涌现，叙述越来越严谨。
第四环节：巩固练习
内容：1、解下列方程：（1） (X+2)(X-4)=0
(2) 4X(2X+1)=3(2X+1)
2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？
目的：华罗庚说过“学数学而不练,犹如入宝山而空返”该练习对本节知识进行巩固，使学生更好地理解所学知识并灵活运用。
实际效果：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习基本能用分解因式法解一元二次方程，收到了较好的效果。
第五环节 课堂小结
[师]：我们这节课又学习了一元二次方程的解法———因式分解法。它是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法。
第六环节 感悟与收获
内容：师生互相交流总结
1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。
2、在应用分解因式法时应注意的问题。
3、分解因式法体现了怎样的数学思想?
目的：鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想。
实际效果：学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳概括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。
第七环节 布置作业
1、课本62页习题2.7 1、2(2) (3)
2、预习内容：P62—P64

板书设计：
2.４ 分解因式法
一、复习回顾 二、例题
解方程 X2=3X 例：解下列方程：
解：由方程X2=3X得 (1)、 5X2=4X
X2-3X=0 (2)、 X-2=X(X-2)
即 X(X-3)=0 (3)、(X+1) 2- 25=0
三、想一想
于是 X=0或X-3=0 四、课堂练习
因此X1=0, X2=3 五、课时小结
这个数是0或3。 六、课后作业

四、教学反思
1. 评价的目的是为了全面了解学生的学习状况,激励学生的学习热情,促进学生的全面发展.所以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动的思考,能否清楚的表达自己的观点,及时发现学生的闪光点,给予积极肯定地表扬和鼓励增强他们对数学活动的兴趣和应用数学知识解决问题的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度
2. 本节中应着眼于学生能力的发展,因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学能力的目标.
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