保康一中数学方法和结论1.doc

高中数学方法和结论

集合与简易逻辑
定义：集合:把一些元素组成的总体叫做集合
列举法:把集合的元素一一列举出来 ,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法
子集:对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素,称集合为集合的子集 记作:
集合A与集合B相等:如果集合B是集合A的子集,且集合A是集合B的子集,则称集合A与集合B相等

真子集:如果集合,但存在元素且,我们称集合A是集合B的真子集 .
空集:不含任何元素的集合叫空集.
①空集是任何集合的子集.
②空集是任何非空集合的真子集.
A与B的交集: 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集；记作A∩B，读作A交B.
集合A与B的并集:由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合. 称为集合A与B的并集；记作：A∪B；读作A并B，即A∪B = {x | x∈A，或x∈B}
全集:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，记作U.
补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA.
即UA = {x | x∈U，且}
集合特征：确定性、互异性、无序性
表示法：1.自然语言
2.列举法{1,2,3,…}、
3.描述法{x|P}
4.韦恩图
分类：有限集、无限集
数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ
关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝
运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};
补运算＝{x|xA且x∈U}，U为全集
注意：① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1, 所有非空真子集的个数是
④区分集合中元素的形式：如；；；；；；
⑤空集是指不含任何元素的集合、和的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系
元素与集合的关系： ,
.
德摩根公式：.
包含关系

容斥原理

.
子集及真子集个数
设集合,则1.子集个数共有 个
2.真子集有－1个
3.非空子集有－1个
4.非空的真子集有－2个.

简易逻辑——知识点归纳

命题 可以判断真假的语句；
逻辑联结词 或、且、非；
简单命题 不含逻辑联结词的命题；
复合命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题
三种形式 p或q、p且q、非p
真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有个
至多有（）个
小于
不小于
至多有个
至少有（）个
对所有，成立
存在某，不成立
或
且
对任何，不成立
存在某，成立
且
或
四种命题的相互关系

原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题
若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ
　　　　　　　互　　　　　　　互
　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互
　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　否　　　　　　 否
否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　
若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ

充要条件
（1）充分条件：若，则是充分条件.
（2）必要条件：若，则是必要条件.
（3）充要条件：若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
全称量词与存在量词
⑴ 全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；
全称命题p：；
全称命题p的否定p：。
⑵ 存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；
特称命题p：；
特称命题p的否定p：；

函数

函数定义——知识点归纳
函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，
记作y=f（x），x∈A，
其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域
两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们称这两个函数才是同一个函数
映射的定义：一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某一确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，
记作f:A→B
由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集映射的概念中象、原象的理解：
(1) A中每一个元素都有象;
(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；
(3)A中每一个元素的象唯一
函数解析式——知识点归纳
函数的三种表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系
求函数解析式的常见题型：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法
（2）已知求或已知求：换元法、配凑法
（3）已知函数图像，求函数解析式；图象法
（4）满足某个等式，此等式除外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等
（6）利用奇偶性求对称区间的解析式
求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出
求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；
(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；
(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
1.直接法：利用常见函数的值域来求
a.一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；
b.反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；
c.二次函数的定义域为R，
当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}
d.函数 值域为
e. 值域为
f. 值域为R
g. 值域为[-1,1]
h. 值域为[-1,1]
i. 值域为R
j. 值域为R
2.配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；
3.分式转化法（或改为“分离常数法”）型如：
4.换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
5.三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
6.基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；
7.单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域
8.数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域
9.逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：
10.导数法
11.判别式法：
证明及判断函数单调性的一般方法:
①定义法：设；作差（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号
②用导数证明： 若在某个区间A内有导数，则
在A内为增函数；在A内为减函数
③利用已知函数的单调性:在公共定义域内：
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数
求单调区间的方法：
①定义法、
②导数法、设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；
如果，则为减函数.
③图象法
④复合函数在公共定义域上的单调性：
(1)若f与g的单调性相同，则为增函数；
(2)若f与g的单调性相反，则为减函数
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集“同增异减”
⑤ （1）奇函数在其对称区间上的单调性相同；
（2）偶函数在其对称区间上的单调性相反；
⑥函数在上单调递增；
在上是单调递减
奇偶性——知识点归纳
奇函数偶性的定义:
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数
奇函数的性质： 1.奇函数的图象关于原点对称．
2. 若奇函数的定义域包含，则
3.
4.函数 是奇函数
的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
偶函数的定义:一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．
偶函数的性质： 1.偶函数的图象关于y轴对称
2．为偶函数
3.
4.函数是偶函数
的奇次项(即偶数项)的系数全为
5.若函数是偶函数，则；
6.若函数是偶函数，则，并且关于对称.
判断函数的奇偶性:
1.
2.
3设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇 奇奇=偶
偶+偶=偶 偶偶=偶
奇偶=奇
函数的周期性
定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立
则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期
几个函数方程的周期(约定a>0)
（1），则的周期；
（2）或或,则 的周期；
(3)，则的周期；
(4)且，
则的周期；
(5)，则的周期.
反函数——知识点归纳
反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；
定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若 与互为反函数，函数的定义域为、值域为，则1.，
2.；
3．.
4.若函数存在反函数,则其反函数为，并不是，而函数是的反函数.
单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对称
求反函数的一般方法：
（1）由解出，
（2）将中的互换位置，得，
（3）求的值域得的定义域
指数对数函数——知识点归纳
13.
(5)余弦函数,正弦函数，具有性质：量级，.
二次函数——知识点归纳
二次函数的图象及性质:
对于一元二次不等式，设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决
注意：含参数的不等式ax＋bx＋c>0恒成立问题含参不等式ax＋bx＋c>0的解集是R；其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况
二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是
二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即1.，
2.
3.（顶点式）
根分布问题: 设一元二次方程（）的两个实根为，，且。为常数
1.，(两个正根)或

2.，或

3.
4. ，
，

5.

6.

7.

8.在两数之间有且仅有一个根即:（或）

9.或

10.或

讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：
① 判别式；
② ②区间端点的函数值的符号；
③ ③对称轴与区间的相对位置
二次函数最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,b]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;
(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;
(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响
二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若，则
；
若，则 .
(2)当a<0时，若，则；
若，则，.
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：
(1)在给定区间的子区间（形如，，不同）上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(3)恒成立的充要条件是或.
7.解连不等式常有以下转化形式：；

指数对数函数——知识点归纳
1根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，()=a
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=
⑶根式的基本性质：（1），（a0）
（2）.
（3）当为奇数时，；
当为偶数时，.
15.分数指数幂
(1)（，且）；
(2)（，且）.
17．有理指数幂的运算性质
(1)；
(2)；
(3)
指数方程和对数方程几个常见的函数方程
(1)正比例函数,具有性质：.
(2)指数函数,具有性质：.
(3)对数函数,具有性质：.
指数方程和对数方程：
(1) af(x)=bÛf(x)=logab, logaf(x)=bÛf(x)=ab; （定义法）
(2) af(x)=ag(x)Ûf(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)Ûf(x)=g(x)>0（转化法）
(3) af(x)=bg(x)Ûf(x)logma=g(x)logmb(取对数法)
(4) logaf(x)=logbg(x)Ûlogaf(x)=logag(x)/logab(换底法)
的图象和性质

a>1
0<a<1
图象

性质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
对数函数的性质：

a>1
0<a<1
图
象

性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
10同底的指数函数与对数函数互为反函数
18.指数式与对数式的互化式
.
20．对数的运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
(2)
(3);
(4) ;
(5).
(6) ().
(7)推论

21.设函数，记.若的定义域为,则，且；若的值域为,则，且.【对于的情形，需要单独检验.】
函数图象变换——知识点归纳
1作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：
① 确定函数的定义域；
② 化简函数的解析式；
③ 讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；
④ 描点连线，画出函数的图象
2.函数的图象的对称性
(1)若,则函数的图象关于点对称
(2)函数的图象关于直线对称

(3)对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;
(4)函数的图象关于直线对称
3.两个函数图象的对称性
(1) 两个函数与 的图象关于直线对称.
函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
4平移变换：
（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到
①
②
③
④
5对称变换：
（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
（4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到

①
②
③
④
⑤
6翻折变换：
（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；
（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到

7伸缩变换：
（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到
（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到
①y=f(x)y=f();② y=f(x)y=ωf(x)
数列数列
等差数列——知识点归纳
1等差数列的定义:
①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
2等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列
③等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列
3等差数列的通项公式:
④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数
4等差数列的前n项和:
⑤ ⑥
对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数
5等差中项:
⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或
在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项
5等差数列的性质:
⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
⑧ 对于等差数列，若，则
也就是：
⑨若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列如下图所示：

6奇数项和与偶数项和的关系：
⑩设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：
前n项的和
当n为偶数时，，其中d为公差；
当n为奇数时，则，，，，（其中是等差数列的中间一项）
7前n项和与通项的关系：
⑾若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则
等比数列——知识点归纳
1等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）
2等比中项：如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项
也就是，如果是的等比中项，那么，即
3等比数列的判定方法：
①定义法：对于数列，若，则数列是等比数列
②等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列
4等比数列的通项公式：如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为或着
5等比数列的前n项和：

当时，
当时，前n项和必须具备形式
6等比数列的性质：
①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有
② 对于等比数列，若，则
也就是：
如图所示：
③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列如下图所示：

数列的求和——知识点归纳
1等差数列的前n项和公式：
Sn= Sn= Sn=
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；
当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式
2等比数列的前n项和公式：
当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn= Sn=
3拆项法求数列的和，如an=2n+3n
4错位相减法求和，如an=(2n-1)2n
（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）
5分裂项法求和，如an=1/n(n+1)
（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）
6反序相加法求和，如an=
7求数列{an}的最大、最小项的方法：
①an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
数列的综合应用——知识点归纳
1通项与前n项和的关系：
2迭加累加法：
，
， ，………，

3迭乘累乘法：
，，，………，

4裂项相消法：
5错位相减法：
, 是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列

所以有
6通项分解法：
7等差与等比的互变关系：

8等比、等差数列和的形式：

9无穷递缩等比数列的所有项和：

1.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.
2.数列的通项公式与前n项的和的关系 .
3.等差数列的通项公式：；
其前n项和公式为：.
4.等比数列的通项公式：；
其前n项的和公式为：或.
5.等比差数列:的通项公式为
【用待定系数法来求】 ；
数列定义——知识点归纳
（1）一般形式：
(2)通项公式：
(3)前n项和：及数列的通项an 与前n项和Sn 的关系：

第一章 三角函数
角的概念的推广和弧度制——知识点归纳
1角和终边相同：
2几种终边在特殊位置时对应角的集合为：

角的终边所在位置
角的集合
X轴正半轴

Y轴正半轴

X轴负半轴

Y轴负半轴

X轴

Y轴

坐标轴

3弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角
角度制与弧度制的互化：
1弧度
4弧长公式： （是圆心角的弧度数）
5 扇形面积公式：
任意角的三角函数、诱导公式——知识点归纳
1 三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，那么
； ； ；
（； ； ）
2 三角函数的符号：

Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
sin
+
+
－
－
cos
+
－
－
+
tan
+
－
+
－
cot
+
－
+
－
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
3特殊角的三角函数值：

0

sin
0

1
0

cos
1

0

0
tan
0

1

∞
0
∞
cot
∞

1

0
∞
0
4三角函数的定义域、值域：
函 数
定 义 域
值 域

5诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：，，其中
诱导公式二： ；
诱导公式三： ；
诱导公式四：；
诱导公式五：；

－

sin
－sin
sin
－sin
－sin
sin
cos
cos
cos
－cos
－cos
cos
cos
sin
（1）要化的角的形式为（为常整数）；
（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。
同角三角函数的基本关系——知识点归纳
1倒数关系：，，
2商数关系：，
3平方关系：，，
两角和与差的正弦、余弦、正切——知识点归纳
1和、差角公式
；
；

2二倍角公式
；
；

3降幂公式
；；
4半角公式
；；
5万能公式
；；
6积化和差公式
；；
；
7和差化积公式
；；
；
8三倍角公式：
sin3= cos3=
9辅助角公式：

三角函数的图像与性质——知识点归纳
1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2三角函数的单调区间：
的递增区间是，
递减区间是；
的递增区间是，
递减区间是，
的递增区间是，
的递减区间是
3函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心
4由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象
5 由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置
6对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系
7 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8 求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法
9五点法作y=Asin（ωx+）的简图：
五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图
三角函数的最值及综合应用——知识点归纳
1y=asinx+bcosx型函数最值的求法：常转化为y= sin（x+）
2y=asin2x+bsinx+c型 常通过换元法转化为y=at2+bt+c型：
3y=型
（1）当时，将分母与乘转化变形为sin（x+）＝型
（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R时，必须这样作）
4．同角的正弦余弦的和差与积的转换：
同一问题中出现，求它们的范围，一般是令或或，转化为关于的二次函数来解决
5．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：
如已知，求的值，一般是将不包括常数项的式子的分母1用代换，然后分子分母同时除以化为关于的表达式
6．几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
1±sin α 可化为，再用升次公式；
或
（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握．
7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的．
8 三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．
9三角函数的奇偶性
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数．
② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数．
③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数．
④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数．
10正切函数的单调性
正切函数f (x) = tan x， ，在每一个区间上都是增函数，但不能说f (x ) = tan x在其定义域上是增函数．
1．常见三角不等式
（1）若，则；
(2) 若，则.
(3) .
2.同角三角函数的基本关系式：，=，.
3.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
，
4.和角与差角公式
;;
.
=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
5.二倍角公式
；
；
.
6. 三倍角公式
；
；.
7.三角函数的周期公式
函数及函数的周期；
函数的周期.
解三角形及应用举例——知识点归纳
1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径
即 （其中R表示三角形的外接圆半径）
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）
2余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
第一形式，=，第二形式，cosB=
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
3三角形的面积：△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则
①；②；
③；④；
⑤；⑥（其中）
4三角形内切圆的半径：，特别地，
5三角学中的射影定理：在△ABC 中，，…
6两内角与其正弦值：在△ABC 中，，…
7三内角与三角函数值的关系：在△ABC 中

解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”
8.正弦定理：（为的外接圆半径）.
9.余弦定理
；；.
10.面积定理
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2） (3).
11.三角形内角和定理
在△ABC中，有
.
12. 简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.

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