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高中数学方法和结论集合与简易逻辑定义：集合:把一些元素组成的总体叫做集合 列举法:把集合的元素一一列举出来 ,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法 子集:对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素,称集合为集合的子集 记作:集合A与集合B相等:如果集合B是集合A的子集,且集合A是集合B的子集,则称集合A与集合B相等 真子集:如果集合,但存在元素且,我们称集合A是集合B的真子集 . 空集:不含任何元素的集合叫空集. 空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集. A与B的交集: 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集；记作AB，读作A交B. 集合A与B的并集:由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合. 称为集合A与B的并集；记作：AB；读作A并B，即AB = x | xA，或xB 全集:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，记作U. 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA.即UA = x | xU，且集合特征：确定性、互异性、无序性表示法：1.自然语言2.列举法1,2,3,、3.描述法x|P4.韦恩图分类：有限集、无限集数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集关系：属于、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等运算：交运算ABx|xA且xB；并运算ABx|xA或xB;补运算x|xA且xU，U为全集注意： 区别与、与、a与a、与、(1,2)与1,2； AB时，A有两种情况：A与A若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1, 所有非空真子集的个数是区分集合中元素的形式：如；空集是指不含任何元素的集合、和的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 元素与集合的关系： , .德摩根公式：.包含关系 容斥原理.子集及真子集个数设集合,则1.子集个数共有 个 2.真子集有1个3.非空子集有1个4.非空的真子集有2个.简易逻辑知识点归纳 命题 可以判断真假的语句； 逻辑联结词 或、且、非； 简单命题 不含逻辑联结词的命题； 复合命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题 三种形式 p或q、p且q、非p真值表 非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或四种命题的相互关系 原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否 否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非充要条件 （1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.全称量词与存在量词 全称量词-“所有的”、“任意一个”等，用表示； 全称命题p：； 全称命题p的否定p：。 存在量词-“存在一个”、“至少有一个”等，用表示； 特称命题p：； 特称命题p的否定p：；函数函数定义知识点归纳函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），xA，其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们称这两个函数才是同一个函数映射的定义：一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某一确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一函数解析式知识点归纳函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系求函数解析式的常见题型：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法（2）已知求或已知求：换元法、配凑法（3）已知函数图像，求函数解析式；图象法（4）满足某个等式，此等式除外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等（6）利用奇偶性求对称区间的解析式求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域1.直接法：利用常见函数的值域来求a.一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；b.反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；c.二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0)（1），则的周期；（2）或或,则 的周期；(3)，则的周期；(4)且，则的周期；(5)，则的周期.反函数知识点归纳反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若 与互为反函数，函数的定义域为、值域为，则1.，2.；3.4.若函数存在反函数,则其反函数为，并不是，而函数是的反函数.单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对称求反函数的一般方法：（1）由解出，（2）将中的互换位置，得，（3）求的值域得的定义域指数对数函数知识点归纳13.(5)余弦函数,正弦函数，具有性质：量级，. 二次函数知识点归纳二次函数的图象及性质: 对于一元二次不等式，设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R 方程的根函数草图观察得解，对于的情况可以化为的情况解决注意：含参数的不等式axbxc0恒成立问题含参不等式axbxc0的解集是R；其解答分a0(验证bxc0是否恒成立)、a0（a0且0时，若，则；若，则 .(2)当a0（转化法）(3) af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)(4) logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)的图象和性质a10a10a0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=数列的综合应用知识点归纳 1通项与前n项和的关系：2迭加累加法：， ， ， 3迭乘累乘法：，4裂项相消法：5错位相减法：, 是公差d0等差数列，是公比q1等比数列所以有6通项分解法：7等差与等比的互变关系： 8等比、等差数列和的形式：9无穷递缩等比数列的所有项和：1.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.2.数列的通项公式与前n项的和的关系 .3.等差数列的通项公式：；其前n项和公式为：.4.等比数列的通项公式：；其前n项的和公式为：或.5.等比差数列:的通项公式为【用待定系数法来求】 ；数列定义知识点归纳 （1）一般形式：(2)通项公式：(3)前n项和：及数列的通项an 与前n项和Sn 的关系：第一章 三角函数角的概念的推广和弧度制知识点归纳 1角和终边相同：2几种终边在特殊位置时对应角的集合为： 角的终边所在位置角的集合X轴正半轴Y轴正半轴X轴负半轴Y轴负半轴X轴Y轴坐标轴3弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角 角度制与弧度制的互化： 1弧度4弧长公式： （是圆心角的弧度数）5 扇形面积公式：任意角的三角函数、诱导公式知识点归纳 1 三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，那么； ； ； （； ； ）2 三角函数的符号：sin+cos+tan+cot+由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。3特殊角的三角函数值：0sin010cos100tan010cot1004三角函数的定义域、值域：函 数定 义 域值 域5诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式一：，其中诱导公式二： ； 诱导公式三： ； 诱导公式四：； 诱导公式五：； sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。同角三角函数的基本关系知识点归纳 1倒数关系：，2商数关系：，3平方关系：，两角和与差的正弦、余弦、正切知识点归纳 1和、差角公式；2二倍角公式；3降幂公式；4半角公式；5万能公式；6积化和差公式；7和差化积公式；8三倍角公式：sin3= cos3=9辅助角公式：三角函数的图像与性质知识点归纳 1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，的递减区间是3函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心4由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0),再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象5 由yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置6对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系7 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法9五点法作y=Asin（x+）的简图：五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图三角函数的最值及综合应用知识点归纳 1y=asinx+bcosx型函数最值的求法：常转化为y= sin（x+）2y=asin2x+bsinx+c型 常通过换元法转化为y=at2+bt+c型：3y=型（1）当时，将分母与乘转化变形为sin（x+）型（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R时，必须这样作）4同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现，求它们的范围，一般是令或或，转化为关于的二次函数来解决5已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：如已知，求的值，一般是将不包括常数项的式子的分母1用代换，然后分子分母同时除以化为关于的表达式6几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式； 1cos 可用升次公式；1sin 可化为，再用升次公式；或（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的8 三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图9三角函数的奇偶性 函数y = sin (x)是奇函数 函数y = sin (x)是偶函数 函数y =cos (x)是奇函数 函数y = cos (x)是偶函数10正切函数的单调性正切函数f (x) = tan x， ，在每一个区间上都是增函数，但不能说f (x ) = tan x在其定义域上是增函数1常见三角不等式（1）若，则；(2) 若，则.(3) .2.同角三角函数的基本关系式：，=，.3.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。， 4.和角与差角公式 ;.=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).5.二倍角公式 ；.6. 三倍角公式 ；.7.三角函数的周期公式 函数及函数的周期；函数的周期.解三角形及应用举例知识点归纳 1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径即 （其中R表示三角形的外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）2余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍第一形式，=，第二形式，cosB=利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3三角形的面积：ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则；（其中）4三角形内切圆的半径：，特别地，5三角学中的射影定理：在ABC 中，6两内角与其正弦值：在ABC 中，7三内角与三角函数值的关系：在ABC 中 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”8.正弦定理：（为的外接圆半径）.9.余弦定理；.10.面积定理（1）（分别表示a、b、c边上的高）.（2） (3).11.三角形内角和定理 在ABC中，有.12. 简单的三角方程的通解 . .特别地,有. .33