量子力学专题三(一维势场中的粒子).doc

量子力学专题三：
一维势场中的粒子
一、 一维薛定谔方程边界条件和处理办法（熟练掌握）
1、 边界条件：
A、 束缚态边界条件：
在无穷远处，找到粒子的概率为零，相应的波函数的值应该趋近于零；
B、 连续性边条件：
a、波函数连续；b、波函数的一阶偏导数连续。（注意：不一定同时成立！！）
C、周期性边界条件：
在求解角动量分量的本征函数时，利用周期性边界条件可以确定本征函数的归一化常数；在求解转子的能量本征函数时，亦可以利用周期性边界条件来确定其归一化常数。
2、 处理方法：
A、 列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解；
B、根据束缚态边条件，选择适合的解；
C、根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；
D、写出本征函数和对应的能量本征值。

二、一维方势阱：
1、一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论（熟练掌握）
A、非对称势阱：
a、解题步骤：
（1）写出各个区间的能量本行方程；
（2）根据写出的微分方程，求出其通解；
（3）根据连续性边界条件，确定其相位及其能量本征值的取值；
（4）根据概率诠释，对波函数进行归一化处理，确定待定常数；
（5）写出能量本征方程和对应的能量本征值。
b、具体过程：

（1）列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解；
在和区间，波函数为：

在区间，能量本征方程为：

对其变形，得

其中，（）。解得：

（2）根据束缚态边条件，选择适合的解；
此处的束缚态边条件，即粒子在无穷远处出现的概率为零，在求解本征方程——在和区间，波函数为：——时已经应用了！
（3）根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；
在处，波函数连续，有，则有。波函数变为

在处，波函数连续，有，则有（，，……）。则波函数变为：
（，，……）
对波函数进行归一化：

解得：

则本征函数为：
（，，……）
根据，可以得到和的关系：

解得：
（，，……）
（4）写出本征函数和对应的能量本征值：
无限深方势阱的能量本征值为：
（，，……）
其本征函数为：

注意：区间不要忘记了，还有概率为零的部分！！！
b、物理讨论：
（1） 基态能量的讨论：基态能级不为零，可以应用不确定关系进行证明；
附注：证明过程：
根据（不严格的说）

此处，粒子的运动范围为之间，即有

根据经典力学公式

则有

即

（2） 节点的讨论；波函数的节点（不严格的说法：波函数为零的点）的数量总是比其能级值多1，即第个能级的能量本征函数应该有个节点；
（3） 连续性的讨论：波函数连续，但是一阶导数不连续。（这和势是相反的！！！）
B、对称势阱：
其步骤与非对称势阱的解法相同，可以直接变换非对称势阱中的变量来进行求解！
简单步骤：
令

则有：
第一，其本征函数为：

（，，……）
当为奇数时，波函数为：

（，，，……）
当为偶数时，波函数为：

（，，，……）
第二，其能量本征值为：（因为能量本征值只与势阱的宽度和粒子的质量有关，这里这二者都没有发生变化，是故，粒子的本征值与不对称势阱的相同！）
（，，……）
2、 一维有限深方势阱束缚态问题的求解方法（掌握）
其步骤与一维无限深方势阱类似，但是这里需要注意，我们通过“连续性边条件”得到的解需要取舍。（为什么我们解出来的解的结果不使用对数表示呢？因为：对于一维势场而言，我们已经假定了，波函数应该有确定的宇称。）此时，我们需要从奇宇称、偶宇称分别进行讨论。并且，这里分析波函数时，出现了超越方程（对于考试来说，根本解不了，也不用解），这里我们需要记住图形的基本形状，尤其记住的特殊地位！！！
简单步骤：

其中，。
在和区间，能量本征函数为：

变形为：

在这些区间，。即有：

其中，。解得：
或者
根据舒服态边条件（在无穷远处，找到粒子的概率为零），有

在区间，能量本征方程为：

对其变形，得

其中，（）。解得：
或者或者
根据一维粒子的性质（当时，波函数有确定的宇称），则有
或者
分情况讨论：
若为奇宇称，则取，为了排除归一化常数的影响，我们对其取对数，再对其求导进行连续性边条件的讨论，即有

则有：

令，，则有：

加之，，，则有：

或者写成

若为偶宇称，则取，为了排除归一化常数的影响，我们对其取对数，再对其求导进行连续性边条件的讨论，即有

则有：

令，，则有：

加之，，，则有：

或者写成

三、势垒贯穿、反射、透射问题：（大题考察点！！）
1、势垒贯穿的求解方法、隧道效应的解释（熟练掌握）

A、 考虑的情况：
（1）求本征函数：
首先，考虑势垒外（），能量本征方程为：

其解的形式为：或者或者，其中。为了将其表示成入射波的形式，我们取，并且令入射波的波幅为1，因为在区域，不仅有入射波，还有反射波；在的区域，只有透射波。故波函数应写为：

其次，在势垒内（）——经典物理中，粒子不可能出现在该区域！！能量本征方程为：

解得：

其中，。
（2） 根据连续性，确定系数：
——在处：
其一，由在处连续，得

其二，由在处连续，得

——在处：
其一，由在处连续，得

其二，由在处连续，得

——求解方程，得到，的值。
（3） 求解反射系数、透射系数：
——透射系数：
——折射系数：
注意：这里应用了，，以及。
（4） 得到结论：

这个等式表明：概率守恒！！！
B、其它情况下，解题的步骤是一致的，甚至，连续点的选择都是一样的，不同的仅仅是能量本征方程；
C、隧道效应（tunnel effect）：当粒子的能量小于势垒时，透射系数并不为零，或者说成，粒子并没有完全反射回来。即粒子能够穿过比其更高的势垒的现象，叫做隧道效应。（这是粒子波动性的表现，因为根据经典力学，反射系数应该等于1的！）
2、 一维有限深方势阱的反射、透射的处理方法及其共振现象的发生（掌握）
其处理方法与势垒贯穿的方法一致！

四、 一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点及其应用（熟练掌握）
1、波函数的求解——不出题则已，一出题便是大题！

简单记住：Hermite多项式：

一定要记住：
A、 能量本征函数：
（，，，……）
B、能量本征函数：

其中，，。对于，我们只要记住：，，。
C、一些关系式：

第二个式子，可以推到处很多常用的公式，这些公式在求解某个态下，，的平均值是具有重要的作用。
D、命题规律的一些总结：
一维谐振子，可以用Schrodinger的因式分解法求解（此处的方法），也可以用Dirac的升降算符法来进行处理。（后者的解比较简单，是考察的重点！）
此处出题，一般是在某态下，求解平均值的问题（包括，等），出现这种问题（对于这种问题，只需要利用给出的第二个公式进行推理就可以了），至多出成势能发生变化的题（做一个简单的解题步骤说明！）
解题步骤：

将势能配方后得到：

令，则有：

比较方程：

其与谐振子势能为标准型时，只是，，则有：
——能量本征函数：
（，，，……）
即有：
（，，，……）
——能量本征函数：

其中，，。
2、基态的讨论：（这一点可以和无限深势阱一起考察，主要题型为简答题！）
A、 基态能量：当时，。
B、特征长度：对求一阶导数，当得到的的值，即其特征长度。

五、 d——函数的处理方法（了解）

能量本征方程表示为：

积分得：

由此式知，其波函数的一阶导数在处不连续。（在求解方程时，不能取相等！）