优秀教案28-直线与方程-复习课.doc

复习课: 第三章 直线与方程
教学目标
重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系．
难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决．
能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力．
教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．
自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；
2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；
3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题．
考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目．
易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错．
易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件．
拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究．
学法与教具
1． 学法：讲练结合，自主探究
2．教具：多媒体课件，三角板
一、【知识结构】
直线的方程
直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
定义
范围
直线的斜率
定义
公式
直线方程的五种形式
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式

两条直线的位置关系
平行与垂直的判定
两直线相交
直线对称问题
点关于直线对称
直线关于直线对称
平行的判定方法
垂直的判定方法
直线关于点对称
三种距离计算
点与点的距离
点与线的距离
平行线的距离
求交点坐标

二、【知识梳理】
1．直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴________与直线________方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
②倾斜角的范围为______________．
（2）直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即
________，倾斜角是的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点，的直线的斜率公式为______________________．当时，直线的斜率__________．
（3）直线的倾斜角与斜率的关系
当为锐角时，越大越____；当为钝角时，越大越____；

2．直线方程的五种基本形式
名称
几何条件
方程
局限性
点斜式
过点，斜率为

不含__________的直线
斜截式
斜率为，纵截距为

不含__________的直线
两点式
过两点和（）

不含__________的直线
截距式
横截距为，纵截距为

不含________和_______的直线
一般式

平面直角坐标系内的直线都适用
答案：1．（1） ①正向，向上， ；②； （2） ①正切值，；②．不存在．（3）大，大．
2．，，，，．
垂直于轴；垂直于轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点．
3．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线、，其斜率分别为、，则有____________．特别地，当直线的斜率、都不存在时，与________．
（2）两条直线垂直
如果两条直线斜率、存在，设为、，则____________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线________．
4．两直线相交
交点：直线：和：的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交方程组有__________，交点坐标就是方程组的解；
平行方程组________；
重合方程组有______________．
5．三种距离公式
（1）点、间的距离：
．
（2）点到直线：的距离：
．
（3）两平行直线：与： （）间的距离为______________．
6．直线中的对称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直线以及直线关于点的对称直线呢？
三、【范例导航】
例1 已知直线与以、为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围．
【分析】可用两点式写出直线的方程，联立直线和的方程，解出交点的坐标，利用，解出的取值范围，由与斜率的关系，即得斜率的取值范围．这样求解，显然非常繁琐，不宜采用．既然直线的方程中含有参数，可以得到直线必过一定点，将直线绕定点转动，寻找与线段相交的位置．由“直线与线段相交”展开联想．
（1）结合图形，运用运动变化的观点，考虑直线斜率与倾斜角的变化关系，可求出符合条件的直线斜率的取值范围．
（2）直线与线段相交于点，则点、分别在直线的两侧或其中一点在直线上，可考虑利用不等式表示的平面区域求解．
【解答】直线的方程可以化为，它表示经过直线和的交点的直线方程，由解得所以直线必过定点．
法一：设与的倾斜角分别为，．，．如图，当直线由变化到与轴平行的位置时，其倾斜角由增至，斜率的变化范围是．当直线由变化到的位置时，其倾斜角由增至，斜率的变化范围是．
故斜率的取值范围是．
法二：设直线的方程为，即．
∵点、分别在直线的两侧或其中一点在直线上，∴，
解得或．故斜率的取值范围是．
【点评】（1）求直线过定点的步骤是：①将直线方程整理为（其中为参数）；②解方程组即得定点坐标．
（2）本题确定直线斜率的取值范围用了以下两种方法：
①数形结合法：根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角与斜率的关系：“当为锐角时，越大越大；当为钝角时，越大越大”去探究的变化规律．
②利用不等式表示的平面区域：当、在直线的异侧时，则；当、在直线的同侧时，则．
变式训练：在上述条件中，若点坐标为，则直线的斜率的取值范围有何变化？
解 当点坐标为时，，．直线由转动到的过程中，直线的斜率始终是存在的，故斜率的取值范围是．
例2 求适合下列条件的直线方程：
（1） 过点，斜率是直线的斜率的；
（2） 经过点，且在两坐标轴上的截距相等；
（3） 过点与已知直线相交于点且．
【分析】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．
【解答】（1） 设所求直线的斜率为，依题意．又直线经过点，
由点斜式,得直线方程为，即．
（2）法一：设直线在，轴上的截距均为．
①若，则过点和，由点斜式，得的方程为，即．
②若，则设的方程为，∵过点，∴，解得，
∴的方程为．
综上可知，直线的方程为或．
法二：由题意，所求直线的斜率必定存在．设所求直线方程为，它在轴、轴上的截距分别为、，于是，解得或，所以直线方程为或，即或．
（3）法一：过点与轴平行的直线为．解方程组，求得点坐标为，此时，即为所求．
设过且与轴不平行的直线为，解方程组得两直线交点为（，否则与已知直线平行），则点坐标为．
由已知，解得，∴，即．
综上可知，所求直线的方程为或．
法二：设，由，得，整理，得，解得或．由两点式，得直线的方程为或．
【点评】（1）用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
（2）求直线方程需要两个条件．当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程，如第（1）题；当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程，如第（2）和第（3）题．
（3）对于直线上的点，我们往往运用直线方程，将该点的坐标一元化，从而简化运算过程，如第（3）题的法二，若设，则需列方程组求解，过程较为繁琐．
变式训练： 求满足下列条件的直线的方程：
（1） 过点，它的倾斜角的正弦值是；
（2） 过点，它的倾斜角是直线的倾斜角的一半；
（3） 过点和直线与的交点．
答案（1） 或．（2） ．
（3） 法一：由解得交点坐标为，由两点式，得所求直线方程为．
法二：设所求直线方程为（其中），将点代入，解得，从而所求直线方程为．
例3. （1）已知两直线：，：，若，求实数的值；
（2）已知两直线：和：．若，求实数的值．
【分析】（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线和，，．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
（2）①若直线和有斜截式方程：，：，则．
②设：，：．则：．
【解答】（1）方法一：①当时，：，：，；
②当时， ：， ：，
由且，
∴．
故所求实数的值为或．
方法二:直线：，：平行的等价条件是：
且或，由所给直线方程可得：
且且
或，故所求实数的值为或．
（2）　方法一：由直线的方程知其斜率为，
当时，直线的斜率不存在，与不垂直；
当时，直线的斜率为，
由．
故所求实数的值为．
方法二:　直线：，：垂直的等价条件是．
由所给直线方程可得：，故所求实数的值为．
【点评】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，注意转化与化归思想的应用．
变式训练:已知两直线：和：．试确定、的值，使
（1） 与相交于点；
（2） ；
（3） ，且在轴上的截距为．
答案：（1）由题意得：，解得．
（2）当时，显然不平行于；
当时，由得，
∴，或．
即时或时，．
（3）当且仅当，即时，，又，∴．
即，时，且在轴上的截距为．
例4．求经过直线：和：的交点，且垂直于直线：的直线的方程．
【分析】运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：（1）与直线平行的直线系方程是： ；（2）与直线垂直的直线系方程是 ；（3）过直线：与：的交点的直线系方程为，但不包括．
【解答】方法一：先解方程组，得、的交点坐标为，再由的斜率求出的斜率为，于是由直线的点斜式方程求出：，即.
方法二：　由于，故是直线系中的一条，而过、的交点，故，由此求出，故的方程为.
方法三：　由于过、的交点，故是直线系中的一条，将其整理，得，其斜率，解得，代入直线系方程即得的方程为.
【点评】准确定位直线的各个要素才能快速求出直线方程，常规方法及直线系方程的恰当使用能够起到事半功倍的效果．
变式训练：直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程．
答案：设直线与的交点为，由已知条件，得直线与的交点为，并且满足，即，解得：，因此直线的方程为：
，即．

四、【解法小结】
1．斜率的求法
（1） 定义法：已知倾斜角，可根据求解；
（2）公式法：已知直线上两点、，可根据斜率公式（该公式与两点顺序无关）求解．
2．求直线方程．直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性．
（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程．
（1）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程．
3．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线、，，．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意．
4．在运用两平行直线间的距离公式时，一定要注意将两方程中的，项系数化为分别相等的系数．

五、【布置作业】
必做题：
1．已知，若平面内三点共线，则 ．
2．经过点的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，求直线的方程．
3.已知直线：与：平行，则的值是 ．
4．若直线：与直线关于点对称，则直线恒过定点是 ．
5．已知，则的最小值是 ．
6．设直线经过点，则当点与直线的距离最大时，直线的方程为 ．
答案：
1． 2． 3．或；4．；5．； 6．
选做题：
1．已知直线．
（1）证明直线过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，求使面积最小时直线的方程．
2.已知直线：，点．求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线：关于直线的对称直线的方程；
（3）直线关于点对称的直线的方程．
答案：
1．（1）定点；（2）；（3）．
2. 【解答】（1）设，由已知，解得：，
∴
（2）在直线上取一点，如，则 关于直线的对称点必在直线上．设对称点
，则，得，
设直线与直线的交点为，则由得．
又∵经过点，，∴由两点式得直线的方程为．
（3）方法一　在：上任取两点，如，，则关于点
的对称点均在直线上，易得，，再由两点式可得的方程为．
方法二　∵，∴设的方程为，
∵点到两直线，的距离相等，∴由点到直线的距离公式得：，解得，∴的方程为．
方法三　设为上任意一点，则关于点的对称点为，
∵点在直线上，∴，即．
【点评】（1）点关于线对称，转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．
（2）线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题．

六、【教后反思】
1．本教案的亮点是：直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直．因此要启发学生在应用时关注它们各自适用的范围，以免漏解.对两直线的位置关系选题典型，特别强化了基本运算的转化，涉及了中点问题，为后续复习做好了铺垫．让学生在课堂中提出问题、讨论、讲解，问题的解决非常好．
2．本教案的弱项是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显距离问题的计算，课堂实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解．