第九章导数及其应用.doc

导数及应用
知识清单
1. 导数的概念
（1） 如果当Δx→0时，常数A，就说函数在点x0处可导，并把A叫做点x0处的导数（瞬时变化率）记作或.的几何意义是曲线在点处的切线的斜率.瞬时速度就是位移函数s对时间t的导数.
（2） 如果函数在开区间内每一点都可导，其导数值在内构成一个新的函数，叫在开区间内的导函数，记.
（3） 如果函数在点x0处可导，那么函数在点x0处连续.
2. 几种常见函数的导数
（1） （其中c为常数）；
（2） ；
（3） ①______；
（4） ②______；
（5） ③______，④______；
（6） ⑤______，⑥______.
3. 可导函数四则运算的求导法则
（1） （c为常数）；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【知识拓展】
1. 根据导数的定义求函数在点x0处导数的方法：
（1） 求函数的增量；
（2） 求平均变化率；
（3） 利用Δx无限趋近于0时，无限趋近于A，求得=A.

简记作：一差、二比、三极限.
2. 函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原函数的导函数，而导数值是导函数在某点的函数值，导数值是常数.
3. 运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间内的导数的基本步骤：
（1） 分析函数的结构和特征；
（2） 选择恰当的求导法则和导数公式求导；
（3） 整理得到结果.
4. 在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程冗长复杂，且易出错，此时可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数.
知识清单答案
① ② ③ ④ ⑤ ⑥

突破方法
方法 利用导数求曲线的切线方程的方法
例 （2013苏北四市一模，9,5分）已知点P在函数的图象上，则该函数的图象处的切线方程是______.
解题思路 先根据函数图象上点的坐标求解函数解析式中的参数a，然后求出切点坐标，并求函数在该点处的导数值，即为切点处的切线斜率，把它代入直线的点斜式方程即可.
解析 由点P在函数的图象上可得即解得故.
所以
由导数的几何意义知该函数图象在处的切线斜率
所以切线方程即
答案
【方法点拨】导函数值就是函数在点处的斜率，即本题先利用已知条件确定函数的解析式，然后在求解曲线在处的切线方程，综合考察了函数解析式的求解及导数的意义、切线方程的求解等，解决此类问题的关键在准确理解函数在某点处导数值的几何意义，并熟练求解函数的导数.

知识清单
1. 函数的单调性
设函数在某区间内可导，如果则为①______函数；如 则为②______函数.
2. 函数的极限与最值
设函数在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有，则，则是函数的一个极大值，记作y极大值=；如果对x0附近的所有点都有，则是的一个极小值，记作y极小值=.极大值与极小值统称极值，极值与函数在闭区间端点的函数值中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
【知识拓展】
1. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法
（1） 确定函数的定义区间.
（2） 求，令解此方程，求出在此定义区间内的一切实根.
（3） 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干小区间.
（4） 确定在各个小区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间内的增减性.
2. 求可导函数极值的步骤
（1） 求导数；
（2） 求方程的根；
（3） 判定在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧为正，右侧为负，那么函数在这个根处取得最大值；如果在根的左侧为负，右侧为正，那么函数在这个根处取得最小值.
知识清单答案
①增 ②减
突破方法
方法1 运用导数巧解函数的单调性问题
例1 （2013江苏无锡一中月考，10，5分）已知是R上的可导函数，且，均有，则有_______，_______.（填“>”“<”或“”“”）
解题思路 先构建函数，通过求导研究其单调性，从而把函数值大小比较问题转化为函数单调性问题.
解析 构造函数，
则，
因为，均有，且，所以，故函数在R上单调递减，所以，即，
，也就是，.
答案 > ；<
【方法点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及构造函数比较函数值大小的方法，是一道非常精巧的小题，看似简单，但技巧性比较强.通过构造函数，把函数值的比较大小问题转化为函数单调性问题来研究是求解问题的关键.

方法2 运用导数证明不等式问题
例2 (2013江苏中学月考，17,14分) 设.
(1) 当时，证明；
(2) 当且时，证明.
解题思路 把要证明的不等式进行化简，然后构造函数，转化为函数最值问题进行处理.
解析 （1）当时，要证明，即证，
即.
令，则.
令，，解得.
当时，，故函数在（-1，ln2]上单调递减.
当时，，故函数在上单调递增.
所以在上的最小值为所以在上有，即.
故当时，有.
（2） 欲证，即，也就是，
可令，则.
令，.
当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.
所以的最小值为.
因为，
所以，即.
所以，即在R上为增函数，所以有.而，所以.
即当且x > 0时.
【方法点拨】 本题的实质是化简不等式，然后构造函数，转化为函数最值问题进行处理，并利用导数来解决，此类题目单独命题的可能性不是很大，多在解答题的某一问中出现，出现的频率很高，属于较难的题目.

知识清单
1. 构建函数模型
第一步：弄清问题，选取自变量，确定自变量的取值范围（即函数定义域）；
第二步：构建函数，从而将实际问题转化为数学问题.
2. 用导数研究函数的最值
确定函数在其确定的定义域内可导（通常为开区间），求出导函数在定义域内的零点，研究在零点左、右的函数的单调性，若左增，右减，则在该零点处函数取①_______；若左减，右增，则在该零点处函数取②_______.
3. 根据问题的实际意义，求出问题的最优解.
4. 生活中常见的函数优化问题
（1） 费用、成本的最省问题；
（2） 利润、收益的最大问题；
（3） 面积、体积最大（小）问题.
【知识拓展】
1. 正确利用导数解决生活中的优化问题
利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
（1） 分析实际问题中变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式；
（2） 求函数的导数，解方程；
（3） 比较函数在区间端点和使的点处的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；
（4） 写出答案.
2. 解应用题的思路和方法
解应用题先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，即从实际问题出发，利用数学知识建立相应的数学模型进行分析研究，得到数学结论，然后再把结论返回到实际问题中进行检验，其思路如下：
（1） 审题：阅读、理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的关键；
（2） 建模：将文字语言转为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3） 解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法进行求解；
（4） 对结果进行验证，定性、定量分析，做出正确的判断，确定其答案.

知识清单答案
①极大值 ②极小值

突破方法
方法1利用导数解决生活中的优化问题
例1 （2013年苏北四市一模，17，14分）如图所示，四边形ABCD表示一正方形空地，边长为30m，电源在P点处，P到边AD，AB的距离分别为9m，3m，某广告公司计划在空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16:9.线段MN必须过点P，端点M,N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏MNEF面积为S（m2）.

（1） 用x的代数式表示AM；
（2） 求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
（3） 当x取何值时广告屏的面积最小？
解题思路 第（1）问，直接由题借助平面几何知识用x表示AM；第（2）问，先利用条件将MN的关系，由面积公式可建立S关于x的函数关系式，并写出其定义域；第（3）问，利用导数求解函数的最值.
解析 （1）因为点P到边AD，AB的距离分别为9m，3m，所以由几何知识，得，解得
（2） 由勾股定理，有

定义域为[10，30].
（3） ，
令得x1=0（舍），
当，S为减函数；当，S为增函数
所以当时，函数取最小值.
【方法点拨】 解决函数的应用问题的难点就是建立函数模型，导数的应用知识，对于利用导数求函数的最值问题，正确理解函数关系是建立目标函数的关键，本题在于正确建立函数关系式，同时，要注意自变量的取值范围，然后通过直接利用导数研究函数的单调性，根据单调性求解.

方法2 含参函数的单调性及三次函数零点问题
例2（2013 江苏扬州一模，17,14分）已知函数
（1） 求的单调区间，
（2） 若在x=-1处取得极值，直线的图像有三个不同的交点，求m的取值范围
解题思路 第（1）问，对于函数进行求导，注意参数，a决定导数的正负，所以要对a进行分类讨论；第（2）问结合第（1）问可以求得在x=-1处取极值时的函数值，然后可以根据函数图像结合函数的单调性求解，也可以把的图像有三个不同的交点转化成方程-m=0有三个不同的实数解，要是方程有三个不同的实数解，只要使函数的极大值大于零且极小值小于零即可
解析 （1），
当a < 0时对于，有，解得，
由解得
所以当a > 0时，的单调增区间为的单调减区间为.
（2） 因为在x=-1处取得极值
所以

由解得由（1）中在x=-1处取得极大值，
在x =1处取得极小值因为直线的图像有三个不同的交点，又
结合的单调性，可知m的取值范围是（-3 ，1）.
【方法点拨】利用导数研究方程解的情况，就是利用数形结合的思想，通过函数的性质找到方程解的各种情况所满足的关系式，本题目可归纳为方程- m=0有三个不同的实数解，函数是存在两个极值点的三次函数，要使方程有三个不同的实数解，只要函数的极大值大于零且极小值小于零即可.