【解析版】河南省郑州外国语学校高三数学12月月末考试试题-文-新人教A版.doc

河南省郑州外国语学校2013届高三12月月末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．
1．（5分）设a，b为实数，若复数，则（　　）

A．

B．
a=3，b=1
C．

D．
a=1，b=3

考点：
复数相等的充要条件．
分析：
先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．
解答：
解：由可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，
故选A．
点评：
本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．

2．（5分）集合P={y|y=sinx，x∈R}，M={a，a2}．若P∪M=P，则a的取值范围是（　　）

A．
[﹣1，1]
B．
（﹣1，0）∪（0，1）
C．
[﹣1，0）∪（0，1）
D．
（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）

考点：
并集及其运算．
分析：
由于集合P={x|﹣1≤x≤1}，M={a，a2}，且 P∪M=P，可得 M⊆P，从而得到a的取值范围．
解答：
解：∵集合P={y|y=sinx，x∈R}={x|﹣1≤x≤1}，M={a，a2}，且 P∪M=P，∴M⊆P，
∴
解得﹣1≤a＜1且a≠0，
故a的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1）
故选：C
点评：
本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，两个集合的并集的定义，判断 M⊆P是解题的关键，属于基础题．
3．（5分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（2，+∞），则关于x的不等式的解集为（　　）

A．
（﹣2，3）
B．
（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）
C．
（2，3）
D．
（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）

考点：
其他不等式的解法．
专题：
计算题．
分析：
根据所给的不等式的解集，看出不等式中两个字母系数之间的关系，利用穿根得到结果．
解答：
解：因为x的不等式ax﹣b＞0的解集为（2，+∞），
所以a大于0，b=2a，
所以关于x的不等式的解集可以利用穿根得到结果是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）
故选B
点评：
本题考查分式不等式的解法和一元一次不等式的解法，本题解题的关键是看出a，b之间的关系．

4．（5分）（2013•成都模拟）已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（　　）

A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件

C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件

考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：
证明题．
分析：
由已知中平面向量，满足，与的夹角为60°，分别判断“m=1”⇒“”与“”⇒“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论．
解答：
解：∵向量，满足，与的夹角为60°，
∴=1，•=1
当m=1时，==﹣•=0
故
当时，﹣m•=1﹣m=0，
故m=1
故“m=1”是“”的充要条件
故选C
点评：
本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据已知条件判断“m=1”⇒“”与“”⇒“m=1”的真假，是解答本题的关键．

5．（5分）（2012•包头一模）如图，给出的是的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（　　）

A．
i≤99
B．
i＜99
C．
i≥99
D．
i＞99

考点：
程序框图．
专题：
规律型．
分析：
由已知中该程序的功能是计算 的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．
解答：
解：∵该程序的功能是计算 的值，
由循环变量的初值为1，步长为2，
则最后一次进入循环的终值为99，
即小于等于99的数满足循环条件，
大于99的数不满足循环条件，
故判断框中应该填的条件是：i≤99
故选A．
点评：
算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

6．（5分）（2012•葫芦岛模拟）已知f（x）=3sinx﹣πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（　　）

A．
p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0
B．
p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0

C．
p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0
D．
p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0

考点：
复合命题的真假；命题的否定．
专题：
应用题．
分析：
由三角函数线的性质可知，当x∈（0，）时，sinx＜x可判断p的真假，根据全称命题的否定为特称命题可知￢p．
解答：
解：由三角函数线的性质可知，当x∈（0，）时，sinx＜x
∴3sinx＜3x＜πx
∴f（x）=3sinx﹣πx＜0
即命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0为真命题
根据全称命题的否定为特称命题可知￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0
故选D
点评：
本题看出命题真假的判断，本题解题的关键是先判断出条件中所给的命题的真假，本题是一个基础题．

7．（5分）（2012•辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
几何概型．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求
解答：
解：设AC=x，则BC=12﹣x
矩形的面积S=x（12﹣x）＞20
∴x2﹣12x+20＜0
∴2＜x＜10
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==
故选C

点评：
本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题

8．（5分）从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（　　）

A．
6
B．
8
C．
10
D．
15

考点：
抛物线的简单性质．
专题：
计算题．
分析：
根据抛物线方程设出点P的坐标，根据|PM|=5求得|y0|，最后利用三角形面积公式求得答案．
解答：
解：设P（，y0）
则|PM|=+1=5
所以|y0|=4
所以△MPF的面积=×4×5=10
故选C
点评：
本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对基础知识的灵活运用和数形结合的数学思想的运用．

9．（5分）设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：
①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；
②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；
③若m⊂α，m∥n，则n∥α；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题为（　　）

A．
①②
B．
①②③
C．
②③④
D．
①③④

考点：
平面的基本性质及推论．
分析：
选项①结论是根据直线与平面垂直的性质定理得出的故其正确，选项②根据由三垂线定理的逆定理可证，选项③n也可能在平面α内时不正确，选项④举反例，如正方体共顶点的三个平面．
解答：
解：选项①，可以根据直线与平面垂直的性质定理得出的，故其正确；
选项②，根据由三垂线定理的逆定理可证可知正确；
选项③，n在平面α内时不正确；
选项④，若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β，不正确，如正方体共顶点的三个平面；
故选A．
点评：
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定等有关知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．

10．（5分）已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（　　）

A．
（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
B．
（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
C．
（﹣1，0）∪（0，+∞）
D．
a∈R且a≠0，a≠﹣1

考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：
计算题．
分析：
先将条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”转化成f'（x）=﹣1无解，然后求出2sinxcosx+2a=﹣1有解时a的范围，最后求出补集即可求出所求．
解答：
解：∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线
∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为﹣1
即f'（x）=2sinxcosx+2a=﹣1无解
∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2
∴﹣1≤a≤0时2sinxcosx+2a=﹣1有解
∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是a＜﹣1或a＞0
故选B．
点评：
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及转化的数学思想，解题的关键是对条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”的理解，属于基础题．

11．（5分）（2012•淮南二模）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）=2f（2），若y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且f（1）=2，则f（1003）=（　　）

A．
2
B．
3
C．
4
D．
6

考点：
抽象函数及其应用；函数的值．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由函数f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称且由y=f（x﹣1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象可知函数y=f（x）的图象关于x=0对称即函数y=f（x）为偶函数，在已知条件中令x=﹣2可求f（2）=0，从而求得函数的周期，利用所求周期以及偶函数的性质即可求解．
解答：
解：：∵函数f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称且把y=f（x﹣1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，
∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数．
∵f（x+4）﹣f（x）=2f（2），
令x=﹣2可得f（2）﹣f（﹣2）=2f（2），则f（2）=0．
从而可得f（x+4）=f（x）即函数是以4为周期的周期函数，
∴f（1003）=f（250×16+3）=f（3）=f（﹣1）=f（1）=2，
故选A．
点评：
本题主要考出了函数的图象的平移及函数图象的对称性的应用，利用赋值求解抽象函数的函数值，函数周期的求解是解答本题的关键所在，属于中档题．

12．（5分）设{an}是等比数列，公比q=，Sn为{an}的前n项和．记，n∈N*，设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0=（　　）

A．
3
B．
4
C．
5
D．
6

考点：
数列递推式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．
专题：
综合题；等差数列与等比数列．
分析：
首先用公比q和a1分别表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表达式，再根据基本不等式得出n0．
解答：
解：设等比数列的首项为a1，则an=a1（）n﹣1，Sn=
∴=
=•[+﹣17]
∵+≥8，当且仅当=，即n=4时取等号，
所以当n0=4时，Tn有最大值．
故选B．
点评：
本题考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）等差数列{an}中，若a1+a2=4，a10+a9=36，则S10=　100　．

考点：
等差数列的前n项和．
专题：
计算题．
分析：
要求S10，根据等差数列的和公式可得，只需求a1+a10，而由已知a1+a2=4，a10+a9=36可知只要把两式相加，再利用等差数列的性质可求
解答：
解：∵a1+a2=4，a10+a9=36
∴a1+a10+a2+a9=40
由等差数列的性质可得，a1+a10=a2+a9
∴a1+a10=20
由等差数列的前 n项和可得，
故答案为：100
点评：
本题主要考查了等差数列的性质（若m+n=p+q．则am+an=ap+aq）的应用，考查了等差数列的前项和公式，灵活运用性质是解决本题的关键．

14．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为　4　．

考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
计算题．
分析：
由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．
解答：
解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1，侧面的底边长为1，斜高为1，侧棱长为：=，所以几何体的表面积为：=4．
故答案为：4．
点评：
本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．

15．（5分）如图，已知两个同心圆的半径分别为1、2，P（x1，y1），Q（x2，y2）是大圆的割线，它与小圆距P最近的公共点是M，则的取值范围是　[﹣2，1]　．

考点：
向量在几何中的应用．
专题：
综合题；平面向量及应用．
分析：
设出M，Q的坐标，求出，结合图象，即可求得取值范围．
解答：
解：设M（cosα，sinα），Q（2cosβ，2sinβ），则=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos（α﹣β）
如图所示，α﹣β=∠QOx，则

当PQ与x重合时，（）min=2cosπ=﹣2；
当PQ与小圆相切时，（）max=2cos=1，
∴的取值范围是[﹣2，1]
故答案为：[﹣2，1]
点评：
本题考查向量的数量积，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

16．（5分）给出下列四个命题：
①f（x）=sin（2x﹣）的对称轴为；
②函数f（x）=sinx+的最大值为2；
③函数f（x）=sinx•cosx﹣1的周期为2π；
④函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上的值域为[﹣]．
其中正确命题的是　①②　．

考点：
命题的真假判断与应用．
专题：
计算题；三角函数的求值．
分析：
①f（x）=sin（2x﹣）的对称轴满足2x﹣=kπ+，k∈Z，由上能判断①的真假；
②函数f（x）=sinx+=2sin（x+），由此能判断②的真假；
③函数f（x）=sinx•cosx﹣1=﹣1，由此能判断③的真假；
④函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上的值域为[﹣，1]，由此能判断④的真假．
解答：
解：①f（x）=sin（2x﹣）的对称轴满足2x﹣=kπ+，k∈Z，
解得，故①是真命题；
②∵函数f（x）=sinx+=2sin（x+）∈[﹣2，2]，
∴函数f（x）=sinx+的最大值为2，故②是真命题；
③∵函数f（x）=sinx•cosx﹣1=﹣1，
∴函数f（x）=sinx•cosx﹣1的周期为π，故③是假命题；
④∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，
∴函数f（x）=sin（2x+）在[0，]上的值域为[﹣，1]，
故④是假命题．
故答案为：①②．
点评：
本题考查命题的真假判断与应用，是基础题．解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．

三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（10分）（2013•辽宁二模）在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（cosA，sinA），=（），若||=2．（1）求角A的大小；（2）若的面积．

考点：
余弦定理的应用．
专题：
综合题．
分析：
（1）先根据向量模的运算表示出，然后化简成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再根据正弦函数的性质和||=2可求出A的值．
（2）先根据余弦定理求出a，c的值，再由三角形面积公式可得到最后答案．
解答：
解：（Ⅰ）∵
∴
=
==
∵∴
又∵0＜A＜π∴∴，
∴
（Ⅱ）由余弦定理，
，
即∴c=8
∴

点评：
本题主要考查向量的求模运算、余弦定理和三角形面积公式的应用．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．

18．（10分）（2012•福建模拟）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
组别
PM2.5浓度
（微克/立方米）
频数（天）
频率
第一组
（0，25]
5
0.25
第二组
（25，50]
10
0.5
第三组
（50，75]
3
0.15
第四组
（75，100）
2
0.1
（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．

考点：
概率的应用．
专题：
计算题；概率与统计．
分析：
（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；
（Ⅱ）利用组中值×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进．
解答：
解：（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．
所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种． …（4分）
其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种． …（6分）
所以所求的概率． …（8分）
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）
因为40＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． …（12分）
点评：
本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．

19．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为CD的点．
（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；
（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF∥平面SAE？并证明你的结论．

考点：
直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
（1）先确定四棱锥S﹣ABCD的高SA，然后求出底面面积和SA，即可求出体积；
（2）F为侧棱SB的中点时，CF∥平面SAE，
证法一：设N为SA的中点，连NF，NE，FC，只需证明CF∥NE，NE⊂平面SAE，CF⊄平面SAE，即可．
证法二：设M为AB的中点，连MF，MC，FC，只须证平面FMC∥平面SAE，CF⊂平面FMC，即可．
解答：
解：（1）∵SA=AB=ADF=2，SB=SD=2，
则有SB2=SA2+AB2，SD2=SA2+AD2，
∴SA⊥AB，SA⊥AD，
又AD∩AB=A，AD，AB⊂底面ABCD
∴SA⊥底面ABCD，（2分）
VS﹣ABCD=•S四边形ABCD×SA=•×2×2×sin60°×2=（4分）
证明：（2）F为侧棱SB的中点时，CF∥平面SAE．（10分）
证法一：设N为SA的中点，连NF，NE，FC，则NF是△SAB的中位线，
∴NF∥AB且NF=AB，又CE∥AB且CE=AB，
∴CE∥NF且CE=NF，∴四边形CENF为平行四边形，
∴CF∥NE，∵NE⊂平面SAE，CF⊄平面SAE，
∴CF∥平面SAE．（12分）
证法二：设M为AB的中点，连MF，MC，FC，则MF是△SAB的中位线，
∴MF∥SA，∵SA⊂平面SAE，MF⊄平面SAE，
∴MF∥平面SAE．
同理，由CM∥AE，得CM∥平面SAE．
又MF∩MC=M，
∴平面FMC∥平面SAE，
又∵CF⊂平面FMC，
∴CF∥平面SAE．（12分）

点评：
本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

20．（10分）已知△ABC的边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC所在直线上且．
（1）求△ABC外接圆的方程；
（2）一动圆过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹方程Γ；
（3）过点A斜率为k的直线与曲线Γ交于相异的P，Q两点，满足，求k的取值范围．

考点：
圆与圆锥曲线的综合；平面向量的综合题；圆的标准方程．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（1）由，知AT⊥AB，从而直线AC的斜率为﹣3．所以AC边所在直线的方程为3x+y+2=0．由得点A的坐标为（0，﹣2），由此能求出△ABC外接圆的方程．
（2）设动圆圆心为P，因为动圆过点N，且与△ABC外接圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为，半焦距c=2的双曲线的左支．由此能求出动圆圆心的轨迹方程．
（3）PQ直线方程为：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（1﹣k2）x2+4kx﹣6=0（x＜0）
，由此能够得到k的取值范围．
解答：
解：（1）∵∴AT⊥AB，从而直线AC的斜率为﹣3．
所以AC边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1）．即3x+y+2=0．
由得点A的坐标为（0，﹣2），
又．
所以△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2=8．
（2）设动圆圆心为P，因为动圆过点N，且与△ABC外接圆M外切，
所以，即．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为，半焦距c=2的双曲线的左支．
从而动圆圆心的轨迹方程Γ为．
（3）PQ直线方程为：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由得（1﹣k2）x2+4kx﹣6=0（x＜0）
∴
解得：
故k的取值范围为
点评：
本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．

21．（10分）已知a为实数，函数f（x）=x3﹣ax2（x∈R）．
（1）若f′（1）=5，求a的值及曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：
综合题；导数的概念及应用．
分析：
（1）求导函数，利用f′（1）=5，确定a的值，从而可得切点坐标，即可求得切线的方程；
（2）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求得函数的最值．
解答：
解：（1）求导数可得f′（x）=3x2﹣2ax，
∵f′（1）=5，∴3﹣2a=5，∴a=﹣1
又当a=﹣1时，f（x）=x3+x2，∴f（1）=2，
所以，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣2=5（x﹣1），即y=5x﹣3．（5分）
（2）令f′（x）=3x2﹣2ax，解得x1=0，x2=，
当≤0，即a≤0时，在（0，2）上f′（x）＞0，f（x）在[0，2]上为增函数，∴f（x）max=f（2）=8﹣4a；
当，即a≥3时，在（0，2）上f′（x）＜0，f（x）在[0，2]上为减函数，∴f（x）max=f（0）=0；
当0＜＜2，即0＜a＜3时，在（0，）上f′（x）＜0，在（，2）上f′（x）＞0，
故f（x）在[0，]上为减函数，在[，2]上为增函数，
故当f（2）≥f（0），即8﹣4a≥0，即0＜a＜2时，f（x）max=f（2）=8﹣4a；
当f（2）＜f（0），即8﹣4a＜0，即2＜a＜3时，f（x）max=f（0）=0，
综上所述，f（x）= （13分）
点评：
本题考查导数知识的运用，考查切线方程，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

22．（10分）（2012•包头一模）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．

考点：
圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质．
专题：
计算题；证明题．
分析：
（I）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有，利用比例的性质可得，得到；
（II）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．
解答：
解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA，可得，
∴，即
∴
（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，
∴，
又∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，
又∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，
∴EF∥CD．
点评：
本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明两条直线平行，另一方面求线段的比值．着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．

23．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．
（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

考点：
圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：
计算题．
分析：
（1）根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程；
（2）先求出两个圆心之间的距离与两半径和进行比较，设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2，建立等量关系，解之即可．
解答：
解：（1）由得（x+2）2+y2=10
∴曲线C1的普通方程为得（x+2）2+y2=10
∵ρ=2cosθ+6sinθ
∴ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ
∴x2+y2=2x+6y，即（x﹣1）2+（y﹣3）2=10
∴曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=10
（2）∵圆C1的圆心为（﹣2，0），圆C2的圆心为（1，3）
∴
∴两圆相交
设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2
∴
∴d=
∴公共弦长为
点评：
本题主要考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，属于基础题．

24．（2009•辽宁）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，
（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

考点：
绝对值不等式．
专题：
计算题；压轴题；分类讨论．
分析：
（1）当a=﹣1，原不等式变为：|x﹣1|+|x+1|≥3，下面利用对值几何意义求解，利用数轴上表示实数﹣左侧的点与表示实数右侧的点与表示实数﹣1与1的点距离之和不小3，从而得到不等式解集．
（2）欲求当x∈R，f（x）≥2，a的取值范围，先对a进行分类讨论：a=1；a＜1；a＞1．对后两种情形，只须求出f（x）的最小值，最后“x∈R，f（x）≥2”的充要条件是|a﹣1|≥2即可求得结果．
解答：
解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|x﹣1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x﹣1|+|x+1|≥3
据绝对值几何意义求解，|x﹣1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，﹣1表示的点距离之和不小3，
由于数轴上数﹣左侧的点与数右侧的点与数﹣1与1的距离之和不小3，
所以所求不等式解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
（2）由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
点评：
本小题主要考查绝对值不等式、不等式的解法、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．

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