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2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编
第2部分:函数
一、选择题:
17.(上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科)若函数()为奇函数,且存在反函数(与不同),,则下列关于函数的奇偶性的说法中正确的是( A ).
A.是奇函数非偶函数 B.是偶函数非奇函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数又非偶函数
18、(上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科)如图,函数的图像是中心在原点,焦点在轴上的椭圆的两段弧,则不等式的解集为 ----------------( )
(A)
(B)
(C)
(D)
18.(上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科)在直角坐标平面内,点对于某个正实数k,总存在函数,使,这里、,则k的取值范围是………………( A )
A.. B.. C.. D..
18、(上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科)如果函数在定义域的某个子区间上不存在反函数,则的取值范围是 ( D )
18、(上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科)函数与在同一坐
标系的图像有公共点的充要条件是( D )
A、 B、 C、 D、
18. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)若函数()的零点都在区间[-10,10]上,则使得方程有正整数解的实数的取值个数为 ( C )
A. 1 B. 2 C. 3; D. 4.
18.(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)若函数在上既是奇函数,又是减函数,则的图像是( A )
16.(上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科)下列函数中,与函数 有相同定义域的是--------------------------------------( A )
A . B. C. D.
x
L
N
M
O
F
E
D
C
B
A
y
18.(上海市浦东新区2010年4月高考预测理科)如图,在直角坐标平面内有一个边长为、中心在原点的
正六边形,. 直线
与正六边形交于M、N两点,记的面积为,则函数
的奇偶性为 ( A )
A.偶函数 B.奇函数
C.不是奇函数,也不是偶函数 D.奇偶性与有关
二、填空题:
4.(上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科)若函数,则方程的解 .
4.(上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文科)若函数,则方程的解 .
3、(上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科)函数的图像恒过一定点是_____。(2,2)
2、(上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科)若函数的反函数的图像过点,则
14.(上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科)若不等式对于一切正数、恒成立,则实数的最小值为 2 .
12、(上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科)不等式对任意的实数都成立,则实数的取值范围是______。 [-1,0]
3、(上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科)函数的图像恒过一定点是_________。(2,2)
11、(上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科)P是函数上的图像上任意一点,则P到y轴的距离与P到的距离之积是________。
4.(上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科)幂函数的图像过点,则函数的反函数= (要求写明定义域).
14.(上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科)已知函数的定义域和值域都是(其图像如下图所示),函数.定义:当且
时,称是方程的一个实数根.则方程的所有不同实数根的个数是 .8
5、(上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科)函数图像的顶点是,且成等比数列,则14
13、(上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科)根据统计资料,在小镇当某件讯息发布后,小时之内听到该讯息的人口是全镇人口的﹪,其中是某个大于0的常数,今有某讯息,假设在发布后3小时之内已经有70﹪的人口听到该讯息。又设最快要小时后,有99﹪的人口已听到该讯息,则=小时。(保留一位小数)11.5
14、(上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科)已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是
2. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)设函数的图像关于原点对称,且存在反函数. 若已知,则 . -4
3. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)函数的定义域是 .
2.(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)方程=1的解是 ▲ .2
3.(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)设函数,那么 ▲ .3
12.(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用=年均成本费+年均维修费).设某种汽车的购车的总费用为50000元;使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元;前年的总维修费满足,已知第一年的维修费为1000元,前二年总维修费为3000元.则这种汽车的最佳使用年限为 ▲ .10
13.(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)设函数和都在区间上有定义,若对的任意子区间,总有上的实数和,使得不等式成立,则称是在区间上的甲函数,是在区间上的乙函数.已知,那么的乙函数 ▲ .
6.(上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科)函数的反函数为________________.
14. (上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科) 设表示不超过的最大整数,如.若函数,则
的值域为________________.
1.(上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文科)函数的定义域是________________.
12.(上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科)设函数,则的值为 【 B 】
A.0 B.1 C.10 D.不存在
13.(上海市浦东新区2010年4月高考预测理科)设函数由方程确定,下列结论正确的是(1)(2)(3)(4).(请将你认为正确的序号都填上)
(1)是上的单调递减函数;
(2)对于任意,恒成立;
(3)对于任意,关于的方程都有解;
(4)存在反函数,且对于任意,总有成立.
三、解答题
21.(上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科)(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.
如图,反比例函数()的图像过点和,点为该函数图像上一动点,过分别作轴、轴的垂线,垂足为、.记四边形(为坐标原点)与三角形的公共部分面积为.
(1)求关于的表达式;
(2)求的最大值及此时的值.
21.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.
解:(1)由题设,得(),(2分)
当时,,当时,,当时,,
故(8分)
(2)易知当时,为单调递增函数,,(10分)
当时,为单调递减函数,,(12分)
当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,(证明略),得,故的最大值为,此时.(16分)
20、(上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科)(本题满分14分,第(1)小题6分,第(2)小题8分)
已知函数;
(1)证明:函数在上为减函数;
(2)是否存在负数,使得成立,若存在求出;若不存在,请说明理由。
20.解:
(1)任取,且 (1分)
∵ (4分)
∴函数在上为减函数 (1分)
(2)不存在 (1分)
假设存在负数,使得成立, (1分)
则 (1分)
即
(1分)
(2分)
与矛盾, (1分)
所以不存在负数,使得成立。 (1分)
另:,由得: 或但,所以不存在。
22、(上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科)(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分)
已知函数;
(1)求出函数的对称中心;
(2)证明:函数在上为减函数;
(3)是否存在负数,使得成立,若存在求出;若不存在,请说明理由。
22.解:(1) (2分)
函数的对称中心为(-1,-1) (2分)
(2)任取,且 (1分)
∵ (4分)
∴函数在上为减函数 (1分)
(3)不存在 (1分)
假设存在负数,使得成立,
则 (1分)
即
(2分)
与矛盾, (1分)
所以不存在负数,使得成立。 (1分)
另:,由得: 或但,所以不存在。
21.(上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科)(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.
已知函数(,、是常数,且),对定义域内任意(、且),恒有成立.
(1)求函数的解析式,并写出函数的定义域;
(2)求的取值范围,使得.
21.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.
解 (1) ∵,
∴即对使等式有意义的任意x恒成立. ………………………………4分
∴. …………………………………6分
于是,所求函数为定义域为. ………8分
(2) ∵,,
∴,即.……10分
解不等式;解不等式.……14分
∴当时,. ………16分
(说明:也可以借助函数单调性、图像求解)
19.(上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟文科)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
已知二次函数对任意均有成立,且函数的图像过点.
(1)求函数的解析式;
(2)若不等式的解集为,求实数的值.
19、(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
解 (1)成立,且图像过点,
……………………2分
化简.…3分
此一元一次方程对都成立,于是,,即.
进一步可得
. …………………………………6分
. ………………7分
(2) ,
…… 9分
.………………10分
于是,,解此方程组,得. ……… 13分
∴. …………………14分
21.(上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟文科)本题满分16分.
已知,函数(,求函数的最小值.
21.本题满分16分.
解 设,则
=
=. ……………………4分
(i)当时,
…7分
因此,,故. …………9分
(ii) 当时,
.
当且仅当时,等号成立. ……14分
于是,. ……………………15分
所以,. …………16分
23、(上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科)(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)
在平行四边形中,已知过点的直线与线段分别相交于点。若。
(1)求证:与的关系为;
(2)设,定义函数,点列在函数的图像上,且数列是以首项为1,公比为的等比数列,为原点,令,是否存在点,使得?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由。
(3)设函数为上偶函数,当时,又函数图象关于直线对称, 当方程在上有两个不同的实数解时,求实数的取值范围。
23、解:(1),…………………………………………2分
,从而。…………………………………………………4分
(2),,又,
…………………………………………………………6分
。
…………………………………………………………8分
设,则。,,
故存在满足条件。…………………………………………………10分
(3)当时,,又由条件得
,。
当时,,,
,从而。…………………12分
由得
。…………………………14分
设,在同一直角坐标系中作出两函数的图像,如图
当函数图像经过点时,。
…………………………………………………………16分
由图像可知,当时,与的图像在有两个不同交点,因此方程在上有两个不同的解。
…………………………………………………………18分
22、(上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科)(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(2)小题6分)
在平行四边形中,已知过点的直线与线段分别相交于点。若。
(1)求证:与的关系为;
(2)设,定义在上的偶函数,当时,且函数图象关于直线对称,求证:,并求时的解析式;
(3)在(2)的条件下,不等式在上恒成立,求实数的取值范围。
22、解:(1),…………………………………………2分
,从而。…………………………………………………4分
(2)当时,。图像关于直线对称,,
…………………………………………………………5分
,又为偶函数,。
…………………………………………………………7分
设,则,………………………………………8分
,即。
…………………………………………………………10分
(3)不等式为,…………………………………………12分
对恒成立,因此。…………………………………………………………14分
在上单调递增,时其最大值为,
,即。……………………………………16分
19、(上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科)(本题满分14分,第(1)小题6分,第(2)小题8分)
设函数,若不等式的解集为。
(1)求的值;
(2)若函数在上的最小值为1,求实数的值。
第21题图
19、解:(1)由条件得
,…………………………………………4分
解得:
。 ……………………………6分
(2)
,……………………………………………8分
对称轴方程为,在上单调递增,………………………10分
时, ………………………………12分
解得。。………………………………14分
21. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)(本题满分14分,其中第1小题8分,第2小题6分)
一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下,每天销售量为件. 经市场调查后得到如下规律:若对产品进行电视广告的宣传,每天的销售量(件)与电视广告每天的播放量(次)的关系可用如图所示的程序框图来体现.
(1)试写出该产品每天的销售量(件)关于电视广告每天的播放量(次)的函数关系式;
(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加,则每天电视广告的播放量至少需多少次?
21. 解:(1)设电视广告播放量为每天次时,该产品的销售量为(,).
由题意,,
于是当时,,().
所以,该产品每天销售量(件)与电视广告播放量(次/天)的函数关系式为
.
(2)由题意,有.()
所以,要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加,则每天广告的播放量至少需4次.
23.(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)(本题满分18分,第(1)题5分,第(2)题8分,第(3)题5分)
设函数的定义域为,值域为,如果存在函数,使得函数的值域仍然是,那么,称函数是函数的一个等值域变换,
(1)判断下列是不是的一个等值域变换?说明你的理由;
,;
,;
(2)设的值域,已知是的一个等值域变换,且函数的定义域为,求实数的值;
(3)设函数的定义域为,值域为,函数的定义域为,值域为,写出是的一个等值域变换的充分非必要条件(不必证明),并举例说明条件的不必要性.
解:(1):函数的值域为,,,
所以,不是的一个等值域变换; …………2分
:,即的值域为,
当时,,即的值域仍为,
所以,是的一个等值域变换; …………5分
(2)的值域为,由知,
即定义域为, …………6分
因为是的一个等值域变换,且函数的定义域为,
所以,的值域为, …………8分
,
所以,
恒有,且存在使两个等号分别成立,………10分
于是,
解得 或…………13分
(3)设函数的定义域为,值域为,函数的定义域为,值域为,则是的一个等值域变换的充分非必要条件是“=”. …………15分
条件的不必要性的一个例子是.
,,
,,
此时,但的值域仍为,
即是的一个等值域变换。…………18分
(反例不唯一)
21.(上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科)(满分16分;第(1)小题5分,第(2)小题5分,第三小题6分)
已知函数
(1)判断并证明在上的单调性;
(2)若存在,使,则称为函数的不动点,现已知该函数有且仅有一个不动点,求的值,并求出不动点;
(3)若在上恒成立 , 求的取值范围.
21.解:(1)
对任意的------------------------------------------- 1分
-------------------------------- 3分
∵
∴
∴,函数在上单调递增。-----------------5分
(2)解:令,-------------------------------------7分
令(负值舍去)---------------------------------------9分
将代入得---------10分
(3)∵ ∴ ----------------------------------------12分
∵ ∴(等号成立当)--------------------14分
∴
的取值范围是------------------------------------------16分
16. (上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科)(满分12分)本题有2小题,第1小题5分,第2小题7分.
设,.
(1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图像;
(2)若不等式对于任意的恒成立,求实数的取值范围.
16.(1)
(2), ………………………………………1分
对于任意, 恒成立.
令,则() ………………………3分
对称轴,则当时,,………………………………2分
所以即可. ……………………………………………………………1分
21.(上海市浦东新区2010年4月高考预测理科)(本大题满分16分)本大题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满8分.
2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行,对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见,以10分钟为一个计算单位,上午9点10分作为第一个计算人数的时间,即;9点20分作为第二个计算人数的时间,即;依此类推,把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.
对第个时刻进入园区的人数和时间()满足以下关系(如图1):
10800
3600
1
,
(图1)
1 24 36 72 90 n
对第个时刻离开园区的人数和时间
()满足以下关系(如图2):
O
24
72
24000
12000
6000
5000
90
图2
36
(1)试计算在当天下午3点整(即15点整)
时,世博园区内共有多少游客?
(2)请求出当天世博园区内游客总人数最多
的时刻.
解:(1)当且时,,
当且时,
……………………………………………2分
所以…
××
;……………………………………………………2分
另一方面,已经离开的游客总人数是:
×;……2分
所以(人)
故当天下午3点整(即15点整)时,世博园区内共有位游客. ……………………2分
(2)当时园内游客人数递增;当时园内游客人数递减.
(i)当时,园区人数越来越多,人数不是最多的时间;……………………………………2分
(ii)当时,令,得出,
即当时,进入园区人数多于离开人数,总人数越来越多;……………………………2分
当时,,进入园区人数多于离开人数,总人数越来越多;………………………………………………………………………………………………………………………2分
(iii)当时, 令时,,
即在下午点整时,园区人数达到最多.
此后离开人数越来越多,故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………………………2分
23.(上海市浦东新区2010年4月高考预测理科)(本大题满分18分)本大题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知函数.
(1)若的反函数是,解方程:;
(2)当时,定义. 设,数列 的前项和为,求、、、和;
(3)对于任意、、,且. 当、、能作为一个三角形的三边长时,、、也总能作为某个三角形的三边长,试探究的最小值.
解:(1)函数是函数的反函数,
,而
,即 ………………………………………………2分
,
故:原方程的解为…………………………………………………2分
(2) 若,,,
若,,,
若,,,
若,,,……………………………2分
当时,,
当时,,
当时,,…………………2分
……………………………………………………………………………………2分
(3) 由题意知,
若能作为某个三角形的三边长…………2分
又:
当时,有成立,则一定有成立. …………………………………2分
即 不合题意. ……………………………………………………………2分
又当时,取,有,即,此时可作为一个三角形的三边长,但,即,所以、、不能作为三角形的三边长.
综上所述,的最小值为2. ……………………………………………2分
解法2:,由题意知,
若能作为某个三角形的三边长…………2分
设 ,
若,则,显然能作为某个三角形三边长………2分
若,由(1)知.
由(2)知……………2分
而,则
故:…………………………………2分
用心 爱心 专心
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