收藏 分销(赏)

高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案.pdf

上传人:曲**** 文档编号:6650193 上传时间:2024-12-19 格式:PDF 页数:171 大小:3.50MB
下载 相关 举报
高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案.pdf_第1页
第1页 / 共171页
高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案.pdf_第2页
第2页 / 共171页
高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案.pdf_第3页
第3页 / 共171页
高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案.pdf_第4页
第4页 / 共171页
高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案.pdf_第5页
第5页 / 共171页
点击查看更多>>
资源描述

1、高等数学课后答案习题1-11.设/=(叫5)d(5,+oc),5=10,3),写出/u5/c氏及心(43 的表达式.解 AuB=(8,3)d(5,+8),/c5=10,5),oo,10)(5,+8),A(AB)=-10,-5).2.设N、8是任意两个集合,证明对偶律证明因为x&(An5)cxxA 或 x史Bo xeAc xeBcxeAcjBc,所以(/小8产=屋。屋.3.设映射匕/uY,AzX.证明(1 次AuB)次A)u戒B);证明因为yAjB)存在ye/,使/i(y)=%43)=y 因为儿4)且/是单射,所以64这就证明了尸优4)3.因此/一加)=/.6.求下列函数的自然定义域:(l)-=

2、j3x+2;解由3%+220得xg函数的定义域为1,+孙Q)T;解 由1fwO得用1.函数的定义域为(_叫一1)5-1,l)u(l,+)-T-病己解 由0且l-x20得函数的定义域D=-l,0)50,1.(4f;解 由4-%20得|x|0且得函数的定义域0=(-*0)5。,3).(9)产ln(x+l);解 由x+l0得函数的定义域D=(-l,+00).(10)j=ei.解 由得函数的定义域Z)=(-oo,0)u(0,+00).7.下列各题中,函数)和8(%)是否相同?为什么?(iy(xlg x2,g(x)=21g x;(2)/(x)=%,g(%)=斤;(3)/(%)=Vx4-X3,g(x)=x

3、y/x-l.(4)/(%)=1,g(x)=sec2x-tan2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x0吐g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.-设三3-XO的图形.解 喔Asi吟|=,夕仔)=画吟|=孝,(_?=|sin(一?|=夸,0(-2)=0.9.试证下列函数在指定区间内的单调性:尸土,(-8,1);1 X(2)y=x+n x,(0,+oo).证明(1)对于任意的11,%26(-8,1),有1-修0,1-%20.因为当l1X2 时,-一-2 071 及 1 西 1-X2(I-XJO-XJ 5所以函数片占在区间(-

4、*1)内是单调增加的.JL(2)对于任意的xb 12(0,+8),当X1X2时,有y1-y2-(x1+lnx1)-(x2+lnx2)=(西-x+ln 0,X2所以函数y=x+1n%在区间(0,+8)内是单调增加的.10.设“x)为定义在(-/,/)内的奇函数,若於)在(0,7)内单调增加,证 明)在0)内也单调增加.证明 对于V11,0)且 有一31,-%2(0,/)且一%1一%2.因为为)在。7)内单调增加且为奇函数,所以人-%2)4-%1),如2)的1),加2)*1),这就证明了对于0),有人%1)g(T)=/wga)=F(%),所以F&)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果小)和且(

5、%)都是奇函数,贝IJ尸(T)=/(Tg(T)=4W-8(%)=/(%)的)=尸(%),所以下(%)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.如果本)是偶函数,而g(x)是奇函数,则厂(%)=/(x)g(x)=/(x)g(x)=/x),g(x)=尸(X),所以/(%)为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又 非偶函数?(l)j=x2(l-x2);(2)j=3x2-x3;l+xz(4)尸(xl)(x+l);(5)j=sin x-cos x+1;解 因为人r)=(-x)2l(%)2=%2(1巧月,所以小)是偶函数.(2)由T)=3(-X)2-(

6、T)3=3f+%3可见於)既非奇函数又非偶函数.(3)因为/(-x)=2=X=/(x),所以加)是偶函数.1+(-X)1+X(4)因为 I#%)=(%)(%D(t+1)=%(%+1)(%1)=如),所以心)是奇函 数.(5)由八一xAsinf-%)-cos(-%)+l=-sin%-cosx+l 可见兀r)既非奇函数又 非偶函数.(6)因为心=-)受=红笠=小),所以小)是偶函数.13.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周期:(l)j=cos(x-2);解是周期函数,周期为/=2%(2)j=cos 4%;解是周期函数,周期为/希(3)j=l+sin 7ix;解是周期函数,周期为/=

7、2.(4)y=xcos%;解不是周期函数.(5)y=sin2jc.解是周期函数,周期为上万14.求下列函数的反函数:(1)歹=融百;解 由片际I得所以片附的反函数为y=x3_i.解 由歹4H得x=户,所以歹=口的反函数为歹4H.1+x 1+y 1+x 1+x(3)歹=鬻(以/小0);解 由尸组当得x=所以尸组当的反函数为片也乜cx+d cy-acx-a(4)j=2sin3x;解 由y=2sin 3%得x=garcsi吟,所以y=2sin3x的反函数为歹=garcsi吟.(5)j=l+ln(x+2);解 由=1+111(%+2)得%=一12,所以y=l+ln(x+2)的反函数为y=/T2.(6加

8、枭解 由得x=log2y-,所以的反函数为y=log2y.2x+i i-y 2X+1 1-x15.设函数)在数集X上有定义,试证:函数加)在万上有界的充 分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明 先证必要性.设函数)在x上有界,则存在正数M 使曲:)区M 这就证明了八工)在X上有下界-河和上界M再证充分性.设函数1A%)在X上有下界&和上界坛,即取 3max|Ki|,屁|,贝I-M&KWr)GK24M,即 l/(x)|0);解 由(Kx+aWl得-aScl-a,所以函数兀计。)的定义域为-。,1-a.(4)/(x+a)+f(x-a)(a0).解 由 0%+6/1 且 0 x-al 得:当 0

9、4?!吐 axl-a;当时,无解.因此当0a鸟时函数的定义域为d1-4 当ag时函数无意义.、118.设o 1|x|1的图形.1 伫11 x0解/口(切=l-1 x0e1|x|lk JL XXX19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角 440。(图1-37).当过水断解 AB=DC=.又从!瓦5。+伊。+2的40。.初=50得5。=军-池40。也 所以 sin40 2 h h sm40自变量的取值范围应由不等式组h0,cot40./()h确定,定义域为0SoCot40.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大 量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就

10、降低 1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量的函数;(2)将厂方所获的利润尸表示成订购量%的函数;(3)某一商行订购了 1000台,厂方可获利润多少?解(1)当(KxVlOO 时,夕=90.O.Ol(xo-lOO)=9O-75,得o=16OO.因此当众 1600 时,p=75.当 100%1600 时,%90(%100)x0.01=910.01%.综合上述结果得到90 0 x100p=91-0.Olx 100 x1600 30 x 0 x100(2)P=(p-6O)x=l3Ix-O.Olx2 100 x1600 P=31 x 1000-0.01 x 10002=210

11、00(元).习题1-21.观察一般项如下的数列%的变化趋势,写出它们的极限:当U;解 当-8时,lim=O.%=(-1号;解 当foe时,X=(-1)1-09 lim(-l)w-=0.n ng n(3)x=2+*;解当“foo时,/=2+4-2,lim(2+W)=2.n ms n(4;解当f 00 时,与=1一-0,lim上=L n+1 n+1%=(-1).解当“foo时,=”(-1)没有极限.cos 兀2.设数列招的一般项x=一匚.问limx广?求出N,使当N吐居 77 nfg与其极限之差的绝对值小于正数/当“0.001吐 求出数N.解 limx篦=0.00Ico/1|xw-0|=.0,要使

12、0|,只要上N,有隔一0|匕即心nz n,8 y/s证明 因为V0TN=3,当N时,有*-0|0,mN=;,当N时,有|誓|力,所以lim普 4g 2/7+1 2 8 2n+l 2圆近J;oo Yl分析 要使|正五L=M=-H=以2 0TN=的,当07N吐 有|4三所以 YI1加迎贮=1.8YI(4)limO.999 9=1.分析 要使10.99-91|=衷,只须加N时,有|0.99-9-1|,所以 limO.999 9=1.4.lim=证明1皿/=同.并举例说明:如果数列%|有极限.但数ns co列%未必有极限.证明 因为lim=a,所以VqO,mNeN,当N时,有一水,从而coun-aun

13、-aN时,有山备 从而当N时,YIS M有所以limx“=0.6.对于数列招,若4(上 一左4(左一),证明:招8).证明 因为2左14(左一0),12左一(左0),所以DQO,3b 当 2bl2K1-1 时,有|X21。|;3K2,当2女2K2时,有,2左67|.7V=max21-l922,只要N,就有%1|.因此xn-a(拉-oc).习题1-31.根 据函数极限的定义证明:(l)lim(3x-l)=8;分析因为|(3x-l)-8|=|3x-9|=3|x-3|,所以要使|(3x-D-8|,只须|X-3|+.证明 因为VqO,m旌+,当0|x3|3时,有|(3x-l)-8|,所以 lim(3x

14、-l)=8.%3(2)lim(5x+2)=12;分析因为|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|5所以要使|(5%+2)-12|,只须|x-2|3.证明 因为VQO,msg,当0小-2|3时,有|(5x+2)-12|2(3)limT=-4;J2X+2分析因为I 七-(-4)卜|飞+4 卜x+2|=|x-(-2)1,I x+2 1 1 x+2 1所以要使|之-(-4)|,只须|x-(-2)|.证明 因为VqO,当2)|2 X+2=2分析因为12tl-2 卜”2x-2|=2|x_(-,所以要使|4-2/,只须/I-L 乙 乙证明 因为V0T旌吴 当0小一(_加5时,有l-4x3 2x+

15、l一2,所以瞿需2.根据函数极限的定义证明:妈等4;分析因为I l+x3 1|_|1+工3一%3 I II 2x3 2 2x3 2|x|3所以要使|簧力法只须心X时,有I簧-扑打所以同容丹.is 2x 2(2)lim 率=0.1+8 y/X分析因为所以要使|需-。卜?只须,袒即己证明 因为Vq0Tx=*,当X时,有 塞-。所以1面宰=0.1+y/X3.当x-2时,4.问5等于多少,使当|x2|5时,y-4|0.001?解 由于当x.2时,|x-2-0,故可解x-2|1,即1%3要使|x2-41=|%+21|x-215|x-210.001,只要|x-2|喈匚0.0002.取员0.0002,则当

16、0|x2|3 时,就有4|O寸,Al|0.01?x2+3解 要使|44i|=wo.oi,只要厮,故=厮.1 xz+3 1 x+3 V 0.015.证明函数)=可当x0时极限为零.证明因为|/(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|5所以要使1/(%)-0|,只须因为对VqOT氏多使当0|x-0|小时有f(x)-o=x-o06.求/(x)=M%)=因当x-0时的左、右极限,并说明它们在xO时 X X的极限是否存在.证明因为lim/(x)=lim=lim 1=1,x0 x0一 X x0 lim/(x)=lim=lim 1=1,%-0+x-0+X xf 0+所以极限lim/(x)存在.%-o因

17、为lim(x)=lim=lim 二二一1,x0 x0 X x0 Xlim(x)=lim=lim=1,x。+x。+X x。+Xlim 0(x)w lim(p(x),x0 x。+所以极限lim o(x)不存在.1-o7.证明:若xf+oc及则 lim/(、)=/.xfg证明因为lim/(1)=/,Xf00 xfoo时,函数八工)的极限都存在且都等于alim f(x)-A 9 所以 V0,xf+8mXiO,使当 x-X1 吐有心)-/|0,使当%及时,有/(%)-4|.取上maxXi,及,则当|x|X时,有心)-即蚂/(、)=48.根据极限的定义证明:函数上)当一的时极限存在的充分必要 条件是左极限

18、、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性.设0),则DAO,30,使当0|%-%0|吐有fx-A.因止匕当劭一厌%X0和X0XX0+时都有fx-A0,使当 n0-5%0 时,有|/(%)-/0,使当 0%0+历时,有|1.取应mina,必,贝IJ 当 0|x-x0|时,有劭苗%()及ox%()+&,从而 有&)-/|X时,依)|0,当|MX 时,有a)=1.所以麻:)|二阿-4+/x)-A|+X时其中在1+14 习题1-41.两个无穷小的商是否一定是无穷小?举例说明之.解不一定.例如,当x-0时,的)=2兀仇x)=3x都是无穷小,但啊黑鼻 料不 Xf U JjyXj J yt/XJ是无穷小

19、.2.根据定义证明:(1)歹=当-3时为无穷小;x+3(2)尸xsin:当X.0时为无穷小.证明 当评3时叶|手言卜因为VqO是/当0|%3|3时片与为无穷小.x+3(2)当有0时叶Msin3令-0|.因为VQOC员2 当0|x0|3时,有X|j/|=|x|sin|x-0|0时y=xsvn 为无穷小.x3.根据定义证明:函数尸为当xf0时的无穷大.问x应满足什 x么条件,能使惘1()4?证明分析叫修卜|2+斗-2,要使2M只须92%即 X X X X证明 因为V心0,表=/,使当0|x-0|0 1-x解(1)因为处1=2+而当Xfoc时!是无穷小,所以同至1=2.XX X 18 X因为它=l+

20、x(XWl),而当X-0时X为无穷小,所以lim产=1.7 1-X 7 D 1-X5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:7W-4)-00)一+oo)一00X)X。VqO,三&0,使 当 O|x-xo 时,有恒 flx)-Ao,BX0,使 当|%|X时,有恒麻X)+0000解段)-4)-00火X)f+8於000V 0,30,使当 0 x-x()用寸,有恒 fx)-A.V心0,三苏0,使当 OMVAO,30,使当 O|%-%o|却寸,有恒30,使当 O|%-%o|渊,有恒 晚-乂.XfX+0VqOTW使当0 xx()M寸,m&o,使当0%-工0洲m苏0,使当0%-%0用寸,使当0%-工0洲有恒f

21、lx)-AM有恒1Ax)做有恒0VqO,眸0,使当 0 x()-x0,m&o,使当 0 x()-xM/M0,m苏0,使当 Oct。一%做FM0,30,使当 0 x()-x0,3X0,使当网X时,有恒 fx-Ao,3X0,使当|%|X时,有恒|MVqO,BX0,使当IMX时,有恒Vf0,3X0,使当|%|X吐 有恒 向o,BX0,使当了X时,有恒flx)-A0,BX0,使当了X时,有恒Wx)|MVo,BX0,使当xX时,有恒1A%)加VqO,BX0,使当了x时,有恒X00Vo,3X0.使当x-X时,有恒 fx-Ao,3X0,使当0,使当o,3X0,使当x-X时,有恒的M 例如y(2kyr+y)-

22、(2+y)cos(2k/r+y)=0(A?=0,1,2,),对任何大的N,当左充分大时,总有x=20+分N,但似%)|=0m例如当(0,1,2,-)2左乃2吐有y(xQ=2左十年,当上充分大时,当x-0+时,函数尸不是无穷大.这是因为 X XV止0,对所有的&0,总可以找到这样的点/,使0asa但、(/)加例如可取(0,1,2,),2k兀当 k 充分大时,XK&但 y(Xk)=2k7ism2k70 x-2%-3 5解1穴=头=9.xi2 x3 23,鸣号解x辱需寻=.*尹;解四含=:罂吊而=吧后4出(4 则解勤当前-lim4x2-2x+1 1x-o 3x+2:2现叫三解 iimG+32_C=i

23、im+2+2_x2=2x+)=2x.hr。h 力o h 6.0(6)lim(2-+-);Xf8 X X解 lim(2-+r-)=2-lim+limr-=2.xfg X X2 XT8 X XfB x1(7)lim;xtb 2x2-x-11_L解 lim;=lim 产土%一0021 一x1%8 G 1乙-_1 r-2X X.2(8)lim 产+;Xis x4-3x2-1解lim=O(分子次数低于分母次数,极限为零).X-8x-3x2-l 或x+xlim 户;二 lim V x:二0.Xf 8x4-3x2-l 8 2 11 2-TX X解甄芸善蚂洋则告韦=1(10)lim(1+)(2-y);Xf8

24、X X解 lim(l+2)(23)=lim(l+与 lim(2)=lx2=2.XTB X x2 Xfg X XT8 X2(11)1手(1+*;+4);co 2 4 2!解 lim(l+)=lim 2_=2.oo 2 4 2 ns 1 11-2(12)lim 1+2+3+;+(T);(n-l)n解 1加 1+2+3+;+5-1)=Hm J_ 同曰 J.ns ns 2 ns Yi 2(13)lim+W+2)(+3).5n解1面史吗曾叁4(分子与分母的次数相同,极限为 一0 5n j最高次项系数之比).或 lim(+1)(+?(+3)=L iim(l+g(l+2)(i+3)=L nfg 5相 5co

25、 Yl fl 5(14)-y);%.i 1-x 1-x3解卿士&刊w*lim Qx)(x+2)(l-x)(l+x+x2)=-limx+2=l.%-il+x+x2.计算下列极限:lim色容;I(2(x-2)2 9解 因为lim与14=2肛 所以lim等=8.213+2%2 16(x 22(2)lim 4X00 2x+l 解吧蚤1=(因为分子次数高于分母次数)(3)lim(2x3-x+l).解!必(23一、+1)=00(因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限:(l)limsinl;解lim sinLo(当X.0吐f是无穷小,X-0 X(2)lim/%-ooarctan xX解 Hm 垩皿=l

26、imLarctanx=OXT8 X%-00 X(当X00时,而sin:是有界变量).工是无穷小,X而arctan%是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1-51.计算下列极限:7解1加心一22+5%2%32-3=-9.号;解X辱受1=舄小曾x2-2x+1.x2-l 解鸣f=!罂吊而=吧后4=。(4)lim 生冷土;解1加包卢%-o 3x2+2x-lim4x2-2x+1 1x-o 3x+2:2(5)lim(x+”*7 hfO h解 limg+”*=limha h o(6)lim(2-+-);Xfg X X2x2+2hx+h2-x1=lim(2x+/?)=2x.oh角星 lim(2一H-

27、t-)=2 lim-+lim r-=2.Xfg x X,Xfg X Xfg X2(7)lim”;7xco2x2-x-1i-X解 lim Vrlim 一产厂二3%f02x x 1 XT8 n Liz 乙-yX X2(8)Xis x4-3x2-1解lim=0(分子次数低于分母次数,极限为零).1-8x4-3x2-l 或J_+J_lim J、=lim/x:=0.00 x今 3x 1%-00 1211 2 T!皓翳;解蚓金=咄募驷式(10)lim(1+)(2y);s x X解 lim(l+2)(2)=lim(l+与 lim(2)=lx2=2.xs X%2 xf co x%8%2(11)1呼(1+:+;

28、+4);co 2 4 2!(12)liml+2+3+丁-1);nfg 付(77-1);7解 1+2+3+;+5T)=而 lim.woc 幺 woo 幺 2 ns H 2(13)lim+W+2)(+3);nfg 5n解lim(.+W+2)(.+3)=l(分子与分母的次数相同,极限为 nfg 5n j最高次项系数之比).或lim(f)5+3)二4lim(l+-)(l+-)(l+-)=-.一0 5n5 5 n n n 53 1-x3-);解卿占一金)二呵(二;JIM)lim(lx)(+2)11(l-x)(l+x+x2)(hr=-limx+2=l.x-ll+X+X2.计算 下列极限:畸享解因为强案1哈

29、肛所以!若序i(2)lim/X-00X22x+l解lim%82=82x+l(因为分子次数高于分母次数).(3)lim(2x3-x+l).解!弘(2x3r+l)=oo(因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限:(1)limx2 sin;解limx2siJ=0(当X-0吐f是无穷小,而si/是有界变量).xf X X(2)limarctanxe%-8 X解1面垩皿=limLarctanx=O(当Xfoo时,工是无穷小,XTB X X X而arctan x是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1-71.当时,2%-?与相比,哪一个是高阶无穷小?解因为端口4=lin产=0,所以当-0时,

30、是高阶无穷小,即2_%3=o(2%_%22.当-1时,无穷小1-x和(1)1-%3,(2%(1、2)是否同阶?是否等价?解 因为lim工lim(D-=lim(l+x+x2)=3,x1 1 X xfl 1 X xfl所以当工1时,1-%和1-%3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(2)因为 lim-=-lim(l+x)=l,X1 1-x 2%i所以当1时,It和;(I)是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.3.证明:当时,有:(1)arctan2(2)secx-l.证明(1)因为吧螫詈=1吧武丁1(提示:令产arctan X,则当30时,V。),所以当xf0时,arctanx-x.2 sin2 2s

31、in工=!啷T)2=T 2因为lim毕2=21而、空注=1而%。1 y2 0X2COSX%2所以当1.0时,secx-1弓4.利用等价无穷小的性质,求下列极限:代;分(凡根为正整数);;(4)1im-f linx-tanx.io(vl+x2-1)(71+sin x-1)解噌噢iH舒n-m nm.no sin5 x io sin3x cosxsin2%-o x2 cosx 2(4)因为sinx-tanx=tanx(cosxl)=_2tanxsin2 52x弓尸二一:/。),3,可A/l!V(w7+Vw+i 3(x一0),Vl+sinx-l=,sinx x(X-0),Vl+sinx+1 7_lx3

32、 所以 1印 上mx暮ix 1*彳2 一=_3.x(Vl+x2-l)(Vl+sinx-l)Xlx2.x5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1)a口(自反性);若a匡则上a(对称性);若a艮叩力则aM传递性).证明(l)lim-=l,所以。a;(2)若 a 则 从而 lim=l.因此。a;(3)若 a/3,/3%limy=limlim-=l.因此习题181.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:/()书x;琵;解已知多项式函数是连续函数,所以函数小)在0,1)和(1,2内是连 续的.在=1处,因为1)=1,并且所以图/(x)=l,从而函数I/(%)在=1处是连续的.综上所述,函数人%)在血

33、2上是连续函数.Q)八)=:解只需考察函数在=-1和=1处的连续性.在4-1处,因为-1)=-1,并且lim/(x)=lim 1=1/(-1),x1 x1lim/(x)=lim x=-l=/(-I),X 1 JC 1所以函数在4-1处间断,但右连续.在X=1处,因为次1)=1,并且lim/(x)=lim x=l/(l)9X1 X1Jim/(x)=Jiml=l/(l)9所以函数在41处连续.综合上述讨论,函数在(-*-1)和(T,+8)内连续,在X=-1处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果 是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)J=Z-1,

34、x=l,x=2;x2-3x+2解 尸二尹萼因为函数在x=2和41处无定义,所以x=2x2-3x+2(x-2)(x-l)和X=1是函数的间断点.因为lim尸lim-二所以、=2是函数的第二类间断点;%2 x2-3x+2因为lim产lim在=2,所以41是函数的第一类间断点,并且是可去 x1 x1(X 2)间断点.在x=l处,令y=-2,则函数在x=l处成为连续的.(2)尸产,x=匕(&0,15 2,-);lanx z解函数在点=左好)和X=.+会(左eZ)处无定义,因而这些点都是 函数的间断点.因就=00(后0),故=左过右0)是第二类间断点;因为 lim=l,lim0(壮Z),所以x=0和日也

35、+:(止Z)是第一类间断点且是可去间断点.令加=0=1,则函数在1=0处成为连续的;令x=k兀+*时,y=0,则函数在x=k兀+0处成为连续的.(3)j=cos2-,JC=O;JC解 因为函数方cos2l在X=0处无定义,所以X=0是函数y=cos21的间断 X X点.又因为lime”!不存在,所以X=0是函数的第二类间断点.Xf0 X(4)y=X-;9X=1.、“3-x xV解 因为 lim/(x)=lim(x-l)=O.lim/(x)=lim(3-x)=2,所以 X=1 是函数的第一 X-1_ Xf 1+Xf 1+类不可去间断点.3.讨论函数/(x)=lim曰x的连续性,若有间断点,判别其

36、类型.ng 1+X”2 卜 1|1解=0 1止1.1+X X|X|0.因为人X)在劭连续,所以甄了任)=/(通)0,由极限 的局部保号性定理,存在即的某一去心邻域。(的),使当xe u(x0)时人工)0,从而当了七伏即)时,加)0.这就是说,则存在刈的某一邻域。(沏),当 XE。(%0)时5.试分别举出具有以下性质的函数的例子:(1)%=0,1,2,1-,n,工是)的所有间断点,且它们都是 2 n无穷间断点;解 函数y(x)=cscg)+csc工在点x=0,1,2,,,土,L 一处是间断 x 2 n的且这些点是函数的无穷间断点.(2)/(%)在R上处处不连续,但|/(%)|在R上处处连续;解

37、函数/(x)卡;*在R上处处不连续,但阿|=1在R上处处连续.(3)/(%)在R上处处有定义,但仅在一点连续.解 函数/(、)=x 黄只在R上处处有定义,它只在=0处连续.习题1-91.求函数/二一+产2:-3的连续区间,并求极限1加/,1加/(x)及 X+X-6%-0 x-3lim/(x),解 一)+yL=函数在(叫+00)内除点x=2和x=3x2+x-6(x+3)(x-2)外是连续的,所以函数小)的连续区间为(-8,-3)、(-3,2)、(2,+8).在函数的连续点=0处,lim/(x)=/(0)=.在函数的间断点=2和=-3处,七3)(;二叱:1)=0,lim/(x)=lim(x-1)+

38、1)=,|.x2 x2(x+3)(x-2)9 工-3 u-3 x2 52.设函数)与g(%)在点o连续,证明函数须)=max如),g(x),(x)=min/(x),g(x)在点劭也连续.证明 已知 lim/(x)=/(x0),lim g(x)=g(x0).可以验证e(x)=;/(x)+g(x)+l/(x)g(x)|5a)=;/a)+g(x)T/(x)-g(x)i.因此 0(Xo)=;(Xo)+g(Xo)+l/(Xo)g(Xo)l,(Xo)=;/(Xo)+g(Xo)T/(Xo)g(Xo)1因为lim 9(x)=lim-/(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|=lim/(%)+lim g(x)+

39、|lim/(%)-lim g(x)|=g/(x()+以局)+1/(xo)_4(3)lim ln(2cos2x);r(4)v 7X-O%lim互三五;)x-l x-1(6)limSinx-sin。.n x-a(7)lim(y/x2+x-y/x2-x).X-+oo解(1)因为函数/(、)=斤五是初等函数,1(x)在点1=0有定义,所以limVx2-2x+5=/(0)=VO2-2-0+5=V5.Xf0(2)因为函数加)=(sin2x)3是初等函数,-)在点x=?有定义,所以lim(sin2x=/()=(sin2-)3=l.f 4 4因为函数火%)=ln(2cos2x)是初等函数,小)在点片看有定义

40、所以lim ln(2cos2x)=f()=ln(2cos2)=0.一看 6 6(4)lim 立迫=lim(E*+l)=1加 上=lim 1=1 1oVx+T+i Vo+T+i 2*(5)lim:5x-4-五=lim 心天一1一中)心尸-4+6)x-i x-1(x1)(V5x4+Vx)-lim_ _=lim _=4_=2.%1(X 1)(y/5x-4+yx)%1 y/5x4+yx y/5-1 4+y/1(6)lim/asmx-smax-a2cspi心=lim-2-2sjn2z=limcos:im-=cos a+a l=cos。.x-a 2 x-a=lim+82x2(Vx2+x+Vx2-x)=li

41、m4.求下列极限:(1)lim;Xf 00 lim 13;(3)lim(l+-)2;Xf 8 X(4)lim(l+3 tan2 x)cot2 xxfa X Cl念存;(fA 1-Jl+tanxJl+sinx xVl+sin2x-x1 r 1解(1)1向/=,%/=1.Xf CO(2)limln 皿=ln(lim 皿)=lnl=o.%0 X%-o Xx 1 j_(3)lim(l+)2=lim(l+)x k=e=4e.XTB X%fd 1(4)lim(l+3tan2 x)cot2x=lim(1+3tan2 x)3tan2x 1=e3.(5)(注工)与=(1+六-)”品号.因为6+x 6+x“m(l

42、+会)驾/lim1早=总x-8 6+x%8 6+x 2 2所以1面(号)号.oo 6+x(6)lim Jl+taRJl+siii7 _ Hm(Jl+tanx Jl+sinx)(Jl+sin2 x+1)“-。xVl+sin2x-x%-0 x(Jl+sin2 x _1)(Jl+tan x+Jl+sin x)_ Hm(tanxsinx)(,l+sin?x+1)_ tanx-2sin-o xsin?x(Jl+tanx+Jl+sinx)%。xsin2x5.设函数/(、)=七 应当如何选择数d使得人x)成为在(-*+8I Cl I JL X W U内的连续函数?解 要使函数人X)在(-叫+8)内连续,只须

43、X)在X=o处连续,即只须Jimo/(x)limo/(x)=/(O).因为 lim/(x)=lim ex=l lim f(x)=lim(a+x)=a,所以只须取 1=1.x0 x0 x+0 x+0习题1-101.证明方程/一3%=1至少有一个根介于1和2之间.证明设危)=/_3x-1,则1A%)是闭区间1,2上的连续函数.因为1)=-3,2)=25,1区2)0,所以由零点定理,在(1,2)内至少有一占5八、S(10,60,至少有一个正根,并且它不 超过a+b.证明 设/(%)=asin x+b-x,则_/(%)是0,a+切上的连续函数.fl(y)=b,Ja+b)=a sin(a+b)+b-(a

44、+b)=asm(a+b)-l0.若/(a+6)=0,则说明x=a+b就是方程1=asinx+b的一个不超过a+b的根;若/(a+b)0,贝1J/(0)/(a+Z)0,由零点定理,至少存在一点 Je(0,a+b),使/(J=0,这说明x=&也是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根.总之,方程l=asinx+6至少有一个正根,并且它不超过a+6.3.设函数%)对于闭区间a,6上的任意两点、y,恒有 fx)-fiyLx-y,其中七为正常数,且火。):/(6)0.证明:至少有一点京(a,b),使得大J=0.证明设比为3)内任意一点.因为0 lim|/(x)-/(x0)|x0即 lim/(x)=

45、/(x0).因此人X)在3份内连续.同理可证)在点。处左连续,在点b处右连续,所以加)在以切上 连续.因为1A%)在口,切上连续,且0负6)0,由零点定理,至少有一点 生3”使得火J=0.4.若/(%)在a,6上连续,XiX2 一xn2)+/(/)n.证明 显然/(%)在即%上也连续.设M和机分别是/(%)在上的 最大值和最小值.因为修修,招(14云砚所以有冽矶从而有z?-m/(x1)+/(x2)+f(xn)0,存在的0,只要|x|n就有%foofx-A,即 A-f(x)A+8.又由于1A%)在闭区间-X,同上连续,根据有界性定理,存在好0,使|/(x)|Mxe-X.取 AmaxM 凶一乩 M

46、+,则(/(初介,xe(-oo,+oo),即/(%)在(一oo,+oo)内有界.6.在什么条件下,3,6)内的连续函数上)为一致连续?总习题一1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入 下列空格内:(1)数列/有界是数列亏收敛的 条件.数列/收敛是数列%有界的 的条件.(2次%)在劭的某一去心邻域内有界是lim X)存在的 条件.%/(x)存在是/(X)在%0的某一去心邻域内有界的 条件.(3)T)在Xq的某一去心邻域内无界是lim/(x)=oo的 条件.%.两Jim/(x)=co是在0的某一去心邻域内无界的 条件.(4如)当时的右极限 於()+)及左极限X。一)都存在且相

47、等是 lim/(x)存在的 条件.解(1)必要,充分.(2)必要,充分.(3)必要,充分.(4)充分必要.2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设x)=2+3X-2,则当 时,有().(/如)与x是等价无穷小;(5次0与x同阶但非等价无穷小;(0/(%)是比%高阶的无穷小;(。)是比低阶的无穷小.解因为lim2=lim空丑E=lim至曰+lim登%0 X%-o X Xf o X%-o X=In2lim-+ln31im7=1112+1113(令 2%1=t,3芯一1=).所以加)与同阶但非等价无穷小,故应选A3.设用:)的定义域是0,1,求下列函数的定义域:);(2)次加工);(3)/

48、(arctan x);(4)cos x).解 由0exl得左0,即函数八,)的定义域为(-*0.(2)由OVlnxVl得1玄Ve,即函数次In%)的定义域为1,e.(3)由 0 arctan%W1 得 0 xtan 1,即函数/(arctan%)的定义域为0,tan 1.(4)由 0 cos xl 得2万1,2,-),即函数次cos%)的定义域为2而质,+和,5=0,1,2,).4.设、fo x0/、fo x0 g()=(x2 x0,求/W%),gg(x),Ag(x),解因为加)20,所以册)=/a)=4;不因为g(%)V。,所以矶g(%)=。;因为g(%)V0,所以力g(%)=0;因为加)项

49、 所以g/a)=d()=F5.利用y=sin的图形作出下列函数的图形:(l)j=|sinx|;(2)j=sin|x|;(3)y=2sinp6.把半径为尺的一圆形铁片,自中心处剪去中心角为。的一扇形后 围成一无底圆锥.试将这圆锥的体积表为。的函数.解设围成的圆锥的底半径为匕高为由依题意有R(17i-a)=27ir,厂=理等2,2兀h=W=R五.V 4万 2 2圆锥的体积为T42(2 丁./4丁23 4*2兀-2:2(2万一a)?.l47ra-a2(0(X09要使165|,只需卜-3|曷取 五与X-J当0小-3|3时,就有即筌-5|0,b0.c0);%0 3(6)lim(sinx)tanx.解(1

50、)因为吟然肛所以端甘i(2)lim x(E-x)=lim(号如反石一io xf+8(Vx2+l+x)(3)=lim(l+)+i=lim(l+)+2Xf 8 2x+l Xf 00 2x+l Xf 8 2x+l)2x+l 0=lim(l+?)k(l+土”is 2x+l 2x+l 0 2x+l X:lim(l+-)-lim(l+-)2=e.Xf 8 2x+l Xf 8 2x+l.(4)lim tan与sinx 二小书一,二9 一3,)X0 炉 X-0 炉 工0 X3COSXsin x-2 sin2 2x-()2 1=lim-z-=lim-=%f0 X3 COSX X3 2(提示:用等价无穷小换).1

展开阅读全文
部分上传会员的收益排行 01、路***(¥15400+),02、曲****(¥15300+),
03、wei****016(¥13200+),04、大***流(¥12600+),
05、Fis****915(¥4200+),06、h****i(¥4100+),
07、Q**(¥3400+),08、自******点(¥2400+),
09、h*****x(¥1400+),10、c****e(¥1100+),
11、be*****ha(¥800+),12、13********8(¥800+)。
相似文档                                   自信AI助手自信AI助手
搜索标签

当前位置:首页 > 教育专区 > 其他

移动网页_全站_页脚广告1

关于我们      便捷服务       自信AI       AI导航        获赠5币

©2010-2024 宁波自信网络信息技术有限公司  版权所有

客服电话:4008-655-100  投诉/维权电话:4009-655-100

gongan.png浙公网安备33021202000488号   

icp.png浙ICP备2021020529号-1  |  浙B2-20240490  

关注我们 :gzh.png    weibo.png    LOFTER.png 

客服