2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编：函数新人教版.doc

2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编
第2部分:函数
一、选择题：
17．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）若函数（）为奇函数，且存在反函数（与不同），，则下列关于函数的奇偶性的说法中正确的是（ A ）．
A．是奇函数非偶函数 B．是偶函数非奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数

18、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科）如图,函数的图像是中心在原点,焦点在轴上的椭圆的两段弧,则不等式的解集为 ----------------（ ）
（A）
（B）
（C
（D）
18．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）在直角坐标平面内，点对于某个正实数k，总存在函数，使，这里、，则k的取值范围是………………（ A ）
A．． 　B．． C．． D．．
18、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）如果函数在定义域的某个子区间上不存在反函数，则的取值范围是 （ D ）

18、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）函数与在同一坐
标系的图像有公共点的充要条件是（ D ）
A、 B、 C、 D、
18. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)若函数（）的零点都在区间[-10,10]上，则使得方程有正整数解的实数的取值个数为 （ C ）
A. 1 B. 2 C. 3； D. 4.
18．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图像是( A )

16．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）下列函数中，与函数 有相同定义域的是------ A ）
A . B. C. D.
x
L
N
M
O
F
E
D
C
B
A
y
18．（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）如图，在直角坐标平面内有一个边长为、中心在原点的
正六边形，. 直线
与正六边形交于M、N两点，记的面积为，则函数
的奇偶性为 ( A )
A．偶函数 　　　　　　　　　 B．奇函数
C．不是奇函数，也不是偶函数 　　　 D．奇偶性与有关

二、填空题：
4．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）若函数，则方程的解 ．
4．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文科）若函数，则方程的解 ．
3、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）函数的图像恒过一定点是_____。（2，2）
2、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）若函数的反函数的图像过点，则
14．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）若不等式对于一切正数、恒成立，则实数的最小值为 2 ．
12、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）不等式对任意的实数都成立，则实数的取值范围是______。 [-10]
3、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科）函数的图像恒过一定点是_________。（2，2）
11、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）P是函数上的图像上任意一点，则P到y轴的距离与P到的距离之积是________。
4．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）幂函数的图像过点，则函数的反函数=　　　　　（要求写明定义域）．

14．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）已知函数的定义域和值域都是（其图像如下图所示），函数．定义：当且
时，称是方程的一个实数根．则方程的所有不同实数根的个数是 ．8

5、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）函数图像的顶点是，且成等比数列，则14
13、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）根据统计资料，在小镇当某件讯息发布后，小时之内听到该讯息的人口是全镇人口的﹪，其中是某个大于0的常数，今有某讯息，假设在发布后3小时之内已经有70﹪的人口听到该讯息。又设最快要小时后，有99﹪的人口已听到该讯息，则=小时。（保留一位小数）11.5
14、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
2. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)设函数的图像关于原点对称，且存在反函数. 若已知，则 . -4
3. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)函数的定义域是 .
2．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)方程=1的解是 ▲ ．2
3．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)设函数，那么 ▲ ．3
12．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费+年均维修费）．设某种汽车的购车的总费用为50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前年的总维修费满足，已知第一年的维修费为1000元前二年总维修费为3000元．则这种汽车的最佳使用年限为 ▲ ．10
13．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)设函数和都在区间上有定义，若对的任意子区间，总有上的实数和，使得不等式成立，则称是在区间上的甲函数，是在区间上的乙函数．已知，那么的乙函数 ▲ ．
6．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）函数的反函数为________________.
14. （上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科） 设表示不超过的最大整数，如.若函数，则
的值域为________________.
1．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文科）函数的定义域是___
12．（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）设函数，则的值为 【 B 】
A．0 B．1 C．10 D．不存在
13．（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）设函数由方程确定，下列结论正确的是（１）（２）（３）（４）.（请将你认为正确的序号都填上）
（１）是上的单调递减函数；
（２）对于任意，恒成立；
（３）对于任意，关于的方程都有解；
（４）存在反函数，且对于任意，总有成立.
三、解答题
21．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
如图，反比例函数（）的图像过点和，点为该函数图像上一动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、．记四边形（为坐标原点）与三角形的公共部分面积为．
（1）求关于的表达式；
（2）求的最大值及此时的值．

21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
解：（1）由题设，得（），（2分）
当时，，当时，，当时，，
故（8分）
（2）易知当时，为单调递增函数，，（10分）
当时，为单调递减函数，，（12分）
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，（证明略），得，故的最大值为此时．（16分）
20、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知函数；
（1）证明：函数在上为减函数；
（2）是否存在负数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由。
20．解：
（1）任取，且 （1分）
∵ （4分）
∴函数在上为减函数 （1分）
（2）不存在 （1分）
假设存在负数，使得成立， （1分）
则 （1分）
即
（1分）

（2分）
与矛盾， （1分）
所以不存在负数，使得成立。 （1分）
另:，由得： 或但，所以不存在。
22、上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科）（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
已知函数；
（1）求出函数的对称中心；
（2）证明：函数在上为减函数；
（3）是否存在负数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由。
22．解：（1） （2分）
函数的对称中心为（-1，-1） （2分）
（2）任取，且 （1分）
∵ （4分）
∴函数在上为减函数 （1分）
（3）不存在 （1分）
假设存在负数，使得成立，
则 （1分）
即
（2分）
与矛盾， （1分）
所以不存在负数，使得成立。 （1分）
另:，由得： 或但，所以不存在。
21．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
已知函数（，、是常数，且），对定义域内任意（、且），恒有成立．
（1）求函数的解析式，并写出函数的定义域；
（2）求的取值范围，使得．
21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
解 (1) ∵，
　　∴即对使等式有意义的任意x恒成立． ………………………………4分
　　∴． …………………………………6分
于是，所求函数为定义域为． ………8分
(2) ∵，，
∴，即．……10分
解不等式；解不等式．……14分
∴当时，． ………16分
(说明：也可以借助函数单调性、图像求解)
19．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟文科）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知二次函数对任意均有成立，且函数的图像过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式的解集为，求实数的值．
19、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

解 (1)成立，且图像过点，
　　　 ……………………2分
　　　化简．…3分
此一元一次方程对都成立，于是，，即．
进一步可得
． …………………………………6分

　　． ………………7分
(2)　，
…… 9分
．………………10分
于是，，解此方程组，得． ……… 13分

∴． …………………14分
21．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟文科）本题满分16分．
已知，函数（，求函数的最小值．
21．本题满分16分．
解 设，则

　　　　　　　　　＝

＝．　 ……………………4分
(i)当时，
　 …7分
因此，，故． …………9分
(ii) 当时，
．
当且仅当时，等号成立． ……14分
于是，． ……………………15分
　　所以，． …………16分
23、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
在平行四边形中，已知过点的直线与线段分别相交于点。若。
（1）求证：与的关系为；
（2）设，定义函数，点列在函数的图像上，且数列是以首项为1，公比为的等比数列，为原点，令，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由。
（3）设函数为上偶函数，当时，又函数图象关于直线对称， 当方程在上有两个不同的实数解时，求实数的取值范围。
23、解：（1），…………………………………………2分
，从而。…………………………………………………4分
（2），，又，
…………………………………………………………6分
。
…………………………………………………………8分
设，则。，，
故存在满足条件。…………………………………………………10分
（3）当时，，又由条件得
，。
当时，，，
，从而。…………………12分
由得
。…………………………14分
设，在同一直角坐标系中作出两函数的图像，如图
当函数图像经过点时，。
…………………………………………………………16分
由图像可知，当时，与的图像在有两个不同交点，因此方程在上有两个不同的解。
…………………………………………………………18分
22、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题6分）
在平行四边形中，已知过点的直线与线段分别相交于点。若。
（1）求证：与的关系为；
（2）设，定义在上的偶函数，当时，且函数图象关于直线对称，求证：，并求时的解析式；
（3）在（2）的条件下，不等式在上恒成立，求实数的取值范围。
22、解：（1），…………………………………………2分
，从而。…………………………………………………4分
（2）当时，。图像关于直线对称，，
…………………………………………………………5分
，又为偶函数，。
…………………………………………………………7分
设，则，………………………………………8分
，即。
…………………………………………………………10分
（3）不等式为，…………………………………………12分
对恒成立，因此。…………………………………………………………14分
在上单调递增，时其最大值为，
，即。……………………………………16分
19、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
设函数，若不等式的解集为。
（1）求的值；
（2）若函数在上的最小值为1，求实数的值。
第21题图
19、解：（1）由条件得
，…………………………………………4分
解得：
。 ……………………………6分
（2）
，……………………………………………8分
对称轴方程为，在上单调递增，………………………10分
时， ………………………………12分
解得。。………………………………14分
21. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)（本题满分14分，其中第1小题8分，第2小题6分）
一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为件. 经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量（件）与电视广告每天的播放量（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.
（1）试写出该产品每天的销售量（件）关于电视广告每天的播放量（次）的函数关系式；
（2）要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加，则每天电视广告的播放量至少需多少次？
21. 解：（1）设电视广告播放量为每天次时该产品的销售量为（，）.
由题意，，
于是当时，，（）.
所以，该产品每天销售量（件）与电视广告播放量（次/天）的函数关系式为
.
（2）由题意，有.（）
所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加，则每天广告的播放量至少需4次.
23．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)（本题满分18分，第（1）题5分，第（2）题8分，第（3）题5分）
设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍然是，那么，称函数是函数的一个等值域变换，
（1）判断下列是不是的一个等值域变换？说明你的理由；
，；
，；
（2）设的值域，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值；
（3）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，写出是的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．
解：（1）：函数的值域为，，，
所以，不是的一个等值域变换； …………2分
：，即的值域为，
当时，，即的值域仍为，
所以，是的一个等值域变换； …………5分
（2）的值域为，由知，
即定义域为， …………6分
因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，
所以，的值域为， …………8分
，
所以，
恒有，且存在使两个等号分别成立，………10分
于是，
解得 或…………13分
（3）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，则是的一个等值域变换的充分非必要条件是“=”． …………15分
条件的不必要性的一个例子是．
，，
，，
此时，但的值域仍为，
即是的一个等值域变换。…………18分
（反例不唯一）
21．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）（满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第三小题6分）
已知函数
（1）判断并证明在上的单调性；
（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求的值，并求出不动点；

（3）若在上恒成立 , 求的取值范围．
21．解：（1）
对任意的------------------------------------------- 1分
-------------------------------- 3分
∵
∴
∴，函数在上单调递增。-----------------5分
（2）解：令，-------------------------------------7分
令（负值舍去）---------------------------------------9分
将代入得---------10分
（3）∵ ∴ ---------------12分
∵ ∴（等号成立当）--------------------14分
∴
的取值范围是------------------------------------------16分
16. （上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）（满分12分）本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分．
设，.
（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图像；
（2）若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
16.（1）

（2）， ………………………………………1分
对于任意， 恒成立.
令，则（） ………………………3分
对称轴，则当时，，………………………………2分
所以即可. ……………………………………………………………1分
21．（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）（本大题满分16分）本大题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满8分.
2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即；9点20分作为第二个计算人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.

对第个时刻进入园区的人数和时间（）满足以下关系（如图1）：

10800
3600
1
，
（图1）
1 24 36 72 90 n
对第个时刻离开园区的人数和时间
（）满足以下关系（如图2）：
O
24
72

24000
12000
6000
5000
90

图2
36

（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）
时，世博园区内共有多少游客？
（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多
的时刻.

解：（1）当且时，，
当且时，
……………………………………………2分
所以…
××
；……………………………………………………2分
另一方面，已经离开的游客总人数是：
×；……2分
所以（人）
故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有位游客. ……………………2分
（2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减.
(i)当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；……………………………………2分
(ii)当时，令，得出，
即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………2分
当时，，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；………………………………………………………………………………………………………………………2分

(iii)当时， 令时，，
即在下午点整时，园区人数达到最多.
此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………………………2分
23．（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数.
（1）若的反函数是，解方程：；
（2）当时，定义. 设，数列 的前项和为，求、、、和；
（3）对于任意、、，且. 当、、能作为一个三角形的三边长时，、、也总能作为某个三角形的三边长，试探究的最小值.
解：（1）函数是函数的反函数，
，而
，即 ………………………………………………2分
，
故：原方程的解为…………………………………………………2分
(2) 若，，，
若，，，
若，，，
若，，，……………………………2分
当时，，
当时，，
当时，，…………………2分

……………………………………………………………………………………2分
(3) 由题意知，
若能作为某个三角形的三边长…………2分
又：
当时，有成立，则一定有成立. …………………………………2分
即 不合题意. ……………………………………………………………2分
又当时，取，有,即，此时可作为一个三角形的三边长，但，即，所以、、不能作为三角形的三边长.
综上所述，的最小值为2. ……………………………………………2分
解法2：，由题意知，
若能作为某个三角形的三边长…………2分
设 ,
若，则，显然能作为某个三角形三边长………2分
若，由（1）知.
由(2)知……………2分
而，则
故：…………………………………2分

用心 爱心 专心