四川省遂宁中学2022年数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（）
A.1 B.2
C.4 D.6
2．设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．如图，在平面四边形ABCD，，，，．若点E为边上的动点，则的取值范围为（）

A. B.
C. D.
4．直线的倾斜角为(　 )
A. B.
C. D.
5．已知扇形周长为，圆心角为，则扇形面积为（ ）
A. B.
C. D.
6．设集合，，则（）
A. B.
C. D.
7．如果且，则等于
A.2016 B.2017
C.1009 D.2018
8．若，，则的值为（ ）
A. B.－
C. D.
9．下列结论中正确的个数是（）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A.0 B.1
C.2 D.3
10．设，则（）
A.13 B.12
C.11 D.10
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点.现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记，则_______.

12．不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是__________
13．我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉著）一书中有关于三阶幻方的问题：将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等 (如图所示)，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是__________.
8
3
4
1
5
9
6
7
2

14．设函数，若实数满足，且，则的取值范围是_______________________
15．若，则的最小值为__________.
16．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
18．已知函数.

（1）求，的值；
（2）在给定的坐标系中，画出的图象（不必列表）；
（3）若关于的方程恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围.
19．某厂生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为.当年产量不足千件时，（万元）；当年产量不小于千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完.（利润销售收入总成本）
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
20．已知的三个顶点为,,.
(1)求边所在直线的方程；
(2)若边上的中线所在直线的方程为，且,求的值.
21．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.
【详解】令，则函数有最小值
∵，
∴当函数是增函数时，在上有最小值，
∴当函数是减函数时，在上无最小值，
∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，

由图象可知，它们的图象的交点个数为4.
【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.
2、A
【解析】根据图象可得：，，，.，
则.令，，求函数的值域，即可得出结果.
【详解】画出函数的大致图象如下：

根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，
则，，，.，
，，
则.
令，，而函数在单调递增，
所以，则.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.
3、A
【解析】由已知条件可得，设，则，由，展开后，利用二次函数性质求解即可.
【详解】∵
,
因为，，，
所以，
连接，因为，

所以≌，
所以，
所以，则，
设，则，
∴，，，，
所以，
因为，
所以.
故选：A
4、C
【解析】先根据直线方程得斜率，再求倾斜角.
【详解】因为直线，所以直线斜率为，所以倾斜角为，选C.
【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题.
5、B
【解析】周长为则，代入扇形弧长公式解得，代入扇形面积公式即可得解.
【详解】由题意知，代入方程解得，
所以
故选：B
【点睛】本题考查扇形的弧长、面积公式，属于基础题.
6、D
【解析】解一元二次不等式求出集合A，利用交集定义和运算计算即可
【详解】由题意可得
，
则
故选：D
7、D
【解析】∵f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）•f（b），∴令b=1得，f（a+1）=f（a）•f（1），∴,所以，共1009项，所以 .
故选D.
8、D
【解析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果.
【详解】已知，，
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
9、C
【解析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.
【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题，则，故③错误；
对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
10、A
【解析】将代入分段函数解析式即可求解.
【详解】，
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设，则，利用勾股定理求得，进而得出
，根据正弦函数的定义求出，由诱导公式求出，结合同角的三角函数关系和两角和的正弦公式计算即可.
【详解】设，则，
在中，，所以，
即，解得，所以，
所以在中，，
则，
又，
所以.
故答案为：
12、
【解析】利用二次不等式与相应的二次函数的关系，易得结果.
详解】∵不等式对任意实数都成立，
∴
∴＜k＜2
故答案为
【点睛】（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法
13、8
【解析】三阶幻方，是最简单的幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9．其中有8种排法
4 9 2、3 5 7、8 1 6；2 7 6、9 5 1、4 3 8；
2 9 4、7 5 3、6 1 8；4 3 8、9 5 1、2 7 6；
8 1 6、3 5 7、4 9 2；6 1 8、7 5 3、2 9 4；
6 7 2、1 5 9、8 3 4；8 3 4、1 5 9、6 7 2
故答案为：8
14、
【解析】结合图象确定a，b，c的关系，由此可得，再利用基本不等式求其最值.
【详解】解：因为函数，若实数a，b，c满足，且，
；
如图：，且；
令；
因为；
，当且仅当时取等号；
，；

故答案为：
15、
【解析】整理代数式满足运用基本不等式结构后，用基本不等式求最小值.
【详解】∵
∴
当且仅当，时，取最小值.
故答案为:
【点睛】用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，若不能取等，则要改变求最值的方法.
16、
【解析】根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.
【详解】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，
又由函数，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，
因为函数在上单调递减，则，
可得实数的取值范围是.
故答案：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）400；
（2）不能获利，至少需要补贴35000元.
【解析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；
(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.
【小问1详解】
由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴该单位每月处理量为400吨时，每吨平均处理成本最低；
【小问2详解】
该单位每月的获利：
，
因，函数在区间上单调递减，
从而得当时，函数取得最大值，即，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
18、（1），
（2）图象见解析（3）
【解析】（1）由函数解析式直接代入求解；
（2）根据函数解析式及函数的性质画出图象；
（3）利用数形结合的方法可求解.
【小问1详解】
由解析可得：，
因，所以.
【小问2详解】
函数的图象如下：
【小问3详解】
方程有3个不相等的实数解等价于函数的图象与的图象有三个交点，

结合（2）中的图象可得的取值范围为.
19、（1）；（2）万件.
【解析】（1）由题意，分别写出与对应的函数解析式，即可得分段函数解析式；（2）当时，利用二次函数的性质求解最大值，当时，利用基本不等式求解最大值，比较之后得整个范围的最大值.
【详解】解：（1）当，时，

当，时，

∴
（2）当，时，，
∴当时，取得最大值（万元）
当，时，

当且仅当，即时等号成立.
即时，取得最大值万元
综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元
【点睛】与函数相关的应用题在求解的过程中需要注意函数模型的选择，注意分段函数在应用题中的运用，求解最大值时注意利用二次函数的性质以及基本不等式求解.
20、 (Ⅰ) ;（Ⅱ）或
【解析】Ⅰ由斜率公式可得，结合点斜式方程整理计算可得BC边所在直线方程为.
Ⅱ由题意可得，则△ABC的BC边上的高，据此由点到直线距离公式和直线方程得到关于m,n的方程组，求解方程组可得，或，.
【详解】Ⅰ，，．，
可得直线BC方程为，
化简，得BC边所在直线方程为.
Ⅱ由题意，得，
，解之得，
由点到直线的距离公式，得，
化简得或，
或.
解得，或，.
【点睛】本题主要考查直线方程的求解，点到直线距离公式的应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）先由得，再由并集的概念，即可得出结果；
（2）根据，分别讨论，两种情况，即可得出结果.
【详解】（1）若，则，
又，所以；
（2）因为，
若，则，即；
若，只需，解得，
综上，取值范围为.
【点睛】本题主要考查求集合的并集，考查由集合的包含关系求参数，属于常考题型.