《10.1-不等式的基本性质》导学案2.doc

《10.1 不等式的基本性质》导学案

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学习目标
重点难点
1．会用不等式表示不等关系；
2．能够运用作差法比较两个数的大小；
3．记住不等式的性质；
4．会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.
重点：不等式的性质及其应用；
难点：比较两个数的大小，运用不等式的性质证明不等式；
疑点：不等式的性质.
预习导引
1．实数的大小比较
(1)描述不等关系的式子是：
a＞b⇔________，
a＝b⇔a－b＝0，
a＜b⇔________.
(2)作差比较法的基本思想为：
如果a－b＞0，那么________；如果a－b＜0，那么________；如果a－b＝0，那么________．
预习交流1
不等号“≥”“≤”的含义是什么？
预习交流2
作差法比较两个实数大小的步骤是什么？
2．不等式的基本性质
性质1　如果a≤b，且b≤a，那么________．
性质2　如果a＞b，且b＞c，那么________．
性质3　如果a＞b，那么a＋c______b＋c.
性质4　设a＞b，
若c＞0，则ca＞cb；
若c＜0，则________．
性质5　如果a＞b，且a，b同号，那么________．
预习交流3
若a＞b且c＞d，那么a＋c与b＋d，a－d与b－c的大小关系能否确定？
预习交流4
若a＞b且c＞d，能否确定ac与bd的大小关系？
预习交流5
当a＞b时，一定有＜吗？
自我感悟
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点

答案：
1．(1)a－b＞0　a－b＜0　(2)a＞b　a＜b　a＝b
预习交流1：提示：“≥”的含义是大于或等于，也可理解为不小于；“≤”的含义是小于或等于，即不大于．不等式3≥3，5≥2，－2≤6等都成立．
预习交流2：提示：(1)作差；(2)对差式进行变形，变形的方法主要有因式分解、配方、通分、分子分母有理化等；(3)判断差式的符号；(4)下结论．
2．a＝b　a＞c　＞　ca＜cb　＜
预习交流3：提示：能确定．由a＞b且c＞d，一定有a＋c＞b＋d，a－d＞b－c.
预习交流4：提示：不能确定．只有当a＞b＞0且c＞d＞0时，才有ac＞bd.
预习交流5：提示：不一定．只有当a＞b且ab＞0时，才有＜.

问题导学
一、用不等式(组)表示不等关系
活动与探究
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
思路分析：先求出定价为x元时的销售量，从而得到定价为x元时的销售总收入，然后根据题意建立不等式．
迁移与应用：

一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，则以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式为__________．
1．用不等式表示不等关系时，要注意以下两点：一是要恰当地进行语言转换，即自然语言、符号语言、图形语言之间的转换；二是要准确使用不等号，同时还要注意表示各量的字母的条件．
2．不等关系可以表示常量与常量之间的不等关系，例如：2＞－4，也可以表示变量与常量之间的不等关系，例如：2a≤5；还可以表示函数与函数之间的不等关系，例如：f(x)＜g(x)．
二、两个实数的大小比较
活动与探究
比较下列各组中两个实数或代数式的大小：
(1)2x2＋3与x＋2；
(2)－与－.
思路分析：对于(1)，可利用作差法，根据a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0进行比较；对于(2)，可先对每个数进行分子有理化，然后通过分母的大小关系进行判断．
1．比较(m2＋7)(m2＋9)与m4＋64的大小，其中m＞.
2．比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小关系，其中a，b均为负数．
作差法是比较两个实数大小的基本方法，一般步骤是：(1)作差；(2)变形，变形的常用方法是配方、因式分解、分子分母有理化等；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论，写出两个实数的大小关系．
三、不等式性质的应用
活动与探究
对于实数a，b，c，判断下列命题的真假：
(1)若a＞b，则ac2＞bc2；
(2)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；
(3)若c＞a＞b＞0，则＞；
(4)若a＞b，＞，则a＞0，b＜0；
(5)若a＜b＜0，则＞.
思路分析：要判断这些命题的真假，可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的基本性质，经过合理的逻辑推理即可．
迁移与应用：

1．若a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式中正确的是(　　)．
A．a＜ab2＜ab B．ab2＜a＜ab
C．a＜ab＜ab2 D．ab2＜ab＜a
2．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　)．
A．＜ B．a2＞b2
C．＞ D．a|c|＞b|c|
1．解决这类命题真假判断问题时，通常有两种方法：一是直接利用不等式的性质，进行推理，看根据条件能否推出相应的不等式；二是采用取特殊值的方法，判断所给的不等式是否成立，尤其是在选择题中经常采用这种办法．
2．注意正确的倒数法则是：a＞b，ab＞0⇒＜，不能误认为：a＞b⇒＜，在应用时不能出错．
活动与探究
如果3＜a＜7，1＜b＜10，试求a＋b，3a－2b，的取值范围．
思路分析：先根据a，b的范围得出3a，－2b，等的范围，然后根据同向不等式的可加性与可乘性分别求出a＋b，3a－2b，的取值范围．
迁移与应用：

已知－2＜a＜－1，－3＜b＜－2，则a－b的取值范围是__________，a2＋b2的取值范围是__________．
利用不等式的性质可以解决取值范围问题，当题目中出现两个变量求取值范围时，要注意两个变量是相互制约的，不能分割开来，应建立待求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性质求出取值范围．
当堂检测
1．“限速40 km/h”的路标，提示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，可用不等式表示为(　　)．
A．v＞40 B．v≥40 C．v＜40 D．v≤40
2．若x＞1＞y，下列不等式中不成立的是(　　)．
A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1
C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x
3．若角α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是(　　)．
A．－2π＜α－β＜2π B．－2π＜α－β＜0
C．－π＜α－β＜0 D．－π＜α－β＜π
4．某车间有20名工人，每人每天可加工甲种零件5件或乙种零件4件．在这20名工人中，派x人加工乙种零件，其余的加工甲种零件，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元，若要使车间每天获利不低于1 800元，则x所要满足的不等关系为__________．
5．已知a∈R，试比较与1＋a的大小．
盘点收获
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
知识精华
技能要领

答案：
活动与探究1：解：若杂志的定价为x元，则销售量为8－×0.2，从而销售的总收入为x万元．那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式x≥20.
迁移与应用：
3x≥300－60　解析：由于第一天完成了60土方，所以要想比原计划至少提前两天完成任务，则应至多用3天完成300－60土方，所以以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式为3x≥300－60.
活动与探究2：解：(1)因为(2x2＋3)－(x＋2)＝2x2－x＋1＝22＋≥＞0，
所以2x2＋3＞x＋2.
(2)因为－＝，－＝，而＋＜＋，所以＞，即－＞－.
迁移与应用：
1．解：因为(m2＋7)(m2＋9)－(m4＋64)＝16m2－1，而m＞，所以16m2－1＞0，
故(m2＋7)(m2＋9)＞m4＋64.
2．解：a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．
由于a，b均为负数，所以a＋b＜0，(a－b)2≥0，
所以(a－b)2(a＋b)≤0，故a3＋b3≤a2b＋ab2.
活动与探究3：解：(1)当c＝0时，有ac2＝bc2，所以该命题为假．
(2)由可得a2＞ab；又因为所以ab＞b2，
从而有a2＞ab＞b2，该命题为真．
(3)由a＞b＞0可得－a＜－b＜0，
又c＞a＞b，于是0＜c－a＜c－b，因此＞＞0，
于是＞.故该命题为真．
(4)由＞可知－＝＞0，
而a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0，
又a＞b，从而必有a＞0，b＜0，
故该命题为真．
(5)依题意取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，显然＞错误，所以该命题为假．
迁移与应用：
1．A　解析：因为－1＜b＜0，所以b＜0＜b2＜1，于是a＜ab2＜ab.
2．C　解析：当a＞0＞b时，＜不成立，a2＞b2不一定成立，排除A，B；
∵＞0，a＞b⇒＞，故C是正确的；当c＝0时，a|c|＞b|c|不成立，D错误，答案应选C.
活动与探究4：解：因为3＜a＜7，1＜b＜10，
所以3＋1＜a＋b＜7＋10，即4＜a＋b＜17；
又因为9＜3a＜21，－20＜－2b＜－2，
所以－11＜3a－2b＜19；
又因为9＜a2＜49，
所以＜＜，于是＜＜.
迁移与应用：
(0，2)　(5，13)　解析：因为－2＜a＜－1，－3＜b＜－2，所以2＜－b＜3，于是0＜a－b＜2；
又因为1＜a2＜4，4＜b2＜9，所以5＜a2＋b2＜13.
当堂检测
1．D
2．A　解析：利用不等式的性质直接判断．
3．B　解析：因为－＜β＜，－＜－β＜，
又α－β＝α＋(－β)，且α＜β，所以－2π＜α－β＜0.
4．16×5×(20－x)＋24×4x≥1 800
5．解：－(1＋a)＝.
(1)当a＝0时，＝0，∴＝1＋a；
(2)当a＜1，且a≠0时，＞0，∴＞1＋a；
(3)当a＞1时，＜0，∴＜1＋a.