概率论单元测试题标准答案.doc

概率论单元测试题
第一章 预备知识
第二章 随机事件
一、 填空题
1、在0，1，2，3，4中任取三个，能排成是偶数的三位数有 30 个。
个位数有3种排法，十位数、百位数共有，计有36种排成是偶数。再减去0在百位上，个位上有2种排法，十位上有3种排法。所以有30个三位数的偶数。
2、有三本不同的数学书、五本不同的物理书，从中任取两本数学书、三本物理书，有 30 种取法。
从三本不同的数学书任取两本数学书有，从五本不同的数学书任取三本数学书有 ，所以有
3、设，，表示三个事件，则表示发生且和都不发生事件。
4、设，，表示三个事件，则该三个事件中至少有一个出现用 表示。
5、设、、，则。
因为，，所以
二、 选择题
1、由0，1，2，3，4，5能组成 C 个没有重复数字的五位数。
A、 B、 C、 D、
因为万位上有种排法，其余四个位上有种排法，所以有个没有重复数字的五位数。故选C。
2、从100件产品中抽出4件进行检查，有 B 种不同的抽取方法。
A、 B、 C、 D、
因为这是一个组合问题，所以选B。
3、设、、，则 A 。
A、 B、 C、 D、
因为，，所以。选A
4、向指定的目标射三枪。以，，分别表示事件“第一、二、三枪击中目标”。则表达是下列 C 事件。
A、只击中第一枪 B、只击中一枪 C、三枪都未击中 D、至少击中一枪
因为、、分别表示“第一、二、三枪未击中目标”，所以选C
5、在某系的学生中任选一名学生。令事件表示“被选出者是男生”，事件表示“被选出者是三年级学生”，事件表示“被选出者是运动员”，则“被选出者是三年级的女生”事件可用 B 表示。
A、 B、 C、 D、
因为事件表示“被选出者是男生”，所以“被选出者是女生”事件用表示；
事件表示“被选出者是三年级学生”，
因此“被选出者是三年级的女生”事件可用表示。选B。
三、 计算题
1、数字0，1，2，3，4能组成多少个五位数？
因为万位上有4种排法，其余各个位上有5种排法，所以有个五位数，即有2500个五位数。
2、在分别写有1，2，3，4，5，6，7的七张卡片中任取两张，用卡片上的两个数相乘得一个数，问得数是奇数的有多少个？
这是一个组合问题，且只能取奇数的卡片，有种选法，即有6个奇数。
3、设，写出的所有子集。
因为的所有子集有 个，即有空集、、、、、、、、、、、、、、、。
4、求区间与的交集和并集。
区间与的交集为；
区间与的并集为
5、从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品。求“取到的产品全为正品”的随机事件的对立事件，并求基本空间的基本事件的总数。
“取到的产品全为正品”的随机事件的对立事件为“取到的产品不全为正品”
基本空间的基本事件的总数为
四、电话号码由七位升到八位。理论上，电话局共能增加多少个用户(假定每个用户只用一个电话号码)？
七位数的电话号码有个用户，八位数的电话号码有个用户，所以电话局共能增加个用户。
第三章 随机事件的概率
一、 填空题
1、设随机事件在次试验中出现了次，则称比值为这次试验中事件出现的频率。
2、设，为任意两个随机事件，那末。
3、一口袋中有五个红球及两个白球，从这袋中任取两个，取得“一个红球、一个白球”的概率是。
从这袋中任取两个有种，取得“一个红球、一个白球”有种，所以由古典概型可知：取得“一个红球、一个白球”的概率为
4、在线段上任取一点，在处折断而得两个线段，“其中一段大于另一段”的概率是 1 。
5、某人做了抛掷硬币的试验，共抛掷了500次，徽花向上的次数为260次。则徽花向上的频率等于 0.52 。
由频率定义知：频率等于
二、 选择题
1、从装有标号为2，3，4，5，6的球的口袋中取一球，取到标号为2的球的概率为 B 。
A、 B、 C、 D、
口袋中有5个球，取一球概率为，所以选B。
2、在分别写有1，2，3，4，5，6，7的七张卡片中任取两张，用卡片上的两个数相乘得一个数，则得数是奇数的概率为 A 。
A、 B、 C、 D、
从七张卡片中任取两张有种，两数相乘得一奇数有，得数是奇数的概率为，所以选A。
3、在上任取两数，，则点在圆内的概率为 D 。
A、 B、 C、 D、
这是几何概型：基本空间面积为4，事件面积为，所以点在圆内的概率为，选D。
4、设随机事件的概率为，则 A 。
A、 B、 C、 D、
5、对于任一随机事件，有 D 。
A、 B、 C、 D、
三、 计算题
1、连续抛掷两枚硬币，求连续两次均出现徽花向上的概率？
基本空间为向上，向上)，(向上，向下)，(向下，向上)，(向下，向下，
随机事件“连续两次均出现徽花向上”为向上，向上
所以连续两次均出现徽花向上的概率为。
2、求由0，1，2，3，4，5组成的五位数中没有重复数字的五位数的概率？
基本空间为由0，1，2，3，4，5组成的五位数，其元素个数为，
随机事件“没有重复数字的五位数”，其元素个数为
所以随机事件“没有重复数字的五位数”的概率为
3、在随机取两个数，求两个数都小于的概率？
基本空间为边长为1的正方形，其面积为1
随机事件“两个数都小于的概率”为边长为0.5的正方形，其面积为0.25。
所以两个数都小于的概率为。
4、在线段上任取两点、，在、处折断而得三个线段。求“这三个线段能构成三角形”的概率？
记AD=1，设AB=x，BC=y，则CD=1-x-y，因为在线段AD上截取的三个线段的长度都应大于0且小于线段AD的长度，所以x，y应满足：0< x< 1，0< y<1，0< 1-x-y< 1。如果以x、y表示平面上点的坐标，在直角坐标平面上画出上述不等式对应的区域三角形OAB，如图3—6。则所有基本事件可以用该三角形内的所有点表示出来。由三条线段能构成三角形的条件：两边和大于第三边（或两边之差小于第三边）。可得
即 E D
画出此不等式表示的区域，如图中中阴影部分三角形CDE。设事件A表示“三个线段能构成三角形”，则A所包含的基本事件可以用此三角形内的所有点表示出来。所以
P（A）= = =
5、某市有45%人口买养老保险，有58%人口买人身保险，有75%人口至少买这两种险种中的一种。求同时买这两种保险的百分比。
设事件A表示“买养老保险”，设事件B表示“买人身保险”，则事件AUB表示至少买这两种险种中的一种，AB表示同时买这两种保险。由题意知P（A）=45%，P（B）=58%，P（AUB）=75%，利用广义加法定理得
Ｐ（AB） ＝P（A）+P（B）—Ｐ（ＡＵＢ）
＝45％＋58％－7５％＝28％
所以同时订这两种报纸的住户为28％
四、 在随机取两个数，，求“”的概率？
基本空间为边长为的正方形，面积为，
随机事件“”为与及所围成的图形，其面积为，所以“”的概率为
第四章 条件概率 事件的相互独立性及试验的相互独立性
一、 填空题
1、两事件的积事件的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件出现下的
条件概率 的乘积。
2、设事件、、两两互斥且事件为事件++的子事件，++。
乘法公式
3、某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%、35%、40%，各车间产品的次品率分别为5%、4%、2%。则全厂产品的次品率为 3.45% 。
分别用、、表示甲、乙、丙三个车间生产的产品，用表示次品
则25%，35%，40%，5%，4%，2%
所以++=25%5%+35%4%+40%2%=3.45%
4、若，， 0.3 ，与相互独立。
由与相互独立的定义得，，所以
5、一批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共取五件样品。五件样品中恰好有三件次品的概率为 0.0512 。
=0.0512
二、 选择题
1、一批零件共100件，次品率为10%。接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回去。第二次才取得正品的概率为 A 。
A、 B、 C、 D、

2、下列式子 B 不是概率的乘法公式。
A、 B、
C、 D、
3、制作10张彩票，其中只有一张写有“奖”字样，10个人依次摸彩，摸到标有“奖”字样的称为中彩。则下列说法正确的是 D 。
A、最先摸的中彩率最大 B、最后摸的中彩率最大
C、最先摸的中彩率最小 D、10个人的中彩率一样
4、从一副52张的扑克牌中随机地抽取一张，以表示抽出的一张牌是“A”，表示抽出的牌是黑桃，则下列不正确的是 D 。
A、 B、 C、 D、事件与不独立

5、某射手射击5次，每次命中的概率为0.6。则5次中有3次命中的概率为 B 。
A、 B、 C、 D、
三、 计算题
1、某学生可以选修甲、乙两门课程之一，他估计学习课程甲获得成绩“优”的概率为，而学习课程乙获得成绩“优”的概率为。该学生通过掷一枚硬币出现正反面来决定选哪一门课。求该学生选了课程乙且获得成绩“优”的概率？
假设用、分别表示“某学生选修甲、乙两门课程”，用表示“获得成绩‘优’”，故用表示该学生选了课程乙且获得成绩“优”
由题知：，，，
所以
2、设三次独立射击中至少命中一次的概率为，求在一次射击中命中的概率？
假设用表示“一次射击中命中”，设
由三次独立射击中至少命中一次的概率为知三次独立射击中没有一次命中的概率为，又，
所以，即
3、考虑有两个孩子的家庭，按大小顺序进行不同的性别分布，事件表示“家中既有男孩又有女孩”，事件表示“家中至多有一个女孩”。问事件与事件是否独立？
基本空间男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女
事件男，女)，(女，男
事件男，男)，(男，女)，(女，男
事件男，女)，(女，男
所以，，
而，所以事件与事件不独立。
4、设一个口袋中有四张形状相同的卡片。在这四张卡片上依次标有下列各组数字：110，101，011，000。从这袋中任取一张卡片，用表示事件“取到的卡片第位上的数字为1”()，问与，与，与是否相互独立？
，，，
，，
所以，，
故与相互独立，与相互独立，与相互独立。
5、教科书出版的印数是本，每本装订错误的概率等于。求正好有5本有装订错误的概率？
设用表示“每本装订错误”，用表示“正好有5本有装订错误”
则，
四、 在标准化考试中，一道考题同时列出四种选择答案，要求学生把唯一的正确答案选择出来。设某考生知道正确答案的概率为， 不知道正确答案的条件下答对的概率为。考试后已知他答对了，求他知道正确答案的概率。
假设用表示“某考生知道正确答案”，用表示“某考生答对了”，
则，，所以

第五章 一维随机变量
第七章 随机变量的函数及其分布
第八章 随机变量的数字特征
一、 填空题
1、设一口袋中有依次标有，，，，，数字的六个球，从这口袋中任取一个球，取得的球上标有的数学，则=。
因为=
2、设服从，则=() ()。
3、设的分布密度为，则的分布密度为 。

,
所以的分布密度
4、设十根钢筋的抗拉指标依次为110，120，120，125，125，125，130，130，135，140，则随机变量的数学期望等于 126 。
126
5、。
二、 选择题
1、下列 D 不是分布函数的性质。
A、 B、
C、 D、
2、连续型随机变量的分布密度不具有下列 B 性质。
A、 B、
C、 D、
3、设服从，则服从 A 。
A、 B、 C、 D、
4、设服从。下列式子正确的是 B 。
A、 B、
C、 D、
5、数学期望、方差不具有下列 C 性质。
A、 当为常数时，
B、 B、
C、当为常数时，
D、与相互独立
三、 计算题
1、进行4次独立射击，每次射击的命中率为，以表示命中的次数。求的分布函数？
，
，
，
，
，
所以的分布函数
2、设服从,计算
（1） (2) (3)
(已知 )
（1）
(2)

(3)

3、设十根钢筋的抗拉指标依次为110，120，120，125，125，125，130，130，135，140，求随机变量的方差？
126

。
4、设的分布密度为。求的数学期望与方差？

5、箱内有5个电器元件，其中有2个是次品，设每次从箱中随机地抽取一个进行检查，直到查出全部次品为止。求所需检验次数的数学期望与方差？
设所需检验次数，则可能取2，3，4，5。
则，，
，

随机变量的分布密度为

2 3 4 5
概 率

四、 在一个口袋子中有六个球，这六个球上分别标有 1，-2，-2，-2，3，3这样的数字，从这个口袋中任取一球，求取得的球上标有的数字的分布密度，分布函数，，。
，，
随机变量的分布密度为

-2 1 3
概 率