万有引力与航天导学案教师版.doc

第4课时　万有引力与航天
考纲解读 1.掌握万有引力定律的内容、公式及其应用.
2. 理解环绕速度的含义并会求解.
3. 3.了解第二和第三宇宙速度．
知识梳理
一.开普勒行星运动定律
1. 开普勒第一定律(轨道定律) 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上.
2. 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.
3.开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等.a3/T2＝k.
二、万有引力定律及其应用
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：F＝，G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
三．宇宙速度
1．第一宇宙速度又叫环绕速度．
推导过程为：由mg＝＝ 得：
v1＝ ＝＝7.9 km/s.
2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．
特别提醒　1.两种周期——自转周期和公转周期的不同
2．两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度
3．两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同
3．第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
4．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
热点聚焦　
考点一　天体质量和密度的计算
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝ma向＝m＝mω2r＝m
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
深化拓展　(1)在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g时，常运用GM＝gR2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式．
(2)利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：
在行星表面重力加速度：G＝mg，所以g＝.
在离地面高为h的轨道处重力加速度：G＝mgh，所以gh＝.
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
考点二　卫星运行参量的比较与运算
1．卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力，G＝ma向＝m＝mω2r＝m.
2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

考点三.卫星变轨问题的分析
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：
(1)当卫星的速度突然增加时，G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时减小．
(2)当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时增大．
卫星的发射和回收就是利用这一原理．
(1)卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大．
(2)卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．
(3)圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同.

考点四.双星系统模型问题的分析与计算
1．双星系统模型的特点：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等．
(2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；
(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r1＋r2＝L.
2．双星系统模型的三大规律：
(1)双星系统的周期、角速度相同．
(2)轨道半径之比与质量成反比．
(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．
聚焦高考
1. 关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是 (C　　)
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
2．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是 ( )
A．开普勒、卡文迪许 B．牛顿、伽利略
C．牛顿、卡文迪许 D．开普勒、伽利略

3.关于万有引力公式 F＝G 以下说法中正确的是(　　)
A.公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
4.在万有引力定律的公式中，r是 ( )
A．对星球之间而言，是指运行轨道的平均半径
B．对地球表面的物体与地球而言，是指物体距离地面的高度
C．对两个均匀球而言，是指两个球心间的距离
D．对人造地球卫星而言，是指卫星到地球表面的高度
5．一宇航员在某星球上以速度v0竖直上抛一物体，经t秒落回原处，已知该星球半径为R，那么该星球的第一宇宙速度是 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设该星球表面重力加速度为g，由竖直上抛知识知，t＝，所以g＝；由牛顿第二定律得：mg＝m，所以v＝＝ .
6.(2012·福建理综·16)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为 (　　)
A. B.
C. D.
7.(2011·江苏·7)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则 (　　)
A．恒星的质量为 B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为
答案　ACD
解析　由＝＝mr得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B(2011·8.(广东·20)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是(　　)
A.卫星距地面的高度为
B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为G
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
解析　天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F引＝F向＝m＝.当卫星在地表运行时，F引＝＝mg(此时R为地球半径)，设同步卫星离地面高度为h，则F引＝＝F向＝ma向<mg，所以C错误，D正确．由＝得，v＝ < ，B正确．由＝，得R＋h＝ ，即h＝ －R，A错误．
答案　BD
9．如图2所示，将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火，将
卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q,2、3相切于P点，
则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的
是 (　　)
A．卫星在轨道2上经过Q点时的速度小于它在轨道2上经过 图2
P点时的速度
B．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度
C．卫星在轨道1上的向心加速度小于它在轨道3上的向心加速度
D．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
答案　BD
解析　本题考查人造卫星的知识．由开普勒第二定律可知，卫星在椭圆轨道的近地点速度大，A错；卫星在同一点受到的万有引力相同，加速度也相同，B对；由a＝G，r越小，a越大，C错；由G＝mω2r，卫星在轨道3上的半径大，故角速度小，D对．
错；r＝＝＝，C对；a＝ω2r＝ωv＝v，D对．
10．(2012·福建理综·13)“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的 (　　)
A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期
答案　A
解析　对“嫦娥二号”由万有引力提供向心力可得：＝mR，故月球的质量M＝，因“嫦娥二号”为近月卫星，故其轨道半径为月球的半径R，但由于月球半径未知，故月球质量无法求出，月球质量未知，则月球的半径R也则无法求出，故B、C项均错；月球的密度ρ＝＝＝，故A正确．

11.(2012·天津理综·3)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前、后卫星的(　　)
A．向心加速度大小之比为4∶1 B．角速度大小之比为2∶1
C．周期之比为1∶8 D．轨道半径之比为1∶2
答案　C
解析　根据Ek＝mv2得v＝ ，所以卫星变轨前、后的速度之比为＝.根据G＝m，得卫星变轨前、后的轨道半径之比为＝＝，选项D错误；根据G＝ma，得卫星变轨前、后的向心加速度大小之比为＝＝，选项A错误；根据G＝mω2r，得卫星变轨前、后的角速度大小之比为＝ ＝，选项B错误；根据T＝，得卫星变轨前、后的周期之比为＝＝，选项C正确．
12.　(2012·重庆·18)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的(　　)
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
答案　A
解析　本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做匀速圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2(L为两星间的距离)，因此＝＝，＝＝＝，故A对，C错.
无法求出，故B、C项均错；月球的密度ρ＝＝＝，故A正确

13．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．
如图3所示，关闭发动机的航天飞机A在月球引力作用
下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与
空间站对接．已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，
引力常量为G，月球的半径为R.下列判断正确的是(　　)
A．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速 图3
B．图中的航天飞机正在加速飞向B处
C．月球的质量M＝
D．月球的第一宇宙速度v＝
答案　ABC
解析　航天飞机到达B处时速度比较大，如果不减速此时万有引力不足以提供向心力，这时航天飞机将做离心运动，故A正确；因为航天飞机越接近月球，受到的万有引力越大，加速度越大，所以正在加速飞向B处，故B正确；由万有引力提供空间站做圆周运动的向心力，则G＝m，整理得M＝，故C正确；速度v＝是空间站在轨道r上的线速度，而不是围绕月球表面运动的第一宇宙速度，故D错误．

14．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．
(1)求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v1；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r；
(3)由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出平均密度表达式．
答案　(1)　(2) 　(3)ρ＝
解析　(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M
卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动满足
G＝mg ①
第一宇宙速度是指卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
G＝m ②
①式代入②式，得v1＝
(2)卫星受到的万有引力为G＝m()2r ③
由①③式解得r＝
(3)设质量为m0的小物体在地球表面附近所受重力为m0g，则G＝m0g
将地球看成是半径为R的球体，其体积为V＝πR3
地球的平均密度为ρ＝＝
15．发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆
轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后
在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图4
所示．已知同步卫星的运行周期为T，地球的半径为R，地球表
面重力加速度为g，忽略地球自转的影响．求： 图4
(1)卫星在近地点A的加速度大小；
(2)远地点B距地面的高度．
答案　(1)　(2) －R
解析　(1)设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在A点的加速度为a，
根据牛顿第二定律有G＝ma
设质量为m′的物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，有
G＝m′g
由以上两式得a＝
(2)设远地点B距地面的高度为h2，卫星受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
G＝m(R＋h2)
解得：h2＝ －R.