第2部分函数.doc

(2012年栟茶高级中学高三阶段考试)若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的值域恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．如果函数是上的正函数，则实数的取值范围

答案：

（2012年兴化）已知实数分别满足，，
则的值为 ▲ .
答案：
说明：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数。
将已知等式变形为，
构造函数，这是一个单调递增的奇函数，因为
所以，从而有，。

（2012年泰兴）方程在[0，1]上有实数根，则m的最大值是 0 ；
析：可考虑与在[0，1]上有公共点，数形结合。

（南师附中最后一卷）已知函数f(x)＝loga(x3－ax)(a＞0且a≠1)，如果函数f(x)在区间内单调递增，那么a的取值范围是____________．
答案：

x
y
O
1
2
a
（泰州期末）13．设实数，使得不等式，对任意的实数恒成立，则满足条件的实数的范围是 .
解析：本题考查不等式的解法，数形结合。
当时，不等式，对任意的实数恒成立，
当时，将不等式化为，作出函数的图像，如图，
不等式，对任意的实数恒成立的条件是，函数的图像全部落在函数的图像的上方，由解得，
综上所述，实数的范围是。
（注：本题关键在于对不等式的合理变形，和由图考出题设成立的条件）

（泰州期末）14. 集合存在实数使得函数满足，下列函数都是常数）（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；属于M的函数有 . (只须填序号)
解析：本题考查基本初等函数，解方程。
解法一：对函数（1），若，则，与条件矛盾；
对函数（2），若，解得；
对函数（3），若，由于函数为减函数，故不成立；
对函数（4），若，整理得，此方程无实数解；
对函数（5），显然。
综上所述，属于M的函数有（2）（5）。
解法二：可化为，
此式表示点满足，
依次作出五个函数的图像，画出线段CD，作CD的平行线，判断能否作出弦长为1的平行线即可。
（注：解法二不是人人都能学会的，没这个智力的人需对自己合理定位）

（南京三模）.若函数是奇函数，则满足的的取值范围是 ▲ ．
答案:

（南通三模）若函数，则函数在上不同的零点个数为 ▲ .
解析：考查数形结合法的应用、函数图象的作法。
考虑函数与的图象交
点的个数。
而函数，由图象易见结
果为3．
另外，也可按如下步骤做出的图象：
先作的图象，再作的图象。

答案：3

（盐城二模）若是定义在上周期为2的周期函数, 且是偶函数, 当时, , 则函数的零点个数为 ▲ .
答案：4
解析：数形结合，作出y=f(x)与在x轴右边图像，有2个交点，又2个函数为偶函数，根据对称性有4个交点

（2012年常州）对于函数，给出下列命题：
（1）在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；
（2）若，则函数的图象关于直线对称；
（3）若，则函数是周期函数；
（4）若，则函数的图象关于点（0,0）对称。
其中所有正确命题的序号是 。
答案：（3） （4）

（常州期末）11、设函数在R内有定义，对于给定的正数，定义函数，若函数，则当时，函数的单调减区间为 。
答案：

（南通一模）如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数
O
B
D
C
y
x
（第9题）
1
1
A
2
，，的图象上，且矩形
的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2，则
点D的坐标为 ▲ .
答案：

第9题 ；.

（天一）5.已知定义域为的函数是奇函数，则 ▲ .
答案；2
（天一）13.将一个长宽分别是的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是 ▲ .
答案：
（天一）（天一）8.若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ▲ .

答案：或
（南师大信息卷）函数在定义域R内可导，若，且当时，，设，则的大小关系为c<a<b.
提示：依题意得，当时，有，为增函数；
又，且，因此有，
即有,.
（苏锡常一模）写出一个满足（，）的函数 .
答案：
（苏锡常一模）已知，为正实数，函数在上的最大值为，则在上的最小值为 .
答案：

（南师大信息卷）定义在D上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数 的上界.已知函数.
(1) 当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由；
(2) 若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
解：(1)时，
上单调递增，

故函数在上的值域为
又,
不存在常数，使都成立.
故函数在上不是有界函数.
(2) 若函数在上是以3为上界的有界函数,
则在上恒成立.
即

即在上恒成立.

令，
.
令，则.
令，则.
· 实数的取值范围为

（盐城二模）因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即=50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客的眼睛到地面的距离在区间内. 设支架高为㎝, ㎝, 顾客可视的镜像范围为(如图所示), 记的长度为（）.
(1) 当㎝时, 试求关于的函数关系式和的最大值；
(2) 当顾客的鞋在镜中的像满足不等关系（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求的取值范围.
第17题
A
B
C
D
E
F
G
A1
·

解: (1) 因为,,所以由,即,解得,
同理,由,即, 解得…………………………………2分
所以……… 5分
因为, 所以在上单调递减,
故当㎝时, 取得最大值为140㎝………………………………………………………………8分
另法: 可得, 因为在上单调递增,
所以在上单调递减, 故当㎝时,取得最大值为140㎝…………………………8分
(2)由,得,由,得,所以由题意知,即对恒成立……………………12分
从而对恒成立,解得,故的取值范围是…14分
(注: 讲评时可说明, 第(2)题中h的范围与AG的长度无关, 即去掉题中AG=100㎝的条件也可求解)

（盐城二模） 已知函数.
(1) 若, 求+在[2，3]上的最小值；
(2) 若时, , 求的取值范围；
(3) 求函数在[1，6]上的最小值.

20．解:(1)因为,且[2，3],所以,
当且仅当x=2时取等号,所以在[2，3]上的最小值为…………………………………4分
(2)由题意知,当时,,即恒成立……………… 6分
所以,即对恒成立,
则由,得所求a的取值范围是……………………………………………9分
(3) 记,则的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上的V型线,且射线的斜率均为.
①当,即时,易知在[1，6]上的最小值为……10分
②当a<1时,可知2a－1<a,所以
(ⅰ)当,得,即时,在[1，6]上的最小值为…11分
(ⅱ)当,得,即时,在[1，6]上的最小值为………12分
③当时,因为2a－1>a,可知,
(ⅰ)当,得,即时,在[1，6]上的最小值为…13分
(ⅱ)当且时,即,在[1，6]上的最小值为 ………14分
(ⅲ)当时,因为,所以在[1，6]上的最小值
为………………………………………………………………………………………… 15分
综上所述, 函数在[1，6]上的最小值为………………………………16分

（天一）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作．
（1）令，，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性
污染指数是否超标？
17. 解：（1）当时，t＝0； 　　　　　　
当时，（当时取等号），
∴，
即t的取值范围是． 　　　　　　 ……………………4分
（2）当时，记
则　　　　　　　 ……………………6分
∵在上单调递减，在上单调递增，
且．
故. ……………………12分
∴当且仅当时，.
故当时不超标，当时超标． ……………………14分

（南京三模）17．（本小题满分14分）
在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为(为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.
(1)将表示为的函数;
(2)设0<≤5,试确定下潜速度,使总的用氧量最少.

A
B
C
D
P1
P0
P2
P3
P4
（第18题）
（南通三模）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点出发，沿与AB的夹角为的方向射到边BC上点后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD、DA和AB上的、、处。
（1）若与重合，求的值；
（2）若落在A、两点之间，且。设，将五边形的面积S表示为的函数，并求S的最大值。
分析：为了刻画点位置，设，通过四个相似的直角三角形结合角表示,再由题意分别推算和多边形的面积，在得出多边形面积时用矩形面积减去四个直角三角形的面积.
解 ：（1）设，则，．
=，．
，，
．由于与重合，，所以，即．
（2）由（1），可知．
因为P4落在A、P0两点之间，所以，即．
S=S四边形ABCD

．
由于，所以．
故S的最大值为．

（南通一模）将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．
（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时.应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？
（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为小时，
而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继
续种植，求植树活动所持续的时间.
解：（1）设A组人数为，且，，
则A组活动所需时间；
B组活动所需时间．
令，即，解得．
所以两组同时开始的植树活动所需时间

而故．
所以当A、B两组人数分别为时，使植树活动持续时间最短．
（2）A组所需时间为1+（小时）
B组所需时间为（小时），

（南京一模） 对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.
(1)判断函数是否为“()型函数”，并说明理由；
(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时,
,若,试求的取值范围.

19．解: (1)函数是“()型函数”
因为由,得,所以存在这样的实数对,如
(2) 由题意得,,所以当时, ,其中,
而时,,且其对称轴方程为,
① 当,即时,在上的值域为,即,则在上的值域为,由题意得,此时无解
②当,即时,的值域为,即,所以则在 上的值域为,则由题意得且,解得
③ 当,即时,的值域为,即,则在上的值域为=,
则,解得.
综上所述,所求的取值范围是

（苏州期末）已知函数和函数.
(1) 若方程在上有两个不同的解,求实数m的取值范围;
(2) 若对任意,均存在,使得成立,求实数m的取值范围.