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极大似然估计练习题
关于矩估计与极大似然估计的典型例题
例1，设总体 具有分布律

其中为未知参数。已经取得了样本值,试求参数的矩估计与极大似然估计。
解：（i）求矩估计量，列矩方程(只有一个未知参数）

得
(ii）求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率

对数似然

得极大似然估计为

例2，某种电子元件的寿命（以记)服从双参数指数分布,其概率密度为

其中均为未知参数，自一批这种零件中随机抽取件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为
（1） 求的最大似然估计量；
（2） 求的矩估计量。
解：（1）似然函数，记样本的联合概率密度为

在求极大似然估计时，肯定不是最大值的似然函数值，不考虑这部分，只考虑另一部分。
取另一部分的对数似然函数

可知关于的驻点不存在，但能判定单调性
由知

关于是增函数，故

将之代入到中得

则，一定能使得似然函数达到最大，故的极大似然估计为

（2）列矩方程组（两个未知参数)
解出

例3,设总体，其中为未知参数，为来自总体的一组简单随机样本，为样本观察值,求未知参数的极大似然估计.
解:似然函数，即样本的联合概率密度

肯定不是最大值,考虑另一部分的最大值，
取对数似然

知在内是单调递减的,故取能使得似然函数达到最大，则的极大似然估计值为
，极大似然估计量为