单元评估检测(三).doc

世纪金榜 圆您梦想
答案解析
1. 2. 3.π 4.
5.［］,k∈Z
6.【解析】由可得
∴tanC=1,∴C=45°.
答案：45°
7.【解题指南】利用所给角的范围和余弦、正弦值求得的度数，再根据条件做出判断，进而求得cos(α＋β).
【解析】∵α，β∈(0，)，
∴
由
可得
当时，
α＋β＝0与α，β∈(0，)矛盾；
当时，α＝β＝，
此时cos (α＋β)＝.
答案：
8.
答案：
9. c=a+b
10.【解析】在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,
sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°

由正弦定理得:
∴
∴树的高度为PBsin45°=
= m.
答案： m
11.【解题指南】根据新定义写出三角函数关系式并化简三角函数式，再根据性质求得最小值.
【解析】由新定义可知f(x)＝cos2x－sin2x＝2cos(2x＋)，所以函数f(x)的图象向左平移个单位长度后为y＝-2cos2x的图象，该函数为偶函数，所以n的最小值为.
答案：
12.【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，设塔高为h,因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,
AD=BE=60米,则米,
在Rt△AEC中，

=()米,
所以塔高为+60=(120+)米.
答案：120+
13.【解析】因为sinx+cosx=，故①错；若α=390°,β=45°，但tanα<tanβ，故②错；故③正确；是奇函数，故④正确；将y=sin2x的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为y=sin(2(x+))=cos2x，故⑤错.
答案：③④
14.【解析】由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，
又因为AD＝2，所以S△ADC＝AD·DC·sin60°
＝，所以DC＝
又因为BD＝所以
过A点作AE⊥BC于E点，
则
所以AE＝，又在直角三角形AED中，DE＝1，
所以BE＝，在直角三角形ABE中，BE＝AE，
所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，
在直角三角形AEC中，
所以
所以∠ACE＝75°，
所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.
答案：60°
【方法技巧】巧解三角形
解三角形问题一般是通过三角函数恒等变形来完成，这种方法是最基本的，也是很重要的方法.有些三角形问题，除了常规方法外，还可根据题目所提供的信息.通过观察、联想，往往可以构造设计一个恰当的三角形，借助于平面几何、解三角形等知识去解决.
15.【解析】∵
∴α为第一或第二象限角.
当α是第一象限角时，

当α是第二象限角时，
原式＝
【误区警示】当得到正弦值时，一定要对角进行分类讨论.
【变式备选】已知α为锐角，且
(1)求tanα的值；
(2)求的值.
【解析】(1)所以
1＋tanα＝2－2tanα，所以tanα＝.
(2)
＝
因为tanα＝，所以cosα＝3sinα，
又sin2α＋cos2α＝1，所以
又α为锐角，所以
所以
16.【解析】∵2cos2B－8cosB＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.
∴4cos2B－8cosB＋3＝0，
即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.
解得cosB＝或cosB＝ (舍去).
∵0<B<π，∴B＝.
∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b.
∴cosB＝
化简得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c.故a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
【一题多解】本题还可用下面的方法求解:
∵2cos2B－8cosB＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.
∴4cos2B－8cosB＋3＝0.
即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.
解得cosB＝或cosB＝(舍去).
∵0<B<π，∴B＝.
∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b.
由正弦定理得
∴
∴
化简得
∵0<A<π，∴
∴
∴△ABC是等边三角形.
17.【解析】(1)由得：

即
(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋)，依题意
又故ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋).
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin［3(x＋m)＋］，
g(x)是偶函数当且仅当(k∈Z)，
即(k∈Z)，从而最小正实数.
18.【解析】(1)f(x)=

∵∴T=π,
于是
可知f(x)=2sin(2x+).
(2)∵a2+c2=b2-ac,
∴cosB=
又0＜B＜π,∴B=,
∴f(A)=2sin(2A+),
∵B=,∴0＜A＜,
∴
∴sin(2A+)∈(0,1］,
∴f(A)∈(0,2］.
19.【解析】设该机器人最快可在点G处截住小球，点G在线段AB上,
设FG=x cm，根据题意，得BG=2x cm.
则AG=AB-BG=(170-2x) cm,
连结AF，在△AEF中，EF=AE=40 cm，EF⊥AD，
所以∠EAF=45°，AF=cm .
在△AFG中，∠FAG=45°，由余弦定理，
得FG2=AF2+AG2-2AF·AGcos∠FAG，
所以
解得x1=50,
所以AG=170-2x=70(cm),
或AG=(cm)(不合题意，舍去)
所以，该机器人最快可在线段AB上离A点70 cm处截住小球.
20.【解析】(1)由余弦定理知b2＋c2－a2＝2bccosA，
∴
∵A∈(0，)，∴A＝.
(2)∵△ABC为锐角三角形且B＋C＝，
∴
cosB＋cosC＝cosB＋
＝cosB＋
＝

即cosB＋cosC的取值范围是(，1］.
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