第11章第8节.doc

第十一章　第八节

1．(2014·厦门质检)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　)
A.　 　　　 B.　 　　　
C.　 　　　 D.
解析：选A　第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P＝C2××＝.故选A.
2．(2014·温州五校联考)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为；若向乙靶射击两次，每次命中的概率均为.若该射手每次射击的结果相互独立．则该射手完成以上三次射击恰好命中一次的概率为(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选C　易知，该射手恰好命中一次的概率P＝××＋××＋××＝.
3．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示．则有(　　)

A．μ1＜μ2，σ1＜σ2　　　　 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2　　　　 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：选A　正态分布曲线关于直线x＝μ对称，它是在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；反过来，σ越小，曲线越“瘦高”．故选A.
4．(2014·福州质检)在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选C　设事件A在每次试验中发生的概率为x，由题意得1－C(1－x)3＝，得x＝，故事件A恰好发生一次的概率为C××2＝.选C.
5．(2014·大连模拟)把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数的概率为(　　)
A．1　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选B　这是一个条件概率，设事件A表示第一次抛出的是偶数点，事件B表示第二次抛出的是偶数点，事件A与事件B相互独立．P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝P(A)P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝，故选B.
6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选B　设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝，P(B)＝.所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为
P(A )＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.选B.
7．(2014·汕头质检)抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为S＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，事件B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)＝________.
解析：　因为A∩B＝{2,5}，所以P(A|B)＝＝＝.
8．在国庆期间，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有一人去北京旅游的概率为________．
解析：　依题意，三个人都不去北京旅游的概率为＝，所以至少有一人去北京旅游的概率为1－＝.
9．(2014·聊城模拟)某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．
解析：　由题意知P(ξ≥2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，
由于P(ξ＜2)＝P(ξ≥6)＝0.2.
所以正态分布曲线的对称轴为ξ＝4.
所以P(ξ≤4)＝，即每个摄像头在4年内都能正常工作的概率为.
故两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为×＝.
10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝；
②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．
解析：②④　显然A1，A2，A3是两两互斥的事件，
有P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，
而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝，
且P(A1B)＝，P(A1)P(B)＝×＝，
有P(A1B)≠P(A1)P(B)，
可以判定②④正确，而①③⑤错误．
11．甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约．甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响．已知至少有1人面试合格概率为.
(1)求P；
(2)求签约人数ξ的分布列和数学期望．
解析：(1)至少1人面试合格的概率为(包括1人合格、2人合格和3人都合格)，这样都不合格的概率为1－＝.
故(1－P)3＝，解得P＝.
(2)签约人数ξ的所有可能取值为0、1、2、3.
签约人数为0(甲不合格，乙丙至少一人不合格)的概率为
P(ξ＝0)＝×＝，
签约人数为1(甲合格，乙丙至少一人不合格)的概率为
P(ξ＝1)＝×＝，
签约人数为2(甲不合格，乙丙全部合格)的概率为
P(ξ＝2)＝××＝，
签约人数为3(甲乙丙均合格)的概率为P(ξ＝3)＝3＝，所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
12．(2014·梅州模拟)某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有甲、乙两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．为估计各项技术的达标概率，现从中抽取1 000个零件进行检验，发现两项技术指标都达标的有600个，而甲项技术指标不达标的有250个．
(1)求一个零件经过检测不为合格品的概率及乙项技术指标达标的概率；
(2)任意抽取该种零件3个，求至少有一个合格品的概率．
(3)任意抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求随机变量ξ的分布列．
解析：(1)设“一个零件中甲项技术达标”为事件A，“乙项技术达标”为事件B，
依据抽样结果可知，两项技术指标都达标的概率为P(AB)＝＝；
甲项技术不达标的概率为P()＝＝.
因此一个零件经过检测不为合格品的概率为1－P(AB)＝1－＝，
而由独立性可知，P(AB)＝P(A)P(B)，
所以P(B)＝＝＝，即乙项技术指标达标的概率.
(2)任意抽取该种零件3个，至少有一个合格品的概率1－3＝.
(3)由条件知随机变量ξ的可能值为0,1,2,3,4，
P(ξ＝0)＝C04＝；
P(ξ＝1)＝C13＝；
P(ξ＝2)＝C22＝；
P(ξ＝3)＝C31＝；
P(ξ＝4)＝C40＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P

1．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，向量a＝(1,2)与向量b＝(ξ，－1)的夹角是锐角的概率是，则μ＝(　　)
A．1　　　　 B．4　　　　
C．2　　　　 D．不能确定
解析：选C　由向量a＝(1,2)与向量b＝(ξ，－1)的夹角是锐角，得a·b＞0，即ξ－2＞0，解得ξ＞2，则P(ξ＞2)＝，根据正态分布密度曲线的对称性可知μ＝2.选C.
2．在高三的一个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生数ξ～B，则P(ξ＝k)取最大值时k的值为(　　)
A．0　　　　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．3
解析：选B　依题意得C5－kk≥C5－(k－1)·k－1且C5－kk≥C5－(k＋1)k＋1，解得≤k≤，故k＝1，故选B.
3．某篮球决赛在广东队与山东队之间进行，比赛采用7局4胜制，即若有一队先胜4场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元，则组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为________．
解析：　依题意，每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，∴Sn＝＝.由Sn≥390得n2＋7n≥78，∴n≥6.∴若要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场．①若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分必为2∶3，且第6场比赛为领先一场的球队获胜，其概率P(6)＝C×5＝；②若比赛共进行了7场，则前6场胜负为3∶3，其概率P(7)＝C×6＝.∴门票收入不少于390万元的概率P＝P(6)＋P(7)＝＝.
4．(2014·深圳调研)一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球、2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中”．
(1)求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；
(2)求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．
解析：(1)设A1表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球”，
B1表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球”，
A2表示事件“第2次操作从箱中取出的是红球”，
B2表示事件“第2次操作从箱中取出的是白球”．
则A1B2表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球，且第2次操作从箱中取出的是白球”．
由条件概率计算公式，得
P(A1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＝×＝；
B1A2表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球，且第2次操作从箱中取出的是红球”．
由条件概率计算公式得
P(B1A2)＝P(B1)P(A2|B1)＝×＝.
A1B2＋B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为4”．
而A1B2与B1A2是互斥事件，所以
P(A1B2＋B1A2)＝P(A1B2)＋P(B1A2)＝＋＝.
(2)设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X的所有可能取值为3,4,5，且
P(X＝3)＝×＝，P(X＝4)＝，
P(X＝5)＝×＝
.
所以X的分布列为
X
3
4
5
P

所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.