量子力学专题三(一维势场中的粒子).doc

量子力学专题三：一维势场中的粒子一、 一维薛定谔方程边界条件和处理办法（熟练掌握）1、 边界条件：A、 束缚态边界条件： 在无穷远处，找到粒子的概率为零，相应的波函数的值应该趋近于零；B、 连续性边条件：a、波函数连续；b、波函数的一阶偏导数连续。（注意：不一定同时成立！）C、周期性边界条件： 在求解角动量分量的本征函数时，利用周期性边界条件可以确定本征函数的归一化常数；在求解转子的能量本征函数时，亦可以利用周期性边界条件来确定其归一化常数。2、 处理方法：A、 列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解；B、根据束缚态边条件，选择适合的解；C、根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；D、写出本征函数和对应的能量本征值。二、一维方势阱：1、一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论（熟练掌握）A、非对称势阱：a、解题步骤：（1）写出各个区间的能量本行方程；（2）根据写出的微分方程，求出其通解；（3）根据连续性边界条件，确定其相位及其能量本征值的取值；（4）根据概率诠释，对波函数进行归一化处理，确定待定常数；（5）写出能量本征方程和对应的能量本征值。b、具体过程：（1）列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解； 在和区间，波函数为： 在区间，能量本征方程为：对其变形，得其中，（）。解得：（2）根据束缚态边条件，选择适合的解； 此处的束缚态边条件，即粒子在无穷远处出现的概率为零，在求解本征方程在和区间，波函数为：时已经应用了！（3）根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；在处，波函数连续，有，则有。波函数变为在处，波函数连续，有，则有（，）。则波函数变为：（，）对波函数进行归一化：解得：则本征函数为：（，）根据，可以得到和的关系：解得：（，）（4）写出本征函数和对应的能量本征值：无限深方势阱的能量本征值为：（，）其本征函数为： 注意：区间不要忘记了，还有概率为零的部分！b、物理讨论：（1） 基态能量的讨论：基态能级不为零，可以应用不确定关系进行证明；附注：证明过程：根据（不严格的说）此处，粒子的运动范围为之间，即有根据经典力学公式则有即（2） 节点的讨论；波函数的节点（不严格的说法：波函数为零的点）的数量总是比其能级值多1，即第个能级的能量本征函数应该有个节点；（3） 连续性的讨论：波函数连续，但是一阶导数不连续。（这和势是相反的！）B、对称势阱：其步骤与非对称势阱的解法相同，可以直接变换非对称势阱中的变量来进行求解！简单步骤：令则有： 第一，其本征函数为：（，）当为奇数时，波函数为：（，）当为偶数时，波函数为：（，）第二，其能量本征值为：（因为能量本征值只与势阱的宽度和粒子的质量有关，这里这二者都没有发生变化，是故，粒子的本征值与不对称势阱的相同！）（，）2、 一维有限深方势阱束缚态问题的求解方法（掌握）其步骤与一维无限深方势阱类似，但是这里需要注意，我们通过“连续性边条件”得到的解需要取舍。（为什么我们解出来的解的结果不使用对数表示呢？因为：对于一维势场而言，我们已经假定了，波函数应该有确定的宇称。）此时，我们需要从奇宇称、偶宇称分别进行讨论。并且，这里分析波函数时，出现了超越方程（对于考试来说，根本解不了，也不用解），这里我们需要记住图形的基本形状，尤其记住的特殊地位！简单步骤：其中，。 在和区间，能量本征函数为：变形为：在这些区间，。即有：其中，。解得：或者根据舒服态边条件（在无穷远处，找到粒子的概率为零），有 在区间，能量本征方程为：对其变形，得其中，（）。解得：或者或者根据一维粒子的性质（当时，波函数有确定的宇称），则有或者分情况讨论：若为奇宇称，则取，为了排除归一化常数的影响，我们对其取对数，再对其求导进行连续性边条件的讨论，即有则有：令，则有：加之，则有：或者写成若为偶宇称，则取，为了排除归一化常数的影响，我们对其取对数，再对其求导进行连续性边条件的讨论，即有则有：令，则有：加之，则有：或者写成三、势垒贯穿、反射、透射问题：（大题考察点！）1、势垒贯穿的求解方法、隧道效应的解释（熟练掌握）A、 考虑的情况：（1）求本征函数：首先，考虑势垒外（），能量本征方程为：其解的形式为：或者或者，其中。为了将其表示成入射波的形式，我们取，并且令入射波的波幅为1，因为在区域，不仅有入射波，还有反射波；在的区域，只有透射波。故波函数应写为：其次，在势垒内（）经典物理中，粒子不可能出现在该区域！能量本征方程为：解得：其中，。（2） 根据连续性，确定系数：在处：其一，由在处连续，得其二，由在处连续，得在处：其一，由在处连续，得其二，由在处连续，得求解方程，得到，的值。（3） 求解反射系数、透射系数：透射系数：折射系数：注意：这里应用了，以及。（4） 得到结论：这个等式表明：概率守恒！B、其它情况下，解题的步骤是一致的，甚至，连续点的选择都是一样的，不同的仅仅是能量本征方程；C、隧道效应（tunnel effect）：当粒子的能量小于势垒时，透射系数并不为零，或者说成，粒子并没有完全反射回来。即粒子能够穿过比其更高的势垒的现象，叫做隧道效应。（这是粒子波动性的表现，因为根据经典力学，反射系数应该等于1的！）2、 一维有限深方势阱的反射、透射的处理方法及其共振现象的发生（掌握）其处理方法与势垒贯穿的方法一致！四、 一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点及其应用（熟练掌握）1、波函数的求解不出题则已，一出题便是大题！简单记住：Hermite多项式：一定要记住：A、 能量本征函数：（，）B、能量本征函数：其中，。对于，我们只要记住：，。C、一些关系式：第二个式子，可以推到处很多常用的公式，这些公式在求解某个态下，的平均值是具有重要的作用。D、命题规律的一些总结：一维谐振子，可以用Schrodinger的因式分解法求解（此处的方法），也可以用Dirac的升降算符法来进行处理。（后者的解比较简单，是考察的重点！）此处出题，一般是在某态下，求解平均值的问题（包括，等），出现这种问题（对于这种问题，只需要利用给出的第二个公式进行推理就可以了），至多出成势能发生变化的题（做一个简单的解题步骤说明！）解题步骤：将势能配方后得到：令，则有：比较方程：其与谐振子势能为标准型时，只是，则有：能量本征函数：（，）即有：（，）能量本征函数：其中，。2、基态的讨论：（这一点可以和无限深势阱一起考察，主要题型为简答题！）A、 基态能量：当时，。B、特征长度：对求一阶导数，当得到的的值，即其特征长度。五、 d函数的处理方法（了解）能量本征方程表示为：积分得：由此式知，其波函数的一阶导数在处不连续。（在求解方程时，不能取相等！）