2014年高三理科第一次周考数学.doc

2014年下学期高三周考试卷
高三理科数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．集合，，则
Ａ． 　Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．以下有关命题的说法错误的是（ C ）
A．命题“若则x=1”的逆否命题为“若”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题
3.已知数列的前项和(为常数)，则是数列为等比数列的
　　Ａ．充分必要条件　　　　　　　　　　Ｂ．充分但非必要条件　　　　
Ｃ．必要但非充分条件　　　　　　　　Ｄ．既非充分条件，也非必要条件．
4.已知，则的最小值是 （ ）
3 4
5.已知的外接圆的圆心为，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的投影的数量为 （ ）

6. 已知，函数在单调递减，则的最大值是
A． 　 Ｂ． 　 Ｃ． 　 Ｄ．
7．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（ C ）
A． B． C． D．1
8. 如图1，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间 (分)的函数关系表示的图象只可能是

9. 在中，点D在线段BC的延长线上，且，点在线段上（与点不重合）， 若，则的取值范围是
　 　Ａ． 　　　　Ｂ． 　　　Ｃ． 　　　Ｄ．
10. 8.已知函数，若对于任意实数，总存在以为三边边长的三角形，则实数的取值范围是 （ ）

二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知为等差数列，若，则的值为____.　
12 若，则 ．
13．14.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
14.给出下列命题：①函数在上是增函数；②在中，的充要条件是；③函数的最大周期为.其中真命题的个数为 .
15. .现给出如下四个不等式：① ，②，③ ，④，⑤…＞，请你根据以上不等式的特点和规律，写出第不等式(即一般形式)：
…　　　＞　　　．

三、解答题: 本大题共6小题，满分75分.
16. (本题满分12分)
已知函数(＞０，＞０，｜｜＜）的部分图像如图所示.
（1)求函数的解析式；
（2）若，求的值．
(1) （6分
（2）由， ，
　　(１２分)
或，
说明：若得可不扣分

17. (本题满分12分)
某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取20名同学的成绩（百分制）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[70,80）内的频率，补全这个频率分布直方图，并从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；（估计平均分时，每组中的成绩可都按中间值计算，如分数在[70,80）内的都按75分计算）
（2）若从20名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,70）内的记0分，在[70,100]内的记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．
0.005
0.010
0.025
频率/组距
成绩(分数)
40
50
60
70

80
90
100
0.015

（1）设分数在[70,80）内的频率是，则
(0.01+0.15×2+0.025+0.005) ×10+=1，，（2分）
直方图如图（图画出，0.030标明），（4分）
估计本次考试的平均分为：
（6分）
（2）学生成绩在[40,70）的有人，在在[70,100]的有12人，X可取值是0,1,2，（8分）
，，（11分）
X的分布列为
X
0
1
2
P

∴．（12分）

18. (本题满分12分)
在如图的试验装置中，正方形框架的边长都是１，且平面与平面互相垂直．活动弹子
，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，且
０＜＜.
(1) 求的长；
(2)为何值时，的长最小；
(3)当的长最小时，求面与面所成角的余弦值．

(1)平面 平面，， 平面
如图建立坐标系，得到下列坐标：
，，．
　　　(４分)
(2) ，当时，的长最小．(６分)
(3)当时，的中点为，显然有
所以是面与面所成角的平面角，
所以所求二面角的余弦值　(１２分)

19. (本题满分13分)
为了夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的顶层和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：)满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求常数的值及的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
(１)由　及，得，因此　(2分）
所以，即(4分)
(２) 方法一：（10）
　　　　　　当，即时取最小值70．（12分）
　　　　　　所以当隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元．(13分)
　　　　 方法二：　令　　解得　(舍去)
　　　　　 当＜5时，＜０，　当＜时，＞０，
故当时，取最小值，且
所以当隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元．

20. (本题满分13分)
已知等差数列，为其前n项和，；数列满足，
为数列的前n项和，
(Ⅰ)求：和；
(Ⅱ)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：（Ⅰ）解得 ……………………………3分

（Ⅱ）（1）当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立。
，等号在n=2时取得。
此时需满足<25. ……………………………………8分
（2）当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立.
是随n的增大而增大，取得最小值－6.
此时需满足<－21. …………………………………………………10分
综合（1）（2）可得<－21
的取值范围是. ……………………………………12分

21. (本题满分13分)
已知函数
(1)若＞０，试判断在定义域内的单调性；
(2)若在上的最小值为，求的值；
(3)若＜在上恒成立，求的取值范围．

解：(１) 由得的定义域为，(1分)　(2分)
　　　，　　故是在定义域内的单调递增函数．(3分)
(２)由(１)知，
　　　①若，则，即当时，，所以上是增函数，
　　这与矛盾，舍去．
②若，则易知上是减函数，
　　(舍去)
　　　③若，令，得
　　　　当时，，当时，

综上所述，（8分）
　　(３) ．
　　　　令，，
　　　　时，
　　　　，在上是减函数，
所以当时，
所以，所求的取值范围是．（13分）

高三理科数学第 7 页 （共 7 页）