矩阵论重点内容讲解与习题解答.doc

步骤 步骤 步骤 步骤

四、解： （1），.
行列式因子： ;
不变因子： ;（对角线元素）
初等因子： .
（2） ;
（3）对;？？？？？？？？？
.
再求的一个广义特征向量：
由 得 .
取 ,

,
故

.

、

A的H次方 就是 A -1次方 内积空间的内容

注意 ： 是每个元素的绝对值相加

六、解：A的1范数就是 列范数—----各个绝对值和最大的那一列 ，，A的无穷范数就是行范数--------最大的那一行，A的
（1） ；又因为
，.
所以 ；（无穷范数也称行范数 但要注意是 每个a i j 的绝对值相加 ）
.
故 .
（2）因为，故可分解.
（3） 均可取. ？？？？？？？

八、证：（1） ,
同理，有.
（2）
=，
得2.

一、 解：（1）-------用的是直接法
，
，
，
所以在E1，E2，E3下的矩阵为
.
(2) 设有一组基，从E1 ,E2 ,E3到e1 ,e2 ,e3的过渡矩阵设为C ,即-------------关键是找C 也就是找 特征向量

再设A在e1 ,e2 ,e3下的矩阵为B, 则 .
要使B为对角阵，即找一个可逆矩阵，使为对角阵. 因为
,
对，求得特征向量，对λ=2，求得两个线性无关的特征向量，.
令 ，得 ，则为对角阵.
由 ，可得结果

.

三、解：（1）令，由 ，知；
取 ； ，构造初等反射矩阵-----？？？？
，
则有.
（2）.
因此 ，
所以；
因为，故矩阵幂级数收敛.

一、 解：(1) 在V1中，

.
令 ,
因线性无关，由定义知，它们是的基，且.
(2) 因为线性无关； .

在的标准基下，将对应的坐标向量排成矩阵, 并做初等变换
，
可见 .
由维数定理

六、解： （1）
，
令 ，
则 A=BC . 其中B为列最大秩矩阵， C为行最大秩矩阵 .
（2） ，
，
所以 .

（3） .

四、解：
(1) 由,得,
显然, 当且仅当时，有.
(2) 因,得
即
两端右乘B得 , 从而 ,由于幂等阵B的任意性，故.

五、解：（1），
.
（2）∵ ；；∴ 相容.
（3）∵ ； 公式啊 ！
，
∴ 极小范数解 .

七．证：（1）设为正交变换，λ为的特征值 , 则有
(，
=(,).
∵ , ∴ , 故 ；
（2）设λ为的任一特征根，α为的属于λ的一个特征
向量，即
，
则 .
记的特征子空间为 的特征子空间为.对有
() 2 + () 2 ，
而 () 2 () 2 ，
所以 .
又 且；
得 ，即 ，故.

五、解：令,
，
由于 , 所以方程组无解.
全部最小二乘解为

，极小范数最小二乘解为：
.