河南省郑州市2016年高三第一次模拟考试理科数学(含答案).doc

河南省郑州市2016年高三第一次模拟考试
理科数学
（时间120分钟 满分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
1.设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设（是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.0
3.在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.函数在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，则在上的零点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4

6. 按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（ ）

A. B. C. D.
7. 设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 正项等比数列中的是函数的极值点，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
9. 右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰
直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是（ ）
A.2 B.3 C.5 D.8
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包含必考题和选考题两部分，第13-第21题为必考题，每个题目考生都必须作答.第22-24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.二项式的展开式中，的系数是_______.
14.若不等式所表示的平面区域为，不等式组表示的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为________.
15.的三个内角为，若，则的最大值为________.
16.已知点，，，平面区域是由所有满足
的点组成的区域，若区域的面积为16，则的最小值为________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）
某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：
周一
无雨
无雨
有雨
有雨
周二
无雨
有雨
无雨
有雨
收益
20万元
15万元
10万元
7.5万元
若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元.额外聘请工人的成本为万元.
已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.
（Ⅰ）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；
（Ⅱ）该基地是否应该外聘工人，请说明理由.

19.（本小题满分12分）
如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.
（Ⅰ）若为中点，求证：∥平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小.

20.（本小题满分12分）
已知点，，曲线上任意一点到点的距离均是到点的距离的倍.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）已知，设直线交曲线于两点，直线交曲线于两点，两点均在轴下方.当的斜率为时，求线段的长.

21.（本小题满分12分）
设函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，讨论函数与图象的交点个数.

请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，的平分线与和的外接圆分别相交于和，延长交过的三点的圆于点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求的值.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线上的动点到曲线的距离的最大值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）当时，函数的最小值总大于函数，试求实数的取值范围.

河南省郑州市2016年高三第一次模拟考试
理科数学 参考答案
一、选择题
ADBCC BDA AA DD
二、填空题
13.60； 14. 15. 16.
三、解答题（共70分）
17.⑴解：由已知条件:-----2分
当时，
当时，而，，------6分
⑵解：由⑴可得 -----7分
当为偶数时， ---9分
当为奇数时，为偶数 ---11分
综上， --------12分

18.⑴解：设下周一有雨的概率为，由题意，， -------2分
基地收益的可能取值为，
则
所以基地收益的分布列为：

20
15
10
7.5

0.36
0.24
0.24
0.16
-------6分

基地的预期收益，
所以，基地的预期收益为14.4万元.---------8分
⑵设基地额外聘请工人时的收益为万元，
则其预期收益（万元），--------10分
，
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以.------12分

19.⑴证明：设与交于点，连结，在矩形中，点为中点，
因为为中点，所以∥，又因为平面，平面，所以∥平面.-----4分
⑵解：因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，------6分
以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设，，
，因为，
所以，，--8分
设平面的法向量， 由 得到的一个解为，注意到平面的法向量，--10分
而所以，平面与所成锐二面角的大小为.12分
20.⑴解：设曲线上任意一点坐标为，
由题意，， -----2分
整理得，即，为所求.-----4分
⑵解：由题知 ，且两条直线均恒过点，设曲线的圆心为，则，线段的中点为，则直线：,设直线：，
由 ，解得点，-----6分
由圆的几何性质，，而，，，解之得或，又两点均在轴下方，直线：.由解得 或
不失一般性，设， --9分
由消得：，⑴
方程⑴的两根之积为1，所以点的横坐标，
又因为点在直线上，解得，
直线，所以，--11分
同理可得，，所以线段的长为. --12分
21.⑴解：函数的定义域为，，
当时，，所以函数的单调增区间是，无减区间；--2分当时，；当时，，函数的单调递减；当时，，函数的单调递增.
综上：当时，函数的单调增区间是，无减区间；当时，函数的单调增区间是，减区间是.----4分
⑵解：令，问题等价于求函数的零点个数， ----5分
当时，，有唯一零点；当时，，
当时，，函数为减函数，注意到，，所以有唯一零点；--7分
当时，或时，时，所以函数在和单调递减，在单调递增，注意到，
，所以有唯一零点； ----9分
当时，或时，时，
所以函数在和单调递减，在单调递增，意到，
所以，而，所以有唯一零点. ---11分
综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点. ---12分

22.⑴证明：因为，
，平分，所以，所以.---4分
⑵解：因为，，
所以， 即，---6分
由⑴知，，所以， ---8分
所以. ---10分
23.⑴解：，----------2分
即，可得，
故的直角坐标方程为.----------5分
⑵解：的直角坐标方程为，由⑴知曲线是以为圆心的圆，
且圆心到直线的距离， ----------8分
所以动点到曲线的距离的最大值为.----------10分
24.⑴解：当时，原不等式可化为，此时不成立；
当时，原不等式可化为，即，
当时，原不等式可化为,即，-----3分
综上，原不等式的解集是．-----5分
⑵解：因为，当且仅当时“=”成立，
所以，-----7分
，所以，∴,即为所求．---10分