概率论与数理统计答案习_题_一[1].pdf

1 习 题 一 1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数.A出现奇数点；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数.A两次点数之和为 10，B 第一次的点数，比第二次的点数大 2；（3）一个口袋中有 5 只外形完全相同的球，编号分别为 1,2,3,4,5；从中同时取出 3 只球，观察其结果，A球的最小号码为 1；（4）将,a b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A甲盒中至少有一球；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A通过汽车不足 5 台，B 通过的汽车不少于 3 台。解 （1）123456,Se e e e e e其中ie 出现i点1,2,6i，135,Ae e e。（2）(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)；(4,6),(5,5),(6,4)A；(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)B。（3）(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)A （4）(,),(,),(,),(,),(,),(,),Sabababa babb a (,),(,),(,)baa bb a，其中表示空盒；(,),(,),(,),(,),(,)Aaba babb aba。（5）0,1,2,0,1,2,3,4,3,4,SAB。2设,A B C是随机试验E的三个事件，试用,A B C表示下列事件：（1）仅A发生；（2）,A B C中至少有两个发生；2 （3）,A B C中不多于两个发生；（4）,A B C中恰有两个发生；（5）,A B C中至多有一个发生。解 （1）ABC （2）ABACBC或ABCABCABCABC；（3）ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；（4）ABCABCABC；（5）ABACBC或ABCABCABCABC；3一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)iA i 表示第i件产品是正品，试用iA表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。解 （1）123A A A；（2）123AAA；（3）123123123A A AA A AA A A；（4）121323A AA AA A。4在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。解 设A任取一电话号码后四个数字全不相同，则 4104126()0.50410250PP A 5一批晶体管共 40 只，其中 3 只是坏的，今从中任取 5 只，求 （1）5 只全是好的的概率；（2）5 只中有两只坏的的概率。解 （1）设A5 只全是好的，则 537540()0.662CP AC；（2）设B 5 只中有两只坏的，则 23337540()0.0354C CP BC.6袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，求 （1）3 个球的最小号码为 5 的概率；（2）3 个球的最大号码为 5 的概率.解 （1）设A最小号码为 5，则 253101()12CP AC；3 （2）设B 最大号码为 5，则 243101()20CP BC.7（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解 （1）设A他们的生日都不相同，则 365()365rrPP A；（2）设B 至少有两个人的生日在同一个月，则 21222321412 1141241212441()1296C C PC CC PCP B；或 412441()1()11296PP BP B .8设一个人的生日在星期几是等可能的，求 6 个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.解 设A生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天，则 2676(22)()0.011077CP A.9将,C C E E I N S等 7 个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率是多少？解1 设A恰好排成 SCIENCE 将 7 个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母C在 7 个位置中占两个位置，共有27C种占法，字母E在余下的 5 个位置中占两个位置，共有25C种占法，字母,I N C剩下的 3 个位置上全排列的方法共 3！种，故基本事件总数为22753!1260CC，而A中的基本事件只有一个，故 227511()3!1260P ACC；解2 七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有1n个，第二种元素有2n个，第k种元素有kn个12()knnnn，将这n个元素排成一排 4 称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为 12!knn nn，对于本题有 141()7!7!12602!2!P A.10从0,1,2,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A 三个数字中不含 0 和 5，2A 三个数字中不含 0 或 5，3A 三个数字中含 0 但不含 5.解 3813107()15CP AC.333998233310101014()15CCCP ACCC，或 182231014()1()115CP AP AC ，2833107()30CP AC.11 将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A每堆各成一双的概率.解 n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共(2)!(2)!2!2!2!(2!)nnn每堆各成一双共有!n种情况，故 2!()(2)!nnP An 12设事件A与B互不相容，()0.4,()0.3P AP B，求()P AB与()P AB 解 ()1()1()()0.3P ABP ABP AP B 因为,A B不相容，所以AB，于是 ()()0.6P ABP A 13若()()P ABP AB且()P AP，求()P B.解 ()1()1()()()P ABP ABP AP BP AB 5 由()()P ABP AB得 ()1()1P BP Ap 14设事件,A B及AB的概率分别为,p q r，求()P AB及()P AB 解 ()()()()P ABP AP BP ABpqr ()()()()()1()()()P ABP AP BP ABP AP BP AP AB 11qpqrpr .15设()()0.7P AP B，且,A B仅发生一个的概率为 0.5，求,A B都发生的概率。解1 由题意有 0.5()()()P ABABP ABP AB ()()()()P AP ABP BP AB 0.72()P AB，所以 ()0.1P AB.解2 ,A B仅发生一个可表示为ABAB，故 0.5()()()()2(),P ABP ABP AP BP AB 所以 ()0.1P AB.16设()0.7,()0.3,()0.2P AP A BP BA，求()P AB与()P AB.解 0.3()()()0.7()P ABP AP ABP AB，所以 ()0.4P AB，故 ()0.6P AB；0.2()()()0.4P BP ABP B.所以 ()0.6P B ()1()1()()()0.1P ABP ABP AP BP AB 17设ABC，试证明()()()1P AP BP C 证 因为ABC，所以()()()()()()()1P CP ABP AP BP ABP AP B 故 6 ()()()1P AP BP C.证毕.18对任意三事件,A B C，试证()()()()P ABP ACP BCP A.证 ()()()()()()P ABP ACP BCP ABP ACP ABC ()P ABAC()()P A BCP A.证毕.19设,A B C是三个事件，且1()()(),()()04P AP BP CP ABP BC，1()8P AC，求,A B C至少有一个发生的概率。解 ()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 因为 0()()0P ABCP AB，所以()0P ABC，于是 315()488P ABC 20随机地向半圆202yaxx（a为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于/4的概率.解：半圆域如图 设A原点与该点连线与x轴夹角小于/4 由几何概率的定义 2221142()12aaAP Aa的面积半园的面积112 21把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.解1 设A三段可构成三角形，又三段的长分别为,x y axy，则0,0,0 xayaxya，不等式构成平面域S.A发生0,0,222aaaxyxya 不等式确定S的子域A，所以 1()4AP A 的面积S的面积 解2 设三段长分别为,x y z，则0,0,0 xayaza且 xyza，不等式确定了三维空间上的有界平面域S.0y a/4 x S 0 a/2 a/2 a a A 7 A发生xyz xzy yzx 不等式确定S的子域A，所以 1()4AP A 的面积S的面积.22随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求x与y之和不超过 1，积不小于 0.09 的概率.解 01,01xy，不等式确定平面域S.A1,0.09xyxy则A发生的 充要条件为01,10.09xyxy不 等式确定了S的子域A，故 0.90.10.9()(1)AP Axdxx的面积S的面积 0.40.18ln30.2 23（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离(0)a a 的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长()l la的针，求针与任一平行线相交的概率.解 设A针与某平行线相交，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。为针与平行线的夹角，则 0,02ax，不等式确定了平面上 的一个区域S.A发生sin2Lx，不等式确定S的子域A 故 012()sin22LLP Adaa aax z y A 2a x0A S sin2lx 1y 10.9 0.1 0A S y 8 习 题 二 1假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设iA 任取一件是i等品 1,2,3i，所求概率为 13133()(|)()P A AP AAP A，因为 312AAA 所以 312()()()0.60.30.9P AP AP A 131()()0.6P A AP A 故 1362(|)93P AA.2设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A所取两件中有一件是不合格品 iB 所取两件中恰有i件不合格 1,2.i 则 12ABB 11246412221010()()()C CCP AP BP BCC，所求概率为 2242112464()1(|)()5P BCP BAP AC CC.3袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A发现是同一颜色，B 全是白色，C 全是黑色，则 ABC，所求概率为 336113333611511/()()2(|)()()/3CCP ACP CP C AP AP BCCCCC 9 4从 52 张朴克牌中任意抽取 5 张，求在至少有 3 张黑桃的条件下，5 张都是黑桃的概率.解 设A至少有 3 张黑桃，iB 5 张中恰有i张黑桃，3,4,5i，则 345ABBB，所求概率为 555345()()(|)()()P ABP BP BAP AP BBB51332415133913391391686CC CC CC.5设()0.5,()0.6,(|)0.8P AP BP B A求()P AB与()P BA.解 ()()()()1.1()(|)1.10.40.7P ABP AP BP ABP A P B A ()()()0.60.40.2P BAP BP AB.6甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2 球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。解 设A从乙袋中取出的是白球，iB 从甲袋中取出的两球恰有i个白球0,1,2i.由全概公式 001122()()(|)()(|)()(|)P AP B P A BP B P A BP B P A B 11223232222555416131021025C CCCCCC.7一个盒子中装有 15 个乒乓球，其中 9 个新球，在第一次比赛时任意抽取3 只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取 3 只球，求第二次取出的 3 个球均为新球的概率。解 设A第二次取出的均为新球，iB 第一次取出的 3 个球恰有i个新球0,1,2,3.i 由全概公式 00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P AP BP A BP BP A BP BP A BP BP A B 33123213336996896796333333331515151515151515CCC CCC CCCCCCCCCCCC 5280.0895915.8电报发射台发出 和的比例为 5:3，由于干扰，传送（）时失真的概率为 2/5，传送时失真的概率为 1/3，求接受台收到 时发出信号恰是 的概率。10 解 设A收到 ，B 发出 ，由贝叶斯公式 5 3()(|)38 5(|)5 33 1()(|)()(|)48 58 3P B P A BP B AP B P A BP B P A B.9在第 6 题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率.解 事件如第 6 题所设，所求概率为 1123251111/()(|)152(|)13()2625C CCP B P A BP BAP A 10已知一批产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是 0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。解 设A任取一产品，经检查是合格品，B 任取一产品确是合格品，则 ABABA ()()(|)()(|)P AP B P A BP B P A B 0.96 0.98 0.04 0.050.9428，所求概率为()(|)0.96 0.98(|)0.998()0.9428P B P A BP B AP A.11假设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件其中 18 件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率.解 设iA 第i次取出的零件是一等品，1,2i.iB 取到第i箱，1,2i.则 （1）1111212()()(|)()(|)P AP B P ABP B P AB1 132()2 555.11 （2）121211222111()()(|)()()P A AP A A BA A BP AAP AP A 112121221()(|)()(|)()P B P A ABP B P A ABP A 2210182250301295140.4856249295CCCC.12玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率.解 设A顾客买下该箱，B 箱中恰有i件残次品，0,1,2i，（1）001122()()(|)()(|)()(|)P AP B P A BP B P A BP B P A B 4419184420200.80.10.10.94CCCC；（2）00()0.8(|)0.85()0.94P ABP BAP A.13设有来自三个地区的各 10 名，15 名和 25 名考生的报名表，其中女生报名表分别为 3 份、7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份 （1）求先取到的一份为女生表的概率p；（2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.解 设A先取到的是女生表，B 后取到的是男生表，iC 取到第i个地区的表，1,2,3.i （1）112233()(|)()(|)()(|)pP C P A CP C P A CP C P A C 1375293 10152590；（2）因为先取出的是女生表的概率为2990，所以先取出的是男生表的概率为 12 6190，按抓阄问题的道理，后取的是男生表的概率61()90P B.于是 （2）123()()(|)()()P ABCABCABCP ABqP A BP BP B 1231(|)(|)(|)3()P AB CP AB CP AB CP B 13778520203 10 915 1425 24616190.14一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？解 设A任取一枚硬币掷r次得r个国徽，B 任取一枚硬币是正品，则 ABABA，所求概率为 ()(|)(|)()(|)()(|)P B P A BP B AP B P A BP B P A B 12212rrrmmmnmnmnmnmn.15甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.解 设A目标被击中，iB 第i个人击中 1,2,i 所求概率为 11111212()()()(|)()()1()P B AP BP BP BAP AP BBP B B 0.60.751 0.4 0.5.13 16三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是1 1 1,5 3 4，求他们将此密码译出的概率.解1 设A将密码译出，iB 第i个人译出 1,2,3.i 则 1231231213()()()()()()()P AP BBBP BP BP BP B BP B B 23123111111111()()534535434P B BP B B B 11130.65345.解2 事件如上所设，则 1234233()1()1()10.65345P AP AP B B B .17甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 0.4，0.5，0.7。设飞机中一弹而被击落的概率为 0.2，中两弹而被击落的概率为 0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率.解 设A飞机被击落，iB 飞机中i弹 1,2,3i.则 112233()()(|)()(|)()(|)P AP B P A BP B P A BP B P A B 1230.2()0.6()()P BP BP B 设 iC 第i个人命中，1,2,3i，则 1123123123()()()()P BP C C CP C C CP C C C 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.70.6 0.5 0.30.36，212323123()()()()P BP C C CP CC CP C C C 0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.70.6 0.5 0.70.41，3123()()0.4 0.5 0.70.14P BP C C C，所以 ()0.2 0.360.6 0.41 0.140.458P A.18某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率.解1 设A该生能借到此书，iB 从第i馆借到1,2,3.i 则 14 123()()()P BP BP BP(第i馆有此书且能借到)1 112 24，121323111()()(),4416P B BP B BP B B 1231 1 11()4 4 464P B B B.于是 1231231213()()()()()()()P AP BBBP BP BP BP B BP B B 2312333137()()4166464P B BP B B B.解2 312333 7()1()1()146 4P AP AP B B B .解3 事件如解 1 所设，则 112123ABB BB B B，故 112123()()()()P AP BP B BP B B B 1313313744444464.19设()0,()0P AP B，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立.证 若A、B互不相容，则AB，于是()0()()0P ABP A P B所以A、B不相互独立.若A、B相互独立，则()()()0P ABP A P B，于是AB，即A、B不是互不相容的.注：从上面的证明可得到如下结论：1）若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的()0P A或()0P B.2）因ABABA，所以()()()P AP BAP BA 如果 ()1P B，则()0P BA，从而()()()()P ABP AP A P B 可见概率是 1 的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.如果()0P B，则()0()()P ABP A P B，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立。20证明若三事件,A B C相互独立，则AB及AB都与C独立。15 证 ()()()()()PAB CP ACBCP ACP BCp ABC ()()()()()()()P B P CP B P CP A P B P C ()()()()P AP BP AB P C ()()P AB P C 即AB与C独立.()()()()()()()PAB CP ABCP A P B P CP AB P C ()()P AB P C 即 AB与C相互独立.21一个教室里有 4 名一年级男生，6 名一年级女生，6 名二年级男生，若干名二年级女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多少名？解 设还应有N名二年级女生，A任选一名学生为男生，B 任选一名学生为一年级，则 10()16P AN，10()16P BN，1044()16 1016P ABNN，欲性别和年级相互独立，即()()()P ABP A P B，41010161616NNN 所以9N，即教室里的二年级女生应为 9 名。22图中 1，2，3，4，5 表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.解 设ALR是通路，iB 第i个接点闭合 1,2,3,4,5i，则 1245135432AB BB BB B BB B B L 1 4 5 3 2 R 16 124513543223451234()()()()()()()P AP B BP B BP B B BP B B BP B B B BP B B B B 12451235134512345()()()()P B B B BP B B B BP B B B BP B B B B B 123451234512345()()()P B B B B BP B B B B BP B B B B B 23451234512345()()2252.P B B B B BP B B B B Bpppp 23一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率。解 设该射手的命中率为p，由题意 4801(1)81p，41(1)81p，113p 所以 23p.24设一批晶体管的次品率为 0.01，今从这批晶体管中抽取 4 个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率。解 1344(1)(0.01)(0.99)0.0388PC.22244(2)(0.01)(0.99)0.000588PC.25考试时有四道选择题，每题附有 4 个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意地选择每题的答案，求他至少答对三道题的概率。解 答对每道题的概率为14，所求概率为 34344413113(3)(4)444256PPC.26设在伯努里试验中，成功的概率为p，求第n次试验时得到第r次成功的概率.解 设A第n次试验时得到第r次成功，则 A前1n次试验，成功1r 次，第n次试验出现成功，所以 ()P AP（前1n次试验，成功1r 次）P（第n次试验成功）11111(1)(1)rrn rrrn rnnCpppCpp.27设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂，以概率 0.3 需进一步调试，经调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品，不能出厂。现该厂生产了(2)n n台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立）。求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有 17 两台不能出厂的概率。解 设A任取一台可以出厂，B 可直接出厂，C 需进一步调试。则 ABA CA，()()(|)()(|)0.70.3 0.80.94P AP B P A BP C P A Cp 将n台仪器看作n重伯努里试验，成功的概率为p，于是 （1）(0.94)n，（2）222(0.06)(0.94)nnC，（3）11(0.94)(0.06)(0.94)nnn 。28设昆虫产k个卵的概率为!kkpek，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为p，若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有L条的概率是多少？解 设A下一代有L条，KB 产k个卵,1,kL L 则 ()()(|)(1)!kLLk Lkkkk Lk LP AP B P A Be C ppk ()(1)(1)!()!()!kLLk Lk Lk Lk LeppppeL kLkkL (1)()()!LLppppe eeLL.29一台仪器中装有 2000 个同样的元件，每个元件损坏的概率为 0.0005，如果任一元件损坏，则仪器停止工作，求仪器停止工作的概率.解 考察一个元件，可视为一次贝努里试验，2000 个元件为 2000 重贝努里试验。1np，利用泊松逼近定理，所求概率为 2000200012000111()0.63216!kkppkek.30某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有n根火柴，求这时另一盒中还有r根的概率。18 解 设A发现一盒已经用完另一盒还有r根。B 发现甲盒已经用完乙盒还有r根。则 ()2()P AP B B发生甲盒拿了1n次，乙盒拿了nr次，共进行了21nr 次试验，而且前2nr次试验，甲发生n次，第21nr 次试验甲发生。故 2211()22n rnn rP BC 从而 221()2()2n rnn rP AP BC.