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课时知能训练
一、选择题
1．(2012·东莞模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2－a5＝0，则＝( )
A．5 B．8 C．－8 D．15
【解析】 ∵8a2－a5＝0，∴8a1q＝a1q4，∴q3＝8，即q＝2.
∴＝＝1＋q2＝5.
【答案】 A
2．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m＝( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【解析】 ∵am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝a1q10，
∴m＝11.
【答案】 C
3．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由题意知
即
解得
∴S5＝＝.
【答案】 B
4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( )
A.或5 B.或5
C. D.
【解析】 设等比数列的公比为q，
当公比q＝1时，由a1＝1得，9S3＝9×3＝27，而S6＝6，故不合题意．
当公比q≠1时，由9S3＝S6及a1＝1，得：
9×＝，解得q＝2.
所以数列{}的前5项和为1＋＋＋＋＝.
【答案】 C
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B. C. D．3
【解析】 S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
由＝3，即S6＝3S3知，S9－S6＝4S3，
∴S9＝7S3，∴＝＝.
【答案】 B
二、填空题
6．(2012·珠海模拟)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
【解析】 由(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)得a＝5，
因此等比数列{an}的首项为4，公比q＝＝＝.
∴an＝4×()n－1.
【答案】 4×()n－1
7．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.
【解析】 ∵an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an，
∴q2＋q－6＝0，
又q＞0，∴q＝2，
由a2＝a1q＝1得a1＝，
∴S4＝＝.
【答案】
8．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
【解析】 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝＝2n－1.
【答案】 2n－1
三、解答题
9．(2012·中山质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋c.
(1)求c的值并求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝Sn＋2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝2＋c，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
∴an＝
∵数列{an}为等比数列，
∴a1＝2＋c＝1，
∴c＝－1.
∴数列{an}的通项公式an＝2n－1.
(2)∵bn＝Sn＋2n＋1＝2n＋2n，
∴Tn＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋…＋n)
＝2(2n－1)＋n(n＋1)＝2n＋1－2＋n2＋n.
10．已知数列满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)
(1)求证数列{an＋1}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式及{an}的前n项和Sn.
【解】 (1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)
又a1＋1≠0，所以＝2.
∴数列{an＋1}为公比是2的等比数列．
(2)由(1)知an＋1＝(a1＋1)qn－1，
即an＝(a1＋1)qn－1－1＝2·2n－1－1＝2n－1.
故Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(2＋22＋…＋2n)－n
＝－n＝2n＋1－n－2.
11．(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋}是等比数列．
【解】 (1)设等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，
解得d＝2或d＝－13(舍去)．
故{bn}的第3项为5，公比为2.
由b3＝b1·22，即5＝b1·22，
解得b1＝.
所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，
则数列{bn}的通项公式bn＝·2n－1＝5·2n－3.
(2)Sn＝＝5·2n－2－，
即Sn＋＝5·2n－2
所以S1＋＝，＝＝2.
因此数列{Sn＋}是以为首项，公比为2的等比数列．
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