常微分期末考试试题和答案a.docx

《常微分方程》期终考试试卷（A）
（适用班级： 班 ）
下属学院_________________班级_________姓名____________成绩_______
题号
一
二
三
四
五
总分
分数

得分
阅卷人

一、填空（每小题3分，共30分）
1、形如的方程当的通解为_______________。
2、一阶方程，若存在可微函数使_____________
_________________________时，称为这个方程的积分因子。
3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。
4、对，存在常数，使____________________则称在上关于满足李普希兹条件。
5、若为毕卡逼近序列的极限，则有_________。
6、方程定义在矩形域：，上，则经过点解的存在区间是__________________。
7、若是阶齐线性方程的个解，为其伏朗基斯行列式，则满足一阶线性方程__________________。
8、设是二阶齐线性方程的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。
9、若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。
10、驻定方程组的奇点类型为_________________。
得分
阅卷人

二、求下列方程的解（每题8分，共24分）
1、

2、

3、

得分
阅卷人

三、计算题（每题8分，共24分）
1、求的通解。

2、求的特解。

3、求的通解。

得分
阅卷人

四、求下列方程组的基解矩阵（8分）

得分
阅卷人

五、1、若函数具有连续的二阶导数，且，试由方程确定此函数。（8分）

2、一质量为千克的物体以初速度（秒/米）向前滑动，已知它所受的阻力为牛顿。试问该物体何时才能停下来，此时滑过了多少路程？（6分）

《常微分方程》期终考试试卷（A）参考答案
一、1、.
2、.
3、，.
4、.
5、，其中，为李普希兹常数，，.
6、.
7、.
8、.
9、.
10、稳定结点。
二、1、解：方程可化为， ……4分
由一阶线性方程的求解公式得：

……7分
另外，也是方程的解。 ……8分
2、解：方程可化为， ……3分
即， ……6分
故方程的通解为. ……8分
（注：用公式或用其它方法均可）
3、解：这是型
令，则有. ……2分
两边对求导：.
故有或. ……4分
由得为方程的特解. ……5分
由得. ……6分
故含参数的方程的通解为
……8分
三、1、解：特征方程的根为
，. ……4分
故方程的通解为.……8分
2、解：齐次方程的特征方程的根为
……2分
因为是方程的特征根，故可设方程的一个特解为
……5分
将代入原方程可得 ……7分
故原方程的一个特解为：
……8分
3、解：齐次方程的特征方程的特征根为
，. ……2分
又因为，且或0不是方程的特征根，故可设方程的一个特解为
. ……5分
将代入原方程可得：，， ……7分
故方程的通解为
.……8分
四、解：， ……1分
由得：
，，. ……2分
设对应的特征向量为，则由
得
，.
取，得.
故原方程组对应于的一个特解为……4分
同理可得，对应的解分别为：
，. ……6分
又因为， ……7分
所以原方程的基解矩阵为
. ……8分
五、1、解：方程两边对求导：
……3分
即
解之得. ……5分
又由，得：，，…7分
所以所求的函数为：
. ……8分
2、解：设物体在时刻路程的函数为，
由牛顿第二定律：.
即 ……2分
或
解之得. ……3分
又，，
所以有. ……4分
令得：. ……5分
此时.
即物体共行了秒，当物体停止时共行了米。 ……6分

8