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教学案例：数列的通项
作者：马波 工作单位：扬中第二高级中学
教学目标：
(一)、情感态度与价值观
1、培养化归思想、应用意识.
2、通过对数列通项公式的研究，体会从特殊到一般，又到特殊的认识事物规律，培养学生主动探索，勇于发现的求知精神。
(二)、过程与方法
1、诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；
2、分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；
3、讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
(三)、知识与技能
1、培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力；
2、在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。
教学重点、难点：
1、重点：由数列相邻两项的线性关系求数列通项公式。
2、难点：（１）由数列相邻两项的线性关系求数列通项公式；
（２）由前项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足，若不满足必须写成分段函数形式；若满足，则应统一成一个式子.
教学资源：多媒体幻灯、实物投影仪
教学过程：
(一)考点回顾
1、考纲要求
6.数列　　
数列的概念　　
√　　　　

等差数列　　

√　　　　
等比数列　　

√　　　　
课堂活动：带领学生查阅2015年的高考数学考试说明。
（设计意图：对照江苏省2015年的考试说明，把握高考方向，明确考试目标，做到有的放矢。）
（二）学生活动1
(1)已知数列的前项和，则该数列的通项公式为_______________.
变式题：已知数列的前项和，则该数列的通项公式为____________.
(2)已知数列的前项和，则该数列的通项公式为_______________.
变式题：已知数列的前项和，则该数列的通项公式为_______________.
课堂活动：先让学生独立完成练习（1）和（2），变式题暂不做，请2位同学黑板板书，然后老师进行点评与总结，最后学生再完成2道变式题。
（设计意图：让学生掌握如何由数列的前项和求通项，特别要注意：用求出的的不一定是通项公式，还必须验证是否满足，若不满足必须写成分段的形式；若满足，则应统一成一个式子。练习（1）涉及的数列与等差数列有关，由此可进一步体会到等差数列的前项和是关于的二次函数且常数项为0，，；练习（2）涉及的数列与等比数列有关，由此可进一步体会到等比数列的前项和是关于的指数型函数，）
总结1：已知数列的前项和求通项公式的方法：，适用于所有的数列，但要注意验证是否满足，若不满足必须写成分段的形式；若满足，则应统一成一个式子。
（三）学生活动2（2015年四川高考数学试卷）
设数列的前项和，且成等差数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和，求得使成立的的最小值。
解：（1）当时有，
则 （）
则是以为首项，2为公比的等比数列。
又由题意得 则
（2）由题意得 由等比数列求和公式得
则 又当时，
成立时，的最小值的。
点评：此题放在简答题的第一题，考察前项和与通项的关系和等比数列的求和公式，难度较易，考察常规。可以说是知识点的直接运用。所以也提醒我们在复习时要紧抓课本，着重基础。
（四）学生活动3
第一组问题：
数列满足下列条件，求数列的通项公式。
（1）； （2）
由递推关系知道已知数列是等差或等比数列，即可用公式求出通项。
第二组问题：[学生讨论变式]
数列满足下列条件，求数列的通项公式。
（1）；
（2）；
（3）
课堂活动：观察这三个小题，对比第一组的小题，有何不同？
对于（1）：第一组的（1）中，是常数，而第二组（1）中不是常数，故此数列不是等差数列。但回顾等差数列通项公式的推导，由其递推结构发现可用“叠加法”求通项。
（老师板书：由有

…………

将这个式子相加有
即
当时也符合上式。所以）
强调：要验证是否满足。
对于（2）：第一组的（2）中，是常数，而第二组（1）中不是常数，故此数列不是等比数列。但回顾等比数列通项公式的推导，由其递推结构发现可用“叠乘法”求通项。此题的求解过程让学生自己去完成，并用投影仪展示2位学生的解答过程，并及时进行讲评。
（设计意图：（1）通过这两组的题目让学生掌握“叠加法”和“叠乘法”求通项的方法，讲解时教学生如何分析题目，其中渗透对比、探究的数学思维。）
总结3：
一般地，对于形如类的通项公式，则宜采用“叠加法”求解；
一般地，对于形如类的通项公式，则宜采用“叠乘法”求解。
(五)学生活动4
对于（3）：此题的形式与前面的题目有较大的区别。
观察递推关系的结构特征，联想到“”,可以构造一个新的等比数列，从而间接求出通项。
板书：由于有，即
所以，
令，构造数列是等比数列，首项，公比为3
则，即
所以
（设计意图：此题较前2题又有了不同的变化，要求学的具备一定的观察能力、分析能力，发现问题的本质。）
总结：对于形如“”的数列，求其通项宜采用待定系数法或特征根法：
①令；
② 在中令，；
③由得，.
练习：已知数列中，，求数列的通项公式.
变式：已知数列中，，求数列的通项公式.
分析：注意与上题的比较：上题为
此题为，
此数列模型为形如“”的数列，受上题的启发想到可以构造新的数列，从而间接地求出通项。
方法1：设，由待定系数法解出常数，
从而，令，则
则数列是公比为3的等比数列，

方法2：由得到
令，则，转化为我们熟悉的问题。
（设计意图：考查了数学综合能力，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的的问题，善于比较，能够做到异中求同，发散学生的思维。）
总结：对于形如“”的数列通项通过适当变形可转化为：
“”或“求解.
练习：已知数列中，，求数列的通项公式.
解题反思：反思上面两个问题的区别和联系。此练习题若采用上题中的发法2构造的数列为等差数列。像这些通过给出数列相邻两项的线性关系，构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式的方法我们称之为“构造法”。
（设计意图：在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于文科删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。）
若已知条件给的是数列相邻两项的线性关系，要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉。一般都是通过构造成我们所熟悉的等差数列或等比数列去解决问题的。
练习1：已知数列中且（），，求数列的通项公式。
解：由于，所以两边取倒数有，
设，则
故是以为首项，1为公差的等差数列 ∴
∴
(设计意图：通过取倒数构造等差数列是构造方式中较常见的一种，学生易于接受和理解。)
练习1：数列中，若,,是正整数，求数列的通项公式。
解：由于，所以两边取对数有，即
设，则
故是以为首项，2为公比的等比数列，所以
∴
(设计意图：通过取对数构造等比数列这种构造方式较特殊，学生较难想到，让学生体会到数学知识之间的关联，体会数学知识的丰富与乐趣。)
(六)小结回顾：
请问学生们：这节课你学到了什么？会解决什么样的问题？哪些是难点？还有哪些还不能理解和接受？在解题中有哪些地方值得注意的？
（设计意图：将总结留给学生，让学生自己反思，体现学生的主体作用，老师最后做适当的点评和补充。）
（七）课后作业
1、已知为数列的前项和，，则数列的通项公式_________________.
2、数列中，，则数列的通项公式_________________.
3、已知数列中，，则数列的通项公式_________________.
4、已知数列中，，则数列的通项公式_________________.
5、已知数列中，，则数列的通项公式_________________.
6、已知数列中，，则数列的通项公式_________________.
7、已知数列中，，则数列的通项公式_________________.
8、已知数列中，，求数列的通项公式.
答案：1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、

8