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2.5 二次函数
一、填空题
1．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析 由题意，y＝|x＋a|是偶函数，所以a＝0.
答案 0
2．设函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．
解析 a＝0显然成立．a≠0时，二次函数对称轴为x＝－，所以a＜0且－≥4，解得－≤a＜0，综上，得－≤a≤0.
答案
3.若有负值,则实数a的取值范围是_______．
解析 ∵有负值,
∴.∴a>2或a<-2.
答案 a>2或a<-2
4．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式是________．
解析 由f(0)＝1可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，代入f(x＋1)－f(x)＝2x可得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，a＋b＝0，从而b＝－1，f(x)＝x2－x＋1.
答案 f(x)＝x2－x＋1
5． a＝________时，函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]．
解析 f(x)＝(x－a)2＋a－a2.
当a＜－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，
所以⇒a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，⇒a＝－1；
当0＜a≤1时，⇒a不存在；
当a＞1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，
所以⇒a不存在．
综上可得a＝－1.
答案 －1
6．设函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，y＝x2＋1，则当x＞1时，y＝________.
解析 首先作出当x≤1时，y＝x2＋1的图象，
如图所示，则关于x＝1与之对称部分仍是抛物线，
顶点为(2,1)，于是当x＞1时，y＝(x－2)2＋1，即y＝x2－4x＋5.
答案 x2－4x＋5
7．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系如图所示，则每辆客车营运________年，使其营运年平均利润最大．
解析 由题设y＝a(x－6)2＋11，过点(4,7)，得a＝－1.
∴y＝－(x－6)2＋11，则每年平均利润为＝－＋12≤－10＋12，当且仅当x＝5时，取“＝”．
答案 5
8．设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 当a≤－1时，f(x)min＝f(－1)＝3＋2a，于是由a≤f(x)min，得a≤3＋2a⇒a≥－3，所以－3≤a≤－1；
当a＞－1时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，于是由a≤f(x)min，得a≤2－a2⇒－2≤a≤1，所以，－1＜a≤1.
综上，得－3≤a≤1.
答案 [－3,1]
9.函数在区间[-2,+上是增函数,则f(1)的取值范围是______．
解析 由题知∴.
∴f.
答案
10．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．
解析 设二次函数的解析式为：
f(x)＝a2＋49(a≠0)，
方程a2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，
则|x1－x2|＝2 ＝7.
∴a＝－4，故f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案 f(x)＝－4x2－12x＋40
11．由方程2x|x|－y＝1所确定的x，y的函数关系记为y＝f(x)．给出如下结论：
①f(x)是R上的单调递增函数；
②对于任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝－2恒成立；
③存在x0∈(－1,0)，使得过点A(1，f(1))，B(x0，f(x0))的直线与曲线y＝f(x)恰有两个公共点．
其中正确的结论为________(写出所有正确结论的序号)．
解析 y＝2x|x|－1的图象如图所示，所以
①②显然正确，取x0＝－，则过点A(1,1)，
B的直线与曲线y＝f(x)有两个交点．
答案 ①②③
12．已知函数f(x)＝|2x－3|，若0＜2a＜b＋1，且f(2a)＝f(b＋3)，则T＝3a2＋b的取值范围为________．
解析 由0＜2a＜b＋1，且f(2a)＝f(b＋3)，
得0＜2a≤≤b＋3，
于是由|4a－3|＝|2b＋3|，得3－4a＝2b＋3，所以b＝－2a，
∴2a＜－2a＋1，a＜
所以T＝3a2＋b＝3a2－2a＝3＝32－.
又0＜2a≤，所以0＜a≤，
所以T∈.
答案
13.已知函数且f(1+x)=f(-x),则f(-2)，f(0)，f(2)的大小关系是_______．
解析 ∵f(1+x)=f(-x),
∴.
∴.
∴2+b=-b,即b=-1.
∴其图象的对称轴为.
∴f(0)<f(2)<f(-2).
答案 f(0)<f(2)<f(-2)
二、解答题
14．已知函数f(x)＝x|x－2|.
(1)写出f(x)的单调区间；
(2)解不等式f(x)＜3；
(3)设0＜a≤2，求f(x)在[0，a]上的最大值．
解析 (1)f(x)的图象如图所示，所以f(x)的增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)，减区间为[1,2]．
(2)当x＝3时，f(3)＝3，所以f(x)＜3的解集为(－∞，3)．
(3)因为0＜a≤2，所以当0＜a≤1时，f(x)在[0，a]上的最大值为f(x)max＝f(a)＝2a－a2；
当1＜a≤2时，f(x)在[0，a]上的最大值为f(x)max＝1.
综上，得f(x)max＝
15．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋b(b<a<1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有实根．
(1)求证：－3<b≤－1且a≥0；
(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负，并说明理由．
解析 (1)证明：∵f(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1.
∵方程f(x)＋1＝x2＋2ax＋b＋1＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(b＋1)≥0，
∴4a2＋8a≥0，∴a≤－2或a≥0.
∵b＝－2a－1<1，∴a>－1，∴a≤－2应舍去．∴a≥0.
∵0≤a<1且a＝－，∴0≤－<1，
∴－3<b≤－1.
(2)设方程f(x)＝0的另一根为x2.∵1是方程x2＋2ax＋b＝0的一根，∴1·x2＝b，
∴方程x2＋2ax＋b＝0的另一根为b，∴f(b)＝0.
∴当b<x<1时，f(x)<0；
当x<b或x>1时，f(x)>0.
∵f(m)＋1＝0，∴f(m)＝－1<0，∴b<m<1.
∴m－4<－3<b，∴f(m－4)>0.
16．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
(1)若存在x∈R使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围；
(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．
解析 (1)∃x∈R，f(x)＜bg(x)⇒∃x∈R，x2－bx＋b＜0⇒(－b)2－4b＞0⇒b＜0或b＞4.
(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.
①当Δ≤0，即－≤m≤时，则必需
⇒－≤m≤0.
②当Δ＞0，即m＜－或m＞时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1＜x2)．
若≥1，则x1≤0，即⇒m≥2；
若≤0，则x2≤0，即⇒－1≤m＜－；
综上所述：实数m的取值范围是[－1,0]∪[2，＋∞)
17．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M，m，集合A＝{x|f(x)＝x}．
(1)若A＝{1,2}，且f(0)＝2，求M和m的值；
(2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值．
解析 (1)由f(0)＝2可知c＝2.
又A＝{1,2}，
故1,2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的两实根．
所以解得a＝1，b＝－2.
所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－2,2]．
当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1，即m＝1.
当x＝－2时，f(x)max＝f(－2)＝10，即M＝10.
(2)由题意知，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两相等实根x＝1.
所以即
所以f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈[－2,2]，其对称轴方程为x＝＝1－.
又a≥1，
故1－∈.
所以M＝f(－2)＝9a－2.
m＝f＝1－.
g(a)＝M＋m＝9a－－1.
又g(a)在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以当a＝1时，g(a)min＝.
18．已知≤a≤1，若f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)．
(1)求g(a)的函数表达式；
(2)判断g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值．
解析 (1)函数f(x)＝ax2－2x＋1的对称轴为直线x＝，而≤a≤1，所以1≤≤3.
所以f(x)在[1,3]上N(a)＝f＝1－.
①当1≤≤2时，即≤a≤1时，M(a)＝f(3)＝9a－5.
②当2＜≤3时，即≤a＜时，M(a)＝f(1)＝a－1.
所以g(a)＝M(a)－N(a)＝
(2)g(a)在上单调递增，g(a)＝a＋－2，≤a＜，在上单调递减，
故g(a)min＝g＝.
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