《1.5.3微积分基本定理》导学案.doc

《1.5.3微积分基本定理》导学案
一、基础过关
1．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式正确的是______．
①F(x)＝x3　　　②F(x)＝x3
③F(x)＝x3＋1 ④F(x)＝x3＋c(c为常数)
2．设f(x)＝则ʃf(x)dx＝________.
3．ʃ(ex－sin x)dx＝________.
4．sin2dx＝________.
5．若ʃ(2x＋k)dx＝2，则k＝________.
二、能力提升
6．由直线x＝1，x＝4，y＝0和曲线y＝＋1围成的曲边梯形的面积是________．
7．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若ʃf(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
8．已知自由落体运动的速度为v＝gt (g为常数)，则当t∈[1,2]时，物体下落的距离为________．
9．设f(x)＝，若f[f(1)]＝1，则a＝________.
10．计算下列定积分：
(1)ʃ(ex＋)dx；
(2)ʃ(1＋)dx；
(3)ʃ(－0.05e－0.05x＋1)dx；
11．求曲线y＝x2－1(x≥0), 直线x＝0，x＝2及x轴围成的封闭图形的面积．
三、探究与拓展
12．如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.

(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；
(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．
答案
1．①③④
2.
3．e5π－3
4.
5．1
6.
7．－1或
8.g
9．1
10．解　(1)∵(ex＋ln x)′＝ex＋，
∴ʃ(ex＋)dx＝(ex＋ln x)|＝e2＋ln 2－e.
(2)∵(1＋)＝x＋，(x2＋x)′＝x＋，
∴ʃ(1＋)dx＝(x2＋x)|91＝.
(3)∵(e－0.05x＋1)′＝－0.05e－0.05x＋1，
∴ʃ(－0.05e－0.05x＋1)dx＝e－0.05x＋1|200＝1－e.

11．解　如图所示，所求面积：
S＝ʃ|x2－1|dx
＝－ʃ(x2－1)dx＋ʃ(x2－1)dx
＝－(x3－x)|10＋(x3－x)|21
＝1－＋－2－＋1＝2.
12．解　(1)设点P的横坐标为t(0<t<2)，
则P点的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为y＝tx.
S1＝ʃ(tx－x2)dx＝t3，
S2＝ʃ(x2－tx)dx＝－2t＋t3.
因为S1＝S2，
所以t＝，点P的坐标为(，)．
(2)S＝S1＋S2＝t3＋－2t＋t3
＝t3－2t＋，S′＝t2－2，
令S′＝0得t2－2＝0.
∵0<t<2，∴t＝，
因为0<t<时，S′<0；<t<2时，S′>0.
所以，当t＝时，
S1＋S2有最小值－，此时点P的坐标为(，2)．