灵活运用图形巧解立体几何问题.pdf

C H E N G G O N G B A O D IA N 嘲田 灵活运用国形I 翩立傩几何问题 黄汉桥蔡青 立体几何的学习离不开 图形，图形是一种语 言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关 系，培养空间想象能力 所 以在立体几何的学习 中，我们要树立 图形观，通过作 图、读 图、用图、造 图、拼图、变图来培养我们的思维能力 一、作 图 作图是立体几何学习中的基本功，对培养空 间概念也有积极的意义，而且在作 图时还要用到 许多空间线面的关系 所以作 图是解决立体几何 问题的第一步，作好图有利于问题的解决 豳 已 知 正 方 体A B C D A l B 1 C 1 D l 中，点 P、E、F分别是棱 A B、B C、D C，的中点(如下图)作出过点 P、E、F三点的正方体的截面 C C【解析】作 图是学生学习中的一个弱点，作 多面体的截面又是作图中的难点 学生看到这样 的题目不知所云 有的学生以为连结 P、E、F得到 的三角形以为就是所求的截面 其实，作截面就是 找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两 点即可 观察所给的条件(如下图)，发现 P E就是 一条 交 线又 因 为 平 面 A B C D 平 行 于 平 面 A。B，C，D，由面面平 行 的性 质可 得，截 面和 面 A B 1 c。Dl 的交线一定和 P E平行 而 F是 D C 的 中点，故取 A D 的中点 q，则 F q也是一条交线 再延长 F Q和 B，A 的延长线交 于一 点，由公理 3 知，点 M 在 平 面A B B A。和 平 面A B。C。D 的 交 线 德数 外 学 司 离 考 数 拳 c。s=c。s L A C D=i：；_ ：=2()一()，_=_一=一 ，故选 c 2(孚)五、拼 图 空间基本图形由点、线、面构成，而一些特殊的 图形也可以通过基本图形拼接得到 在拼图的过程 中，我们会发现一些变和不变的东西，从中感悟出 这个图形的特点，找出解决待求解问题的方法 隔给 出 任 意 的 一 块 三 角 形 纸 片，要 求 剪 拼成一个直三棱柱模 型，使它的全面 积与给出的三角形的面积相等，请设 计一种方案，并加以简要的说明【解析】这是 2 0 0 2 年高考立体 几何题中的一部分 这个设计新颖的 题目，使许多平时做惯了证明、计算题 的学生一筹莫展 这是一道动作题，但 它不仅是简单 的剪剪拼拼 的动作，更 重要的是一种心灵的“动作”，思维的“动作”受题 目叙述的影 响，大家往 往在想如何折起来 参考答案也是给 了一种折的方法 那么这种方法究竟 从何而来?其实逆向思维是这题 的一 个很好的切人点 我们思考：展开一个 C H E N G G O N G B A O D IA N圈田 直三棱柱，如何还原成一个三角形?田 乙 丙 把个直三棱柱展开后可得到甲、乙两部分，甲 内部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是宽相等 的三个矩形_ 现在的问题是能否把乙分为三部分，补 在甲的三个角上正好成为一个三角形(如图丙)因 为甲中三角形外是宽相等的矩形，所以三角形的顶点 应该在原三角形的三条角平分线上，又由于面积要相 等，所以甲中的三角形的顶点应该在原三角形的内心 和顶点的连线段的中点上(如图丁)按这样的设计，剪开后可以折成一 卜 直三棱柱 六、变图 几何图形千变万化，在不断的变化 中展示几 何图形的魅力，在不断的变化中培养我们的能力，在有意无意的变化中开阔我们的思路 豳已 知 在 三 棱 锥P-A B C 中，P A=n，A B =A C=2 a，LP A B=LP A C=LB A C：6 0。，求三棱 锥 P-A B C的体积【分析】此题的解决方法很 多，但“切割法”是个 不错 的选择 蕊 数 外 司 离 考 数 F列 绪 论 是 众 所 周 知 的：=了 1 n(n+1)=古 n(n+1)(2 n+1)=n(n+1)只要细心观察一下这三个等式，便不难发现 一个很有意思的现象：前n 个自 然 数的 一 次 幂 和 i=1 n(n+1)=1 n 2 1 n是关于 n的二 次多 项式 前，1 个自 然 数的 二 次 幂 和 i=1(n+1)(2 n+1)=1 3 1 n 2+吉 n 是 关于 n的三次多项式 前n 个自 然数的 三次幂和 i=【n(n+t)】=n 4+n 3+n 是 关 于 n的四次多项式 这个现象很 自然地启发我们去做这样的猜 想：前 n个 自然数 的 k次幂和应是 关于 n的 k+1 次 多项式 这个“猜想”是否正确?回答是肯定的，下面 我们用数学归纳法给出证明【证明】(数学归纳法)1 当 n=1，2，3时，结论显然成立 2 假设结论对于 一 2时皆成立，我们来推 证当k=一1 时，结论亦成立 根据二项式定理有：(+1)一 =c +c：一 +c：【解法一】设 D为 A B的中点，依题意有：A PP D，B C上平 面 P A D，=2 一 P D=，争 加 肋=争又 告x P A P D 肋：等口 【点评】此解法实际上是把三棱锥 P-A B C 一分为二，三棱锥 B P A D的底面是直角三 角形，高 就是 B D，从 而大大简化 了计算 这种分割的方法 也是立体几何解题 中的一种重要策略 它化复杂 为简单，化未知为已知 5 0 t 语 数 外 学 习 (高 中 黻 l 2 o o 9 年 1 2 月 号 中 旬 刊 C B【解法二】从点 出发的三条棱两两夹角为 诗数 外学 司 高 考 数 学 分别令=1，2，3，n，代入上式得 2 一1 =+3 一2 =2 +c：2 +2 +2。+2。4 一3 =c 1 3 一 +3 一 +3 一 +3 +3。5 一4 =c 1 4 。+4 +c 3 4 +4 +4。(1 it,+1)一 n ：+n +C：n“+r ,+将上述 7,个等式相加得(J l+1)一1=(1 +2 +7,)+(1 卜 +2 +，l )+-1(1+2+3+，1)+c：n =+i 。+n I +c i。+n=。i=1 J l I 1 1 I 于 是 =吉 n+1)一 一-=(n+)一 (骞 高 c，+)注意到=+由 归纳假设：i ，i，i，分 别 是，l 的k 一 1，k-2，k-3，1 次 多 项 式，C H E N G G O N G B A O D IA N 它们的代数和仍是 n的多项式，其次数不超过 k n I 1，即 一 是关 于n 的k 一 1 次 多 项 式，而 1 1 J z(n+1)是关于，l 的k 次多项式，因此(n+1)k 一 一1 只能是关于n的 次多项式 综上所述，即证得如下的命题 命 题：前n 个正 整 数 的k 次 幂和i k 是关 于，I 的 k+1 次多项式 特 别 地，当n=o 时，i=0，因 而，这 个多 项式的常数项总为0 此命题为我们用“待定系数法”求一类特殊数 列的前 n 项和提供了理论依据 i求 【解析】由命题 1，可令 =n +a 4 n 4+口 3 n +口 2，l+口 l，l i=1 分别令 n=1，2，3，4，5，代入得一线性方程组：f 口 l+l 2 a l+2 口 2+2 3+2 口 4+2 口 5=l 7 3 a I+3 口 2+3 口 3+3 口 4+3 n 5=9 8 l 4 口 l+4 口 2+4 a 3+4 a 4+4 口 5=3 5 4 L 5 口 l+5。口 2+5。+5 口 4+5 口 5=9 7 9 解之 得：，n：=o，n，=，=，=于 是 砉，=+n 4+丁1 n 3 一 1 n=6 o。，故可补形为正四面体 C 如下图，延长 A P至 s，使 P A=P s，连 8 B、S C，于是四面体 S-A B C为边长等于 2 o的正四面体，而 1 且 =。=山 J 从上述六个方面，我们可以看到，在立体几何 的学习中如果我们能正确 了解图形，合理利用图 形，不断变化图形，一定可以使我们的学习更上一 个台阶(作者单位：湖北省囊樊市第一中学)t 语 数 盼 学 习 c；|中 糖 豫 o D 9 年，2 丹 号 中 旬 刊 5 1 谤数 讣学 司 高 考 数 学