第讲-功和功率.doc

第五章　机械能　　　　　　　　　　　
高考目标
复习指导
功和功率Ⅱ
1.考情分析：高考对本章知识点考查频率最高的是动能定理、机械能守恒定律．有单独考查，多以与其他知识综合考查，有选择题，也有计算题．
2.高考热点：
(1)功和功率的理解与计算．
(2)动能定理、机械能守恒定律常结合牛顿运动定律、平抛运动、圆周运动以及电磁学知识进行考查．
(3)动能定理及能量守恒定律与生产、生活、科技相结合进行综合考查.
动能和动能定理Ⅱ
重力做功与重力势能 Ⅱ
功能关系、机械能守恒定律及其应用Ⅱ
实验五：探究动能定理
实验六：验证机械能守恒定律

第1讲　功和功率

一、功
1．做功的两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上发生的位移．
2．功的大小
(1)公式：W＝Flcos α(α为力和位移的夹角)
(2)功的正负
夹角
功的正负
物理意义
0≤α<90°
W>0
力对物体做正功
90°<α≤180°
W<0
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝90°
W＝0
力对物体不做功
功是标量，正功表示对物体做功的力是动力；负功表示对物体做功的力是阻力，功的正负不表示功的大小．
二、功率
1．定义：功与完成功所用时间的比值．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝Fvcos α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率；
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率和实际功率
名称
意义
二者联系
额定功率
动力机械长时间正常工作时的最大输出功率
实际功率可以小于或等于额定功率，实际功率长时间大于额定功率时会损坏机械
实际功率
动力机械实际工作时的输出功率

1．关于功率公式P＝和P＝Fv的说法正确的是(　　)
A．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
B．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率
C．从P＝Fv知汽车的功率与它的速度成正比
D．从P＝Fv知当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
解析：P＝是对应一段时间内的功率，是平均功率，在P＝F·v中，若v为平均速度，则P为平均功率．若v为瞬时速度，则P为瞬时功率．当P一定时，F与v成反比．
答案：D
2．如图所示，人站在电动扶梯的水平台阶上，假定人与扶梯一起沿斜面匀加速上升，在这个过程中人脚所受的静摩擦力(　　)
A．等于零，对人不做功
B．水平向左，对人不做功
C．水平向右，对人做正功
D．沿斜面向上，对人做正功
解析：人受水平向右的静摩擦力，该力与人的水平位移方向相同，故该力对人做正功．
答案：C
3．如图所示，力F大小相等，物体沿水平面运动的位移x也相同，则F做功最小的是(　　)

答案：D
4．物体受到两个互相垂直的作用力F1、F2而运动，已知力F1做功6 J，物体克服力F2做功8 J，则力F1、F2的合力对物体做功(　　)
A．14 J　　　　　B．10 J
C．2 J D．－2 J
解析：合力对物体所做的功等于各个力做功的代数和．F1对物体做功6 J，物体克服F2做功8 J即F2对物体做功为－8 J，因而F1、F2的合力对物体做功为6 J－8 J＝－2 J，因而选项D正确．
答案：D
5．自由下落的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内重力的平均功率之比为(　　)
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．1∶3∶5 D．1∶4∶9
解析：做自由落体运动的物体，第1 s末、2 s末、3 s末的速度分别为v1＝gt1＝g，v2＝gt2＝2g，v3＝gt3＝3g，则第1 s、2 s、3 s内重力的平均功率分别为1＝mg＝mg2，2＝mg＝mg2，3＝mg＝mg2，所以P1∶P2∶P3＝1∶3∶5，故C选项正确．
答案：C

如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面水平向左匀速移动距离l.
(1)摩擦力对物体做的功为(物体与斜面相对静止)(　　)
A．0　　　　　　　B．μmglcos θ
C．－mglsin θcos θ D．mglsin θcos θ
(2)斜面对物体的弹力做的功为(　　)
A．0 B．mglsin θcos2 θ
C．－mglcos2 θ D．mglsin θcos θ
(3)重力对物体做的功为(　　)
A．0 B．mgl
C．mgltan θ D．mglcos θ
(4)斜面对物体做的功是多少？各力对物体所做的总功是多少？
解析：对物体进行受力分析如图所示，物体m受到重力mg、摩擦力Ff和支持力FN的作用，物体有沿斜面下滑的趋势，Ff为静摩擦力，位移l的方向与速度v的方向相同．据物体的平衡条件有Ff＝mgsin θ，FN＝mgcos θ.由功的计算公式W＝Flcos α有：
(1)摩擦力Ff对物体做功
Wf＝Fflcos(180°－θ)＝－mglsinθcos θ，故C对．
(2)弹力FN对物体做功
WN＝FNlcos(90°－θ)＝mglsin θcos θ，故D对．
(3)重力G做功WG＝mglcos 90°＝0，故A对．
(4)斜面对物体的作用力即FN和Ff的合力，方向竖直向上，大小等于mg(物体处于平衡状态)，则W斜＝F合·lcos 90°＝mglcos 90°＝0.各力对物体所做的总功是求各力做功的代数和，即W总＝Wf＋WN＋WG＝0.
答案：(1)C　(2)D　(3)A　(4)0　0
1.功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断．
(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断．当0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功．
(3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．
2．恒力做功的计算方法

1－1：一根木棒沿水平桌面从A运动到B，如图所示，若棒与桌面间的摩擦力大小为Ff，则棒对桌面的摩擦力和桌面对棒的摩擦力做功各为(　　)
A．－Ffx，－Ffx B．Ffx，－Ffx
C．0，－Ffx D．－Ffx,0
解析：做功的两个必要条件是：力和在力的方向上的位移，也就是说，只有力或只有位移，是不符合做功条件的，故A、B错误；若物体发生位移的同时也受力的作用，当力与位移垂直时，此力并不做功，故C对、D错．
答案：C

(2011·海南卷)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时起，第1秒内受到2 N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1 N的外力作用．下列判断正确的是(　　)
A．0～2 s内外力的平均功率是 W
B．第2秒内外力所做的功是 J
C．第2秒末外力的瞬时功率最大
D．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是
解析：根据牛顿第二定律得，物体在第1 s内的加速度a1＝＝2 m/s2，在第2 s内的加速度a2＝＝ m/s2＝1 m/s2；第1 s末的速度v1＝a1t＝2 m/s，第2 s末的速度v2＝v1＋a2t＝3 m/s；0～2 s内外力做的功W＝mv＝ J，功率P＝＝ W，故A正确．第2 s内外力所做的功W2＝mv－mv＝(×1×32－×1×22)J＝J，故B错误．第1 s末的瞬时功率P1＝F1v1＝4 W．第2 s末的瞬时功率P2＝F2v2＝3 W，故C错误．第1 s内动能的增加量ΔEk1＝mv＝2 J，第2 s内动能的增加量ΔEk2＝W2＝ J，所以＝，故D正确．
答案：AD
计算功率的基本思路
1．首先判断待求的功率是瞬时功率还是平均功率．
2．(1)平均功率的计算方法
①利用＝；②利用＝F··cos α.
(2)瞬时功率的计算方法
P＝F·v·cos α，v是t时刻的瞬时速度．
2－1：如图所示，将质量为m的小球以初速度v0从A点水平抛出，正好垂直于斜面落在斜面上B点．已知斜面的倾角为α.
(1)小球落到斜面上B点时重力做功的瞬时功率是多少？
(2)小球从A到B过程中重力做功的平均功率是多少？
解析：(1)将小球落在斜面上时的速度进行正交分解，如图所示．
小球在竖直方向上的分速度为vy＝v0cot α，
所以，小球落到斜面上B点时重力做功的瞬时功率为
P＝mgvy＝mgv0cot α.
(2)小球从A到B过程中重力做功的平均功率为
＝mgy＝mg×(0＋vy)＝mgv0cot α.
答案：(1)mgv0cot α　(2)mgv0cot α

机车的两种启动方式

额定功率是80 kW的无轨电车，其最大速度是72 km/h，质量是2 t，如果它从静止先以2 m/s2的加速度匀加速开出，阻力大小一定，则(　　)
(1)电车匀加速运动行驶能维持多少时间？
(2)又知电车从静止驶出到增至最大速度共经历了21 s，在此过程中，电车通过的位移是多少？
解析： Ff＝
代入数据解得Ff＝4×103 N
由牛顿第二定律有F－Ff＝ma
解得F牵＝8×103 N
匀加速末速度vt＝＝10 m/s
匀加速持续时间t1＝＝5 s
匀加速过程的位移x1＝at＝25 m
从车速vt加速到vm由动能定理有
P0(t－t1)－Ffx2＝mvm2－mv
解得x2＝245 m
总位移x＝x1＋x2＝270 m.
答案：(1)5 s　(2)270 m
三个重要关系式
(1)无论哪种运行过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力Ff)．
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝.
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理：Pt－Ffx＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小．
3－1：修建高层建筑时常用到塔式起重机．在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速运动．取g＝10 m/s2，不计额外功．求：
(1)起重机允许输出的最大功率．
(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率．
解析：(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力
P0＝F0vm ①
F0＝mg ②
代入数据：有：P0＝5.1×104 W．③
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：P0＝Fv1 ④
F－mg＝ma ⑤
v1＝at1 ⑥
由③④⑤⑥，代入数据，得：t1＝5 s⑦
t＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则v2＝at⑧
P＝Fv2 ⑨
由⑤⑧⑨，代入数据，得P＝2.04×104 W.
答案： (1)5.1×104 W　
(2)5 s 2.04×104 W

1．恒力及合力做功的计算
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．公式中的F是恒力，l是指力的作用点的位移，α指力的方向和位移方向的夹角．如典例1(1)
(2)合外力做的功
①先求合外力F合，再应用公式W合＝F合lcos α求功，其中α为合力F合与位移l的夹角．一般适用于整个过程中合力恒定不变的情况．
②分别求出每个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．这种方法一般适用于在整个过程中，某些力分阶段作用的情况．
③利用动能定理求解．
2．变力做功的计算
(1)用动能定理W＝ΔEk或功能关系．
(2)当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车恒功率启动时．
(3)将变力做功转化为恒力做功
①当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力做的功等于力和路程(不是位移)的乘积．如滑动摩擦力做功等．如典例1(2)．
②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值F＝，再由W＝Flcos α计算，如弹簧弹力做功．如典例2.
(4)作出变力F随位移l变化的图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功．
如图所示，质量m＝1.0 kg的物体从半径R＝5 m的圆弧的A端，在拉力F作用下从静止沿圆弧运动到顶点B.圆弧AB在竖直平面内，拉力F的大小为15 N，方向始终与物体的运动方向一致．若物体到达B点时的速度v＝5 m/s，圆弧AB所对应的圆心角θ＝60°，BO边在竖直方向上，取g＝10 m/s2.在这一过程中，求：
(1)重力mg做的功．
(2)拉力F做的功．
(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．
(4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功．
名师点拨： (1)计算恒力的功可由公式W＝Flcos α直接进行计算．
(2)计算大小不变、方向变化的力的功，可用力与路程的乘积进行计算．
(3)动能定理既可求恒力的功，也可求变力的功，既适用于直线运动，又适用于曲线运动．
解析： (1)重力mg做的功
WG＝－mgR(1－cos θ)＝－25 J.
(2)因拉力F大小不变，方向始终与物体的运动方向相同，所以WF＝Fx＝F×R≈78.5 J.
(3)支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WN＝0.
(4)由动能定理知
WF＋WG＋Wf＝mv2－0
得摩擦力Ff做的功
Wf＝mv2－WF－WG
＝×1.0×52J－78.5 J－(－25)J
＝－41 J.
答案：　(1)－25 J　(2)78.5 J　
(3)0　 (4)－41 J
计算功应首先明确力是恒力还是变力，若是变力，大小、方向有何特点，然后再根据力的特点选择功的计算方法．
用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是(　　)
A．(－1)d B．(－1)d
C. D.d
解析：在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可先求出平均力、再用功的计算公式求解．设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度d的关系满足F＝kd，由题意得，
第一次做功W＝1d＝d，
第二次做功W＝2d′
＝d′，
联立以上两式得d′＝－(＋1)d(舍)
或d′＝(－1)d.
答案：B
方向不变、大小随位移线性变化的力，求力的平均值时要对应位移，其大小为这段位移内力的最小值与最大值之和的一半.

1．下面关于功率的说法中正确的是(　　)
A．由P＝W/t可知机器做功越多，其功率越大
B．由P＝Fvcos α可知只要F、v均不为零，F的功率就不为零
C．额定功率是在正常条件下可以长时间工作的最大功率
D．汽车行驶时牵引力越大，功率就越大
解析：由P＝W/t可知，机器做功的快慢(功率的大小)由功W和时间t两者共同决定，故选项A错误；由P＝Fvcos α可知，尽管F、v均不为零，但只要α＝90°，一定有P等于零，故选项B错误；额定功率是在正常条件下可以长时间工作的最大功率，选项C正确；由P＝Fv可知，牵引力的功率P由牵引力F和汽车的行驶速度v共同决定，故选项D错误．
答案：C
2．如图所示，一辆玩具小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳挂在小车上，由图中位置无初速度释放，则小球在下摆的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．绳的拉力对小球不做功
B．绳的拉力对小球做正功
C．小球的合力不做功
D．绳的拉力对小球做负功
解析：在小球向下摆动的过程中，小车的动能增加，即小车的机械能增加，由于小球和小车组成的系统机械能守恒，所以小球的机械能一定减少，故绳的拉力对小球做负功．A、B、C错误，D正确．
答案：D
3．(2012·上海单科)位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2功率相同．则可能有(　　)

A．F2＝F1　v1＞v2　　　　　
B．F2＝F1　v1＜v2
C．F2＞F1　v1＞v2
D．F2＜F1　v1＜v2
解析：设F2与水平方向成θ角，由题意可知：F1v1＝F2·v2·cos θ，因cos θ＜1，故F1v1＜F2v2.当F2＝F1时，一定有v1＜v2，故选项A错误、B正确．当F2＞F1时，有v1＞v2、v1＜v2、v1＝v2三种可能，故选项C错误．当F2＜F1时，一定有v1＜v2，故D选项正确．
答案：BD
4．出租车是一种方便快捷的交通工具，深受人们的欢迎．在平直公路上，一辆质量为m＝1.5 t的出租车由静止开始做匀加速运动，当速度达到v＝2 m/s时发现有一乘客招手，于是立即关闭发动机直到停止，其v－t图象如图所示．设出租车所受阻力Ff大小不变，在加速和减速过程中汽车克服阻力做功分别为W1和W2，出租车牵引力做功为W，则(　　)
A．W＝W1＋W2
B．W1＝W2
C．在第1 s内出租车所受合外力对出租车做功为W合＝3×103 J
D．出租车的额定功率一定为P＝8×103 W
解析：对全程由动能定理得W－W1－W2＝0，A正确；从图象可得位移x1<x2，而摩擦阻力Ff恒定不变，由功的概念可知W1<W2，B错；由动能定理得第1 s内出租车所受合外力对其做功为W合＝mv2＝3×103 J，C正确；不能求出其额定功率，D错．
答案：AC
5．一列火车总质量m＝500 t，机车发动机的额定功率P＝6×105 W，在水平轨道上行驶时，轨道对列车的阻力Ff是车重的0.01倍，g＝10 m/s2，求：
(1)列车在水平轨道上行驶的最大速度；
(2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1＝1 m/s时，列车的瞬时加速度a1；
(3)在水平轨道上以36 km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；
(4)若火车从静止开始，保持a＝0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间．
解析：(1)列车以额定功率工作，当牵引力等于阻力，即F＝Ff＝kmg时列车的加速度为零，速度达最大，则vm＝＝＝12 m/s.
(2)当v1＝1 m/s<vm时，列车加速运动，F1＝＝6×105 N
由牛顿第二定律知a1＝＝1.1 m/s2.
(3)当v＝36 km/h＝10 m/s时，列车匀速运动，则发动机的实际功率为P′＝Ffv＝5×105W.
(4)据牛顿第二定律得牵引力F′＝Ff＋ma＝3×105N，在此过程中，速度增大，发动机功率增大，当功率为额定功率时速度大小为v′＝＝2 m/s
又因v′＝at，所以t＝＝4 s.
答案：　(1)12 m/s　(2)1.1 m/s2　(3)5×105W　(4)4 s知能训练·强化闯关
三