向量-三角恒等变换-解三角形-数列基本公式.doc

向量,三角恒等变换,解三角形,数列基本公式
向量知识点
一、向量有关概念
名称
定义
备注
向量
既有_______又有_______的量。
向量不能比较大小
向量的模
向量的大小叫做向量的_______（或_______）
记为_______
若已知，则,模可以比较大小
零向量
长度为_______的向量，记为_______
零向量与所有向量平行;
与所有向量垂直.
单位向量
长度等于_______的向量

平行向量
方向_______或_______的非零向量.
与任一向量平行或共线；
直线平行:不包括重合情况
共线向量:包括重合情况
若、都是非零向量,存在实数λ，使
共线向量
_______向量又叫共线向量。
相等向量
长度_______且方向_______的向量
特点：1、长度相等；
2、平行且方向一致
相反向量
长度_______且方向_______的向量
的相反向量是本身
特点：1、长度相等;
2、平行且方向相反
_______
二、向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
备注
加法
求两个向量和的运算
A
B
C
A
B
C
三角形法则：

特点：首尾相连，始终如一。
在中,
A
B
C
D
平行四边形法则：A
B
C
A
B
C

特点：共同始点为相邻边的和是平行四边形中有共同始点的对角线。
减法
求与的相反向量的和的运算叫做与的差
A
B
C
三角形法则:

特点：差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

数乘
求实数与向量的积的运算

1、当=_______
2、当时,与的方向_______；当时，与的方向_______；当时,=_____；当时，则_____
三、向量的表示方法
A
B
O
1、字母表示法:如、； 2、几何表示法：用一条______________表示向量；
3、坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的始点为坐标原点，
终点坐标为A（X，Y)，则向量坐标记为（X，Y）
四、两个向量的夹角
1、定义：已知两个_______向量与，作,，则叫做向量与的夹角。
2、范围：，与同向时，夹角_______；与反向时,夹角_______
3、向量垂直：如果向量与的夹角是_______时，则与垂直，记为_______
五、平面向量基本定理及坐标表示
1、定理:如果、是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量，_______一对实数、，使=___________，其中，___________叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
2、平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量正交分解。
3、平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中，分别取与X轴、Y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数对X，Y，使，把有序实数对_______叫做向量的坐标，记作=_______，其中_____叫做在X轴上的坐标,其中_____叫做在Y轴上的坐标。即 =(X，Y）
六、平面向量的坐标运算：
1、向量坐标求法：已知，，则，即一个向量的坐标等于该向量_______的坐标减去_______的坐标。
2、向量坐标加法、减法、数乘运算：设,
加法：+= 减法:—= 数乘：
3、平面向量共线与垂直的表示：设,，其中，则
与共线（或）
七、平面向量数量积
1、已知两个非零向量与，它们的夹角为,把数量_______叫做与的数量积(或内积）,记作。,即。=_______,并规定零向量与任一向量的数量积为_______

注：两个非零向量和的数量积是一个数量，不是向量,其值为两向量的模与它们夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定。
当； 当 当；
数量积是内积，用表示，不能用或表示
2、一向量在另一向量方向上投影
定义: _______（_______）叫做在的方向上（在的方向上）的投影。如图，，过作垂直于直线OA,垂足为，则
O
B
A

O
B
A

A

0

B

图1
图2
图3

叫做向量在的方向上
当为锐角时，如图1，它是_______； 当为钝角时，如图2,它是_______;
当为直角时,如图3，它是_______; 当=时，它是_______； 当=时，它是_______；
的几何意义：数量积等于的长度与______________的乘积
3、平面向量数量积的重要性质：
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角,则 .= 。=_______
当与同向时，=_______； 当与反向时，=_______；
特别是。= =_______
4、平面向量数量积的运算律
交换律：+=_______ 数乘结合律:______________=______________
分配律：（+）=______________

八、向量的应用:
1证明线段平行问题，包括相似问题,常用向量平行(共线）的充要条件
与共线(或)
A
B
C
D
2、证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：
3、求夹角的问题，利用夹角公式
4、求线段的长度,可以利用向量的线性运算，向量的模
若，则 若，则

5、如图所示，在中，D是BC边上有中点（AD是的BC边上中线)，则有
三角函数恒等变换
（一)基本公式：
1、两角和与差的公式：① ；
② ；
③ 。
理解:①两角和与差的公式揭示“同名不同角的三角函数的运算规律".
②对公式会正用、逆用、变形用。③善于对角按需要变形。
2、二倍角公式：① ；

② = = ;

③ .
理解:二倍角公式揭示“具有倍数关系的两角的三角函数的运算规律”。
3、辅助角公式和万能公式:①辅助角公式： ；
（其中 ，所在的象限由点（ ）所在的象限所确定。）
4、了解以下公式：①半角公式:;;

②积化和差公式：；；
；。
③和差化积公式：；；
；。
（二）、三角恒等变换是本章的主题和核心。
1、三角恒等变换的入手点：“角”、“名”、“形”。其中角的变换尤应注意。
2、三角恒等变换的核心：角的变换和角的限定
3、三角恒等变换的手段和方法：①角的配凑；如：等等；
②降次与升次：升次公式： ； ；
=_________________=______________
降次公式: ; 。
③常值代换：特别是1的代换。如：等等。
=________________ =____________________
解三角形
1、内角和：；

2、（1)；；；
（2)；；；
；；；
3、（1）；;;
（2)；；；
；；；
4、两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;
5、大边对大角,大角对大边；
6、正弦定理：（R指三角形外接圆半径）
（(1) 解三角形：①已知两边和其中一边的对角；②已知两角和一边；
（2) 注意已知两边和其中一边的对角解三角形有一解、两解及无解情形)
变形：

7、余弦定理： 变形：
； ；
; ；
; ；
（解三角形①已知两边一夹角；②已知三边）
8、已知形如或,由变形；

数列基本公式
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=______________ 
2、等差数列的通项公an=___________=___________    (其中a1为首项、ak为已知的第k项)  当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=____________=_____________   
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式.
4、等比数列的通项公式： an=___________ = ______________   
(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
5、等比数列的前n项和公式:当q=1时，Sn=n a1     （是关于n的正比例式）；
当q≠1时,Sn=______________ = _____________ 
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an｝的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m—Sm、S3m-S2m、S4m — S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an｝中,若m+n=p+q=2k，则_________________ 
3、等比数列｛an｝中，若m+n=p+q=2k，则_________________ 
4、等比数列｛an｝的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m—S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
5、两个等比数列｛an｝与｛bn｝的积、商、倒数组成的数列
｛an bn｝、 、 仍为等比数列,公比分别为___，____，____
6、{an｝为等差数列，则  (c〉0）是等比数列,公比为____
7、｛bn}（bn>0)是等比数列，则{logcbn｝ (c>0且c1） 是等差数列,公差为______
8。 在等差数列 中：
（1）若项数为 ，则                      
（2）若数为 则,    ，  
9。 在等比数列 中： 若项数为 ，则