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中考数学压轴题解题策略

中考数学压轴题一般是指选择题、填空题的最后一题和解答题的最后两题.上海市中考数学命题近几年一直坚持易中难试题分值所占比例按8：1：1设计，中档题和较难题各占10%，这两类试题分散在不同题型中，不把所有难点放在同一题中的做法，有利于不同层次学生的区分，也有利于合理诊断学生解决问题过程的认知情况.对上海卷而言，压轴题就是第6题、第18题、第24题、第25题，它们相对于整卷更多的承担着选拔的功能，要想获得高分，会解这四道题是关键.
一、压轴题的基本特点
1. 综合性强
将不同范围的知识融于一体，涉及的考点多.
如11年第6题：矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；
(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内．
这道题将直角三角形、矩形、圆融于一体，涉及的考点有勾股定理（考点73）、矩形性质(考点80)、圆周（考点53）、比例（考点4）、一次方程（考点23）、根式计算（考点22）等.还涉及到计算、推理、作图，文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转译等.
2. 思维量大
如09年第18题：在中，为边上的点，联结（如图1所示）．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是 ．

此题所给条件与所求结论存在较大距离，必须经过作图、画辅助线、推理、计算等一系列活动，才能得出结论. 如图2，设点B翻折后落在点B′，MD⊥AC，D为垂足.
思路一：设MD=x，由∠DB’M=∠B，得Rt⊿DB’M∽Rt⊿ABC.∵AB=AB′=B′C=,∴DB′ =，又AD=x，所以有，得x=2.
思路二：考虑到即，所以x=2.
无论哪种方法，都需要较多的推理、计算步骤，能力要求高，思维容量大.
3. 结构层次高
根据彼格斯提出的SOLO分类的五个层次水平：前结构水平（PS水平）、单点结构水平（US水平）、多点结构水平（MS水平）、关联结构水平（RS水平）和抽象拓展结构水平（EA水平）.上海09、10、11年压轴题共23道小题，US水平有1道，MS水平有5道，RS水平有6道，EA水平有11道.总体水平层次是高的.18题，24题、25题最后一小题基本都是按抽象拓展结构水平设计，需要对问题进行抽象、概括，需要把知识用于新情况，解题过程需要对所给素材进行分析、归纳、重组，进行合乎逻辑的演绎，体现较高的思维水平.
09、10、11年上海市压轴题SOLO水平层次

09年
10年
11年
第6题
US
EA
RS
第18题
ES
EA
ES
第24题
（1）
MS
MS
MS
（2）
ES
EA
RS
（3）
ES

EA
第25题
（1）
MS
RS
MS
（2）
RS
RS
RS
（3）
ES
EA
ES

4.解答题各小题层次分明
解答题压轴题近几年基本以题组形式设计，除10年24题仅2小题，其余都是以3个小题的形式设计的.且层次分明.基本按多重结构、关联结构、抽象拓展结构逐级设计.
二、压轴题解题策略
A
B
C
E
D
图3
解压轴题是一个复杂的过程，但无论怎么复杂，解题过程都是在题设与结论之间找到一个“通道”，这个“通道”，是由一个个基本问题构成.这一串基本问题解决，原题也就解决.因此，解压轴题的过程，实际就是在合逻辑的前提下，对原题进行“连续化简”的过程.
例1 （11年杨浦区模拟卷第6题）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DE∥BC，且AD=2CD，则以D为圆心DC为半径的⊙D和以E为圆心EB为半径的⊙E的位置关系是 （ ）
（A）外离； （B）外切；
（C）相交； （D）不能确定．
这道题将直角三角形、平行线分线段成比例、两圆的位置关系等内容融于一体，是一道抽象拓展结构试题（EA水平）.我们看下面一组问题：
问题1 如图4，,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB= （答案：10）.

问题2 如图5，点E、D分别为Rt△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且AD=2CD， AB=10，则BE= （答案：）.
问题3 如图6，已知点D是线段AC上一点，AC=8，AD=2CD，则CD= （答案：）.
问题4如图5，点E、D分别为Rt△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且AD=2CD，BC=6，则DE= （答案：4）.
问题5 已知两圆半径分别为和，圆心距为4，则两圆位置关系是 （答案：相交）.
问题1-5都属于基本问题，在教材的练习题中都可以找到它们的原型，相信绝大部分学生都会做.但这五个问题与例1有非常密切的关系，它们之间可用图7说明：
例1的题设与结论之间没有直接的“通道”，它必须经过一些中间“环节”（问题1-5），五个问题的题设都是由例1的部分题设或上一问题的结论构成.解决例1的过程就是找到这五个基本问题、解决这五个问题.
怎样找到这五个问题？首先要作的工作当然是审题.
审题没有特殊方法，关键是认真、细致.搞清楚已知是什么？未知是什么？与题目中已知量与未知量相关联的知识有哪些？以往解答过的类似题目的经验有哪些？
对于压轴题，要直接找到题设与结论之间的关系往往是困难的.波利亚在《怎样解题》中指出：“当我们的问题比较困难时，我们可能感到很有必要……把问题再分解成几个问题.”“困难的问题需要有一种神奇的、不寻常的、崭新的组合.而解题者的才能就在于组合的独创性.”
在例1的条件中，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB可求出，这就是问题1.
在例1的结论中，需要判断“以D为圆心DC为半径的⊙D和以E为圆心EB为半径的⊙E的位置关系”，这就是问题5.
而问题5需求出两圆的半径EB、DC及两圆的圆心距DE的长（图5），这就引出了问题2、问题3、问题4.于是联结例1的题设与结论之间的“通道”形成.依次求出问题1-5的解，即可得出例1的结论.
上面通过“由因导果”、“执果索因”、“因果对接”，将例1转化为有逻辑关联的5个基本问题，进而解决它.这个过程就是对原题（例1）进行一个“连续化简”的过程.使之构成一个“通道”，然后一个个解决它.
下面再以11年上海市中考数学25题为例，谈谈这一策略在解压轴题中的应用.
例2 （11年上海卷25题）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．

图8 图9 备用图

（1）如图8，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图9，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
这道题由3道小题构成.第（1）题求CM的长，CM是Rt△CMP的斜边，在Rt△CMP中，由，可知Rt△CMP三边MP:CP:CM=5:12:13，若MP或CP可求，则CM可求.由此根据例2的题设可得下面的基本问题1、问题2.
问题1 如图10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CP⊥AB，P为垂足，若BC＝30，AB＝50．求AC和CP.（教材类题：九（上）练习部分P18页第2题.答案：40,24）

问题2 如图11，在Rt△CPM中，∠P＝90°，CP=24，，则CM= . （教材类题：九（上）P65页例题5.答案：26）.
第（2）小题是求变量y（NB）关于x（AP）的函数关系式，而y=50-x-PN.只要把其中的PN用x表示就可以了.由此又可得基本问题3-问题5.
问题3 如图12，在Rt△APE中，∠P＝90°，，则EP= .（教材类题：九（上）练习部分P34页第3题.答案：）
问题4 如图13，在Rt△EPN中，∠P＝90°，，则PN= .（教材类题：九（上）练习部分P34页第3题.答案：）
问题5 如图14 ，已知M、N为线段AB上两点，AB=50，AM=x，MN=，NB=y，则y= （教材类题：六（下）P90页第1（3）题.答案：）

类似地，第（3）小题可以转化为下面的基本问题6-问题13
问题6 如图15 ，M、N为线段AB上两点，∽，的顶点A、M、E分别与的顶点E、N、B对应，求证：（教材类题：九（上）P39页练习24.5（2）第2题.）
问题7 已知，其中.求证：（教材类题：七（上）练习部分P4页第3题.）
问题8 解方程：（教材类题：八（上）P30页例题4.答案：0,22）
问题9 如图16，已知∠2=∠3，求证：∠4=∠5（教材类题：七（下）P84页例题5.）
问题10 如图17，已知∠C=∠EPM=90°，∠4=∠5，求证：⊿ACE∽⊿EPM（教材类题：九（上）P22页问题1）

问题11 如图17，⊿ACE∽⊿EPM，顶点A、C、E分别与顶点E、P、M对应，，则CE= （教材类题：九（上）P34页练习24.5（1）第1题.答案：）
问题12 如图18，在Rt△EPB中，∠P＝90°，则EB= （教材类题：九（上）P66页练习25.1（2）第3（1）题.答案：）
问题13 如图19，点E为线段BC上一点，CE=，，CB=30，则x= （教材类题：六（下）练习部分P57页第3题.答案：42）
由于点E有可能在AC上，也有可能在BC上，所以要分两种情况讨论.上述的问题1-问题13构成例2的题设与结论之间的一个“通道”，它们与例2的关系可用图20来表示：

由此看来，连续化简、搭建“通道”、会解基础题，是解压轴题的关键.具体地要抓好如下环节：1.认真审题.审题是基础，只有正确地审题，才能准确、全面地理解题目所给的信息，并且有效挖掘题目所蕴含的信息.进而建立起已知、未知与已掌握知识间的联系，对已有信息进行合理地分解组合，找到有逻辑关联的基本“问题链”，为“连续化简” 、搭建“通道”提供保证.2.连续化简.连续化简是将一个复杂的问题按照某种关联不断地对题设、结论进行分离、重组，将原问题转化为多个新问题，直到每个新问题都为基本问题为止.常用方法有：由因导果、执果索因，分析与综合协同作战；数形结合、分类讨论等思想方法灵活应用.同时对题目的各部分特征要深入分析，要尽可能找到它们之间的联系，充分发挥各自的作用，这种“充分”有时要达到“见缝插针”“无孔不入”的程度.3.要夯实基础.对于“主干知识”和“核心内容”，若只是“懂”和“会”还不行，要达到“熟”和“巧”这一层次.只有熟能生巧，才能融会贯通.从11年的压轴题的分析我们看到，所用到的基础知识都源于教材.因此，那种丢纲脱本的做法是不可取的.

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