人教版九年级上册数学期末试题及答案.doc

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九年级上册数学期末试题（人教版）

一.填空题（每小题3分，共45分）
1．（3分）（2012•昌平区一模）若二次根式有意义，则x的取值范围为　_________　．

2．（3分）计算=　_________　．

3．（3分）已知b＞0，化简=　_________　．

4．（3分）请给c的一个值，c=　_________　时，方程x2﹣3x+c=0无实数根．

5．（3分）（2012•沙河口区模拟）如果点P关于x轴的对称点p1的坐标是（2，3），那么点p关于原点的对称点p2的坐标是　_________　．

6．（3分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为　_________　．

7．（3分）（2013•青铜峡市模拟）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点的坐标为　_________　．

8．（3分）圆心在原点O，半径为5的⊙O，则点P（﹣3，4）在⊙O　_________　．

9．（3分）台钟的时针长为8厘米，从上午7时到上午11时，时针针尖走过的路程是　_________　厘米．

10．（3分）（2008•点军区一模）两圆外切，圆心距为16cm，且两圆半径之比为5：3．若这两圆内切，则这两圆的圆心距为　_________　cm．

11．（3分）如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为　_________　．

12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BDC的度数为　_________　．

13．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，内切圆半径是　_________　，外接圆半径　_________　．

14．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠P=60°，PA=2，⊙O的直径等于　_________　．

15．（3分）（2013•路北区三模）随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是　_________　．

二.选择题（每小题3分，共15分）
16．（3分）（2006•沈阳）估计+3的值（　　）

A．
在5和6之间
B．
在6和7之间
C．
在7和8之间
D．
在8和9之间

17．（3分）（2008•威海）关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m﹣2）=0的根的情况是（　　）

A．
有两个不相等的实数根
B．
有两个相等的实数根

C．
没有实数根
D．
无法确定

18．（3分）下列英语单词中，是中心对称的是（　　）

A．
SOS
B．
CEO
C．
MBA
D．
SAR

19．（3分）（2010•通化）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）

A．
有一个内角大于60°
B．
有一个内角小于60°

C．
每一个内角都大于60°
D．
每一个内角都小于60°

20．（3分）（2008•南昌）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（　　）

A．
与x轴相离，与y轴相切
B．
与x轴，y轴都相离

C．
与x轴相切，与y轴相离
D．
与x轴，y轴都相切

三.解答题（本大题共8小题，满分60分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
21．（5分）（2007•嘉兴）计算：+（﹣1）3﹣2×．

22．（5分）（2009•仙桃）先化简，再求值：，其中x=2﹣．

23．（5分）解方程：3x2+5（2x+1）=0．

24．（6分）在网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6．
（1）试作出△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB′C′；
（2）若点B的坐标为（﹣4，5），试建立合适的直角坐标系，并写出A、C两点的坐标；
（3）作出与△ABC关于原点对称的图形△A″B″C″，并写出A″、B″、C″三点的坐标．

25．（6分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．

26．（8分）莆田新美蔬菜有限公司一年四季都有大量新鲜蔬菜销往全国各地，已成为我区经济发展的重要项目．近年来它的蔬菜产值不断增加，2007年蔬菜的产值是640万元，2009年产值达到1000万元．
（1）求2008年、2009年蔬菜产值的年平均增长率是多少？
（2）若2010年蔬菜产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同），那么请你估计2010年该公司的蔬菜产值将达到多少万元？

27．（10分）（2011•宁夏）已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．

28．（15分）（2007•台州）如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）

参考答案与试题解析

一.填空题（每小题3分，共45分）
1．（3分）（2012•昌平区一模）若二次根式有意义，则x的取值范围为　x≥　．

考点：
二次根式有意义的条件．2448894
分析：
函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
解答：
解：根据题意得：1+2x≥0，
解得x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
点评：
本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

2．（3分）计算=　+　．

考点：
二次根式的乘除法．2448894
专题：
计算题．
分析：
先将原式变形（+）2009（+），再根据同底数幂乘法的逆运算即可．
解答：
解：原式=（+）2009（+）
=[（+）（﹣）]2009（+）
=（+）．
故答案为（+）．
点评：
本题考查了二根式的乘除法，是基础知识要熟练掌握．

3．（3分）已知b＞0，化简=　﹣a　．

考点：
二次根式的性质与化简．2448894
分析：
先由二次根式的被开方数为非负数得出﹣a3b≥0，结合已知条件b＞0，根据有理数乘法法则得出a＜0，再利用积的算术平方根的性质进行化简即可．
解答：
解：∵﹣a3b≥0，b＞0，
∴a＜0，
∴==|a|=﹣a．
故答案为﹣a．
点评：
本题主要考查了有理数乘法法则，二次根式的性质与化简，难度适中，得出a＜0是解题的关键．

4．（3分）请给c的一个值，c=　3（c的取值只要大于2.25即可）　时，方程x2﹣3x+c=0无实数根．

考点：
根的判别式．2448894
专题：
开放型．
分析：
只要让根的判别式△=b2﹣4ac＜0，求得k的取值即可．
解答：
解：由题意得：9﹣4c＜0，
解得：c＞2.25．
∴填c=3（c的取值只要大于2.25即可）时，方程x2﹣3x+c=0无实数根．
点评：
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

5．（3分）（2012•沙河口区模拟）如果点P关于x轴的对称点p1的坐标是（2，3），那么点p关于原点的对称点p2的坐标是　（﹣2，3）　．

考点：
关于x轴、y轴对称的点的坐标．2448894
分析：
已知点P关于x轴的对称点p1的说明P和p1的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得P点的坐标，又p2和P点关于原点的对称，关于原点对称，横纵坐标均变号，即可得出p2的坐标．
解答：
解：根据题意，点P关于x轴的对称点p1的坐标是（2，3），
所以P点的坐标为（2，﹣3），
所以P点关于原点的对称点p2的坐标是为（﹣2，3）．
点评：
本题考查了坐标系中的点的对称问题．
当点关于坐标轴对称时，点关于哪个轴对称，那个轴上对的坐标不变，另一坐标变号；
若关于原点对称，两个坐标均变号．

6．（3分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为　6　．

考点：
旋转的性质．2448894
分析：
由旋转的性质可知，旋转角∠PAP′=∠BAC=60°，旋转中心为点A，对应点P、P′到旋转中心的距离相等，即AP=AP′，可判断△APP′为等边三角形，故PP′=AP．
解答：
解：连接PP′，由旋转的性质可知，旋转中心为点A，
B、C为对应点，P、P′也为对应点，
旋转角∠PAP′=∠BAC=60°，
又AP=AP′，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′=AP=6．
故答案为：6．

点评：
本题考查了旋转的两个性质：①旋转角相等，②对应点到旋转中心的距离相等．

7．（3分）（2013•青铜峡市模拟）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点的坐标为　（4，0）　．

考点：
坐标与图形变化-旋转．2448894
分析：
抓住旋转的三要素：旋转中心D，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得到点B的坐标．
解答：
解：点B的坐标为（2，4）然后绕点D顺时针旋转90°可得平移后点B的坐标为（4，0）．

点评：
解决本题的关键是根据旋转的三要素画图得到所求点的坐标．

8．（3分）圆心在原点O，半径为5的⊙O，则点P（﹣3，4）在⊙O　上　．

考点：
点与圆的位置关系；坐标与图形性质．2448894
分析：
先由勾股定理求得点P到圆心O的距离，再根据点P与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点P与⊙O的位置关系．
解答：
解：∵点P的坐标为（﹣3，4），
∴由勾股定理得，点P到圆心O的距离==5，
∴点P在⊙O上．
故答案为上．
点评：
本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．

9．（3分）台钟的时针长为8厘米，从上午7时到上午11时，时针针尖走过的路程是　　厘米．

考点：
弧长的计算；钟面角．2448894
分析：
从上午7时到上午11时，时针共转了4个大格共120°，然后根据弧长公式算出时针针尖走过的路程．
解答：
解：∵时针从上午7时走到上午11时
∴时针共转了120°
∴时针尖走过的路程为：=厘米．
点评：
本题考查了弧长的计算，准确的计算出时针转过的角度是解题的关键．

10．（3分）（2008•点军区一模）两圆外切，圆心距为16cm，且两圆半径之比为5：3．若这两圆内切，则这两圆的圆心距为　4　cm．

考点：
圆与圆的位置关系．2448894
分析：
设两圆的半径分别是5r和3r．根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得5r+3r=16，从而再进一步根据两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差进行求解．
解答：
解：设两圆的半径分别是5r和3r．
根据题意，得5r+3r=16，即r=2；
当两圆内切时，则这两圆的圆心距为5r﹣3r=2r=4（cm）．
故答案为4．
点评：
此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系，即两圆外切，圆心距等于两圆半径之和；两圆内切，圆心距等于两圆半径之差．

11．（3分）如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为　52　．

考点：
切线长定理．2448894
分析：
利用圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，即可得．
解答：
解：根据圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，
∴AB+BC+CD+AD=52
故填：52
点评：
此题主要考查了圆外切四边形的性质，对边和相等．

12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BDC的度数为　30°　．

考点：
垂径定理；等边三角形的判定与性质．2448894
专题：
计算题．
分析：
连接OC，由弦CD垂直平方OB，得到CD垂直于OB，E为OB的中点，可得出OE为OC的一半，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到这条直角边所对的角为30°，得到∠COD为30°，进而确定出∠COB为60°，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，即可求出∠CDB的度数．
解答：
解：连接OC，
∵弦CD垂直平分OB，
∴OE=EB，CD⊥OB，
又OB=OC，在Rt△OCE中，OE=EB=OC，
∴∠OCE=30°，∠COB=60°，
∵圆心角∠COB与圆周角∠BDC都对，
∴∠CDB=∠COB=30°．
故答案为：30°

点评：
此题考查了垂径定理，含30°直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

13．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，内切圆半径是　1　，外接圆半径　2.5　．

考点：
三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．2448894
分析：
首先根据勾股定理，得其斜边是5，设内切圆⊙O半径是r，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据三角形的面积公式得出S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB，代入求出即可，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是2.5．
解答：
解：连接OB，CO，AO，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴BA==5，
∴其外接圆的半径为2.5．
设△ABC的内切圆⊙O半径是r，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，切点是D、E、F，
则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，OD=OE=OF=r，
∵AC=4，BC=3，AB=5，
根据三角形的面积公式得：S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB，
∴AC×BC=AC×r+BC×r+AB×r，即：3×4=3r+4r+5r，
∴r=1．
故答案为：1，2.5．

点评：
本题主要考查了三角形的外心以及勾股定理，切线的性质和三角形的内切圆与内心，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能得出S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB是解此题的关键．

14．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠P=60°，PA=2，⊙O的直径等于　　．

考点：
切线的性质．2448894
专题：
计算题．
分析：
连结OP，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据切线长定理得∠APO=∠P=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得OA=PA=，然后可得到圆的直径．
解答：
解：连结OP，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OP平分∠APB，OA⊥PA，
∴∠APO=∠P=30°，
在Rt△OAP中，PA=2，
∴OA=PA=，
∴⊙O的直径等于．
故答案为．

点评：
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了切线长定理．

15．（3分）（2013•路北区三模）随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是　　．

考点：
概率公式．2448894
分析：
依据题意先用分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解答：
解：由树状图可知共有2×2=4种可能，至少有一次正面朝上的有3种，所以概率是．
点评：
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

二.选择题（每小题3分，共15分）
16．（3分）（2006•沈阳）估计+3的值（　　）

A．
在5和6之间
B．
在6和7之间
C．
在7和8之间
D．
在8和9之间

考点：
估算无理数的大小．2448894
专题：
压轴题．
分析：
先估计的整数部分，然后即可判断+3的近似值．
解答：
解：∵42=16，52=25，
所以，
所以+3在7到8之间．
故选C．
点评：
此题主要考查了估算无理数的大小的能力，理解无理数性质，估算其数值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

17．（3分）（2008•威海）关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m﹣2）=0的根的情况是（　　）

A．
有两个不相等的实数根
B．
有两个相等的实数根

C．
没有实数根
D．
无法确定

考点：
根的判别式．2448894
分析：
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．
解答：
解：△=b2﹣4ac=m2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选A．
点评：
总结：
1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2、一个代数式的平方是非负数．

18．（3分）下列英语单词中，是中心对称的是（　　）

A．
SOS
B．
CEO
C．
MBA
D．
SAR

考点：
中心对称．2448894
分析：
把一个图形绕一点旋转180度，能够与原图形重合，则这个点就叫做对称点，这个图形就是中心对称图形，依据定义即可解决．
解答：
解：是中心对称图形的是A，故选A．
点评：
本题主要考查了中心对称图形的定义，是需要熟记的内容．

19．（3分）（2010•通化）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）

A．
有一个内角大于60°
B．
有一个内角小于60°

C．
每一个内角都大于60°
D．
每一个内角都小于60°

考点：
反证法．2448894
分析：
熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
解答：
解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选C．
点评：
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

20．（3分）（2008•南昌）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（　　）

A．
与x轴相离，与y轴相切
B．
与x轴，y轴都相离

C．
与x轴相切，与y轴相离
D．
与x轴，y轴都相切

考点：
直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．2448894
分析：
本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．
解答：
解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
如图所示：
∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．
故选A．

点评：
直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．

三.解答题（本大题共8小题，满分60分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
21．（5分）（2007•嘉兴）计算：+（﹣1）3﹣2×．

考点：
实数的运算．2448894
分析：
按照实数的运算法则依次计算，注意=2，（﹣1）3=﹣1．
解答：
解：原式=2﹣1﹣=﹣1．
点评：
本题主要考查了实数的运算，解题需注意的知识点是：﹣1的奇次幂是﹣1．

22．（5分）（2009•仙桃）先化简，再求值：，其中x=2﹣．

考点：
分式的化简求值；分母有理化．2448894
分析：
先把分式化简：先除后减，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分；做减法运算时，应是同分母，可以直接通分．最后把数代入求值．
解答：
解：原式=
=
=；
当x=2﹣时，
原式==﹣．
点评：
考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等．

23．（5分）解方程：3x2+5（2x+1）=0．

考点：
解一元二次方程-公式法．2448894
专题：
计算题．
分析：
去括号把原方程整理为一般式，找出a，b及c的值，先求出b2﹣4ac的值，根据其中大于0，得到方程有解，故把a，b及c的值代入求根公式，化简后即可得到方程的两根．
解答：
解：3x2+5（2x+1）=0，
整理得：3x2+10x+5=0，
∵a=3，b=10，c=5，
∴b2﹣4ac=100﹣60=40＞0，
∴x==，
则原方程的解为x1=，x2=．
点评：
此题考查了利用公式法解一元二次方程，利用此方法解题时，先将方程化为一般式，然后计算出根的判别式，根据根的判别式大于等于0，再利用求根公式来求解，若根的判别式小于0，此方程无解．熟练掌握求根公式是利用此方法解题的关键．

24．（6分）在网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6．
（1）试作出△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB′C′；
（2）若点B的坐标为（﹣4，5），试建立合适的直角坐标系，并写出A、C两点的坐标；
（3）作出与△ABC关于原点对称的图形△A″B″C″，并写出A″、B″、C″三点的坐标．

考点：
作图-旋转变换．2448894
专题：
作图题；压轴题．
分析：
（1）分别找出点B、C绕点A沿顺时针方向旋转90°后的对应点，然后再顺次连接三个点，即可得到△AB′C′；
（2）先根据点B的坐标确定出原点是点A向右一个单位，向上一个单位，然后建立平面直角坐标系，即可写出点A、C的坐标；
（3）分别找出点A、B、C关于原点的对称点，然后顺连接即可．
解答：
解：（1）如图；
（2）点A（﹣1，﹣1），点C（﹣4，﹣1）；
（3）A″（1，1），B″（4，﹣5），C″（4，1）．

点评：
本题考查旋转变换作图，做这类题的关键是按要求旋转后找对应点，然后顺次连接，（2）中准确找出坐标原点是解题的关键，难度中等．

25．（6分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．

考点：
列表法与树状图法．2448894
分析：
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出要求事件的概率．
解答：
解：用B和G分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结果为：

∴这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为，
这个家庭至少有一个男孩的概率．
点评：
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

26．（8分）莆田新美蔬菜有限公司一年四季都有大量新鲜蔬菜销往全国各地，已成为我区经济发展的重要项目．近年来它的蔬菜产值不断增加，2007年蔬菜的产值是640万元，2009年产值达到1000万元．
（1）求2008年、2009年蔬菜产值的年平均增长率是多少？
（2）若2010年蔬菜产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同），那么请你估计2010年该公司的蔬菜产值将达到多少万元？

考点：
一元二次方程的应用．2448894
专题：
应用题．
分析：
（1）设出2008年、2009年蔬菜产值的年平均增长率是x，根据2007年蔬菜的产值×（1+年平均增长率）2=2009年产值，列方程解答即可．
（2）利用（1）的结论即可解答．
解答：
解：（1）设2008年，2009年蔬菜产值的年平均增长率为x，依题意列方程得，
640（1+x）2=1000，
解得x1=，x2=﹣（不合题意，舍去）
答：2008年、2009年蔬菜产值的年平均增长率是25%；
（2）1000（1+25%）=1250（万元），
答：2010年该公司的蔬菜产值将达到1250万元．
点评：
此题考查基本的数量关系：2007年蔬菜的产值×（1+年平均增长率）2=2009年产值．

27．（10分）（2011•宁夏）已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．

考点：
切线的判定．2448894
专题：
综合题．
分析：
（1）连接OP，要证明PD是⊙O的切线只要证明∠DPO=90°即可；
（2）连接AP，根据已知可求得BP的长，从而可求得BC的长．
解答：
（1）证明：连接AP，OP，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
又∵OP=OB，∠OPB=∠B，
∴∠C=∠OPB，
∴OP∥AD；
又∵PD⊥AC于D，
∴∠ADP=90°，
∴∠DPO=90°，
∵以AB为直径的⊙O交BC于点P，
∴PD是⊙O的切线．

（2）解：连接AP，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°；
∵AB=AC=2，∠CAB=120°，
∴∠BAP=60°，
∴BP=，
∴BC=2．

点评：
本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．

28．（15分）（2007•台州）如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）

考点：
切线的判定；扇形面积的计算．2448894
专题：
几何综合题．
分析：
（1）由已知可证得OC⊥CD，OC为圆的半径所以直线CD与⊙O相切；
（2）根据已知可求得OC，CD的长，则利用S阴影=S△COD﹣S扇形OCB求得阴影部分的面积．
解答：
解：（1）直线CD与⊙O相切，
∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是正三角形，
∴∠OCB=60°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=60°+30°=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是半径，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，
∵OC=1，
∴CD=，
∴S△COD=OC•CD=，
又∵S扇形OCB=，
∴S阴影=S△COD﹣S扇形OCB=．
点评：
此题主要考查学生对切线的性质及扇形的面积公式的理解及运用．

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