微分中值定理的证明.doc

新疆师范大学数学科学学院2013届数学与应用数学专业毕业论文

2014届本科毕业论文（设计）

题目：微分中值定理的证明及其应
学 院：数学科学学院
专业班级：数学09-3班
学生姓名：迪丽尼格尔.艾来提
指导教师：依力夏提
答辩日期：2014年 月 日

新疆师范大学教务处

目 录
1 引言.................................................. - 4 -
1.1 最大最小定理 - 4 -
1.2介值性定理 - 4 -
1.3 根的存在性定理 - 6 -
1.4一致连续性定理 - 7 -
1.5 费马定理 - 8 -
1.6有界性定理 - 9 -
2 微分中值定理 - 13 -
2.1 罗尔中值定理 - 14 -
2.2拉格朗日中值定理 - 14 -
2.3 柯西中值定理 - 14 -
3 微分中值定理的证明..........................................................................................- 19 -
3.1 罗尔中值定理的证明 - 14 -
3.2拉格朗日中值定理的证明 - 14 -
3.3 柯西中值定理的证明 - 14 -
4 微分中值定理的证明的几何解释........................................ - 19 -
4 . 1 罗尔中值定理的几何解释
4.2拉格朗日中值定理的几何解释 - 14 -
4.3柯西中值定理的几何解释 - 14 -
5 微分中值定理之间的关系及其深层简述......................................- 19 -
6 微分中值定理的应用................................................. - 19 -
7 总结 ..............................

微分中值定理的证明及其应用
摘要：微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的理论核心。
本文主要介绍微分中值定理在等式的证明，不等式的证明，方程根的存在性及其求近似值等中的应用。
关键词：辅助函数；等式证明；不等式证明；方程根存在性；近似值；
1. 引言
微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中有重要的地位，在微积分教学与研究中具有承前局后的作用，是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具。本文是以罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的若干推广和应用。
1.1预备知识
最大最小定理（定理4.6） 若函数在闭区间上连续，则在上有最大与最小值。
介值性定理（定理4.7） 设函数在闭区间上连续，且。若μ为介于与之间的任何实数〔 ＜＜或 ＞＞〕，则至少存在一点,使得。
根的存在定理 若函数在闭区间上连续，且 与异点（既,＜0）,则至少存在一点，使得，既方程=0在内至少有一个跟。
一致连续性定理（定理4.9） 若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。
费马定理 （定理5.3） 设函数在点的某领域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有。
有界性定理 若函数在闭区间上连续,则在上有界，既存在常数＞0，使得任意的
有︱︳。
⒉ 微分中值定理
2.1罗日（Rolle）中值定理
若函数满足如下条件：（ⅰ）在闭区间上连续。（ⅱ）在开区间内可导。（ⅲ）,则在内至少存在一点，使得
2.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数满足如下条件：（ⅰ）在闭区间上连续。（ⅱ）在开区间内可导,则在内至少存在一点，使得=
注：拉格朗日中值定理的结论称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式。可根据不同问题的特点，在不同场合灵活选用：
①
② ＜＜1
③ ＜＜1
2.3 柯西（Cauchy）中值定理
设函数和满足：（ⅰ）在上都连续。（ⅱ）在内都可导。（ⅲ）和不同时为零。（ⅳ），则存在使得。
3. 微分中值定理的证明
3.1罗日（Rolle）中值定理的证明
证法一：根据条件在闭区间上连续和闭区间上连续函数的最大最小值定理，若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上能取到最小值和最大值.既在区间上存在两点和，使, ,且对任意有。
下面分两种情况讨论：
⑴如果，则在上是常数，所以对有，既内任意一点都可以作为，使
⑵如果＜，由条件有在上两个端点与的函数值与不能同时一个取最大值一个取最小值，既在开区间内必定至少存在一点，函数在点取最大值或最小值，所以在点必取局部极值，由费马定理，有()=0
证法二：分三种情况讨论
⑴,（是常数） 图3.1.2（a）中,中任何一点都满足定理的要求。
⑵图3.1.2（b）,(c) 中,对于中某些，有＞。根据最大最小值定理，在区间中有最大值。因为，所以函数一定是在区间中某一点达到最大值。因此在点有极大值。由在点可微的，根据费马定理可知
⑶图3.1.2(c),(d) 中,对于中某些,有＜。根据最大最小值定理，在区间中有最小值。因为，所以函数一定是在区间中某一点达到最小值。因此在点有极大值。由在点可微的，根据费马定理可知。
3.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理的证明
证法一：构造函数
构造辅助函数.其中.
根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道在闭区间上是连续的，在开区间内是可导的，并且还有，所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数在开区间内至少存在一点，使得 .
证法二：行列式法
构造辅助函数=，则=-+=
由此可得在闭区间上连续。++
==-==。
由此可得在开区间内可导。
又由=， == 可得.
综上所述，可知满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一点使得
故
证法三：积分法
把需证之式变式对应改写成 (把换成)
证明上述方程在内存在根，将上式左边对积分，有[]
= 故取，则在上连续，在内可导且
=。由罗尔中值定理知，至少存在一点（＜＜）使
既=
3.3 柯西（Cauchy）中值定理的证明
证法一：构造函数
构造辅助函数其中
根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道在闭区间上是连续的，在开区间内是可导的，并且还有，所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数在开区间内至少存在一点，使得 故证得
证法二：行列式法
构造辅助函数 ，则=-+
=
由此可得在闭区间上连续。=++
==-==。
由此可得在开区间内可导。由== ==
可得. 综上所述，可知满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一点使得
故=
证法三：积分法
把需证之式变式
对应改写成 (把换成)，证明上述方程在内存在根，将上式左边对积分，有=
故取=，则在上连续，在内可导且。由罗尔中值定理知，至少存在一点（＜＜ ）使既；
通过以上证明可知，“积分法”的关键步聚也是构造辅助函数，其基础方法是：⑴将需证之式整理，使等式右边为零，左边的改写成；⑵对等式左边关于积分；⑶对应积分值写成；这种方法最大优点在于其规律性，不需要过多的考虑步聚。而只需根据规律就可步步得出证明，已掌握和运用。
4. 微分中值定理的几何解释
4.1罗日（Rolle）中值定理的几何解释
在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，
则至少存在一条水平切线。（图4-1）

图4-1
4.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理的几何解释
在满足定理条件的曲线上至少存在一点（，）,
设曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线（图4-2）

图4-2
4.3 柯西（Cauchy）中值定理的几何解释
在曲线(其中为参数，＜＜)存在一点，使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点
,的弦 （图4-3）

图4-3
综上所述，这三个中值定理归纳起来，用几何解释为：在区间上连续且除端点外每一点都存在不垂直于轴的切线的曲线，它们有个共同的特征在曲线上至少存在一点，过该点的切线平行于曲线端点的连线。
5. 微分中值定理之间的关系及其深层阐述
5.1微分中值定理之间的关系
从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系，利用推广和收缩的观点来看这三个定理。在拉格朗日中值定理中，如果则变成罗尔中值定理。在柯西中值定理中，如果则变成拉格朗日中值定理。因此，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。反之，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。从上面的讨论中可以总结得到，罗尔中值定理是这一块内容的基石，而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心，柯西中值定理则是这一块内容的推广应用。
5.2微分中值定理的深层阐述
⑴罗尔中值定理
①罗尔中值定理结论：符合罗尔中值定理条件的函数在开区间内必存在最大值或最小值；在开区间内使的点不一定是极值点；
例如：函数在闭区间上满足罗尔定理的三个条件，由 显然有。但不是的极值点。如果加强条件，可得如下定理：
定理1 如函数在闭区间上满足罗尔中值定理的三个条件，且在开区间内只有唯一的一个点使成立，则点必是的极值点。完全按照罗尔中值定理的证法，即可证得使成立的唯一一点就是在内的最值点，当然是极值点。
②逆命题不成立
罗尔中值定理的逆命题：设函数在闭区间上连续，在开区间内可导。若在点在处有，则存在使得；
例如：函数，（＞）显然在上连续，在内可导，。但是不存在，＜使得。如果加强条件，下述定理成立：
定理2 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且导函数是严格单调函数，则在点
处有的充分必要条件是存在，＜使得。
⑵拉格朗日中值定理
①拉格朗日中值定理结论中的点x不是任意的；
例：若函数在 （为任意实数）上可导，且（为常数）则这一命题正确吗？
证明：设为任意正数，有题设在闭区间上连续，在开区间内可导。由拉格朗日中值定理，至少存在一点使得。又因为故。由夹在与之间，当时也趋于于是。上述证明是错误的，原因在于是随着的变化而变化，既。但当时，未必连续地趋于，可能以某种跳跃方式趋于，而这时就不能由趋于推出了。
例：函数满足，且在内存在。但（）并不存在，当然不会成立。
②条件补充
定理3 若函数在（为任意实数）上可导，且存在，若（常数）则.
⑶柯西中值定理
柯西中值定理的弱逆定理：设，在上连续，在内可微，且严格单调，则对于，＜＜使得=成立。
证明：对，作辅助函数 显然在上连续，在内可微，并且由，严格单调知也严格单调。由拉格朗日定理知，，＜ξ＜使得成立。而==，所以有 即[]= =。
6. 微分中值定理的应用
三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性，等式证明，不等式证明，求近似值等；以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用。
⑴罗尔中值定理的应用
例1：设且满足。证明：方程在内至少有一个实根。
证：作辅助函数则，，在上连续，在内可导，故满足罗尔中值定理条件。因此存在，使 又由此即知原方程在内至少有一个实根。
例2：设函数在上连续，在内可导，且。试证：在 （＞）内至少存在一点ξ使；
证：选取辅助函数，则在在上连续，在内可导，。由Rolle定理知，至少存在一点使 ＞ 即 。
例3：试讨下列函数 在指定区间内是否存在一点ξ使；
解： 故在上连续，且 ， 从而在上满足罗尔定理的条件，即使；
⑵拉格朗日中值定理的应用
例1：设为上二阶可导函数，，并存在使得＞，试证：至少存在一点使得＜；
证：由为上二阶可导函数，则在，上均二阶可导。由Lagrange中值定理得使得＞，使得＜而在，同样推得=＜；
例2：应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
⑴＜＜ 其中＜＜ ⑵＜＜ 其中＞
证：⑴设 显然在上满足拉格朗日中值定理条件，且 故 使 而＜＜ 故有＜＜
即＜＜；
⑵设，则在上满足拉格朗日中值定理条件，
又因为1＜＜ ＜＜1 ＜＜1 ＜＜；
例3：求的近似值；
解：是在处的值，令 则
由Lagrange中值定理，存在一点 可取 近似计算得；
⑶柯西中值定理的应用
例1：设＜＜＜，证明：存在使得；
证：设 则在上满足柯西中值定理条件，故 使得 即，；
例2：设函数在上连续，在上可导，试证：存在使得；
证：设 显然它在上与一起满足柯西中值定理条件，所以存在使得整理后既得；
例3：设＞ 对＜＜的情况，求证；
证：当时结论显然成立；当时，取或，在该区间设 由Cauchy定理得 或 即；当＞时， ＞1即＞
又＜故＞ 即＜；当＞时，＜ 即＞
故＞即＜；
例4：设＞，＜＜＜ 证明：＞成立；
证：令 由题设条件可知，在上满足Cauchy定理的条件，于是有即 （＜＜＜＜） 故＞＞＞即＞；
8. 总结
本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习，和一些相关学科内容知识的学习，并结合一些相关的参考图书资料，以及通过网络收集期刊，报刊和杂志上的相关内容，其中还包括自己对这些内容的理解，还通过多方面的了解和研究，且在和老师及同学们一起探讨下，了解到微分中值定理的内在联系，也对微分中值定理深层进行了探讨，还对微分中值定理的应用做了归纳总结；
微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的理论核心，有着少泛的应用。本文主要是对微分中值定理等式的证明，不等式的证明，方程根的存在性以及求近似值等的应用。应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数，构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论。

参考文献
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[2] 欧阳光中，朱学炎，复旦大学数学系．数学分析上册[M] 北京：高等教育出版社 第三版，2007年
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