一元二次方程的根与系数的关系-(2).doc

一元二次方程的根与系数的关系
教学目标：
1、 知识技能：掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积。
能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题。
2．过程与方法：经过小组讨论和从特殊到一般的数学认知过程的体会。
3．情感态度价值观：利用韦达定理渗透爱国主义精神，激发学生发现问题，提高学生解决问题
的能力。
教学重点：一元二次方程根与系数的关系
教学难点：韦达定理的论证
教学过程：
一、复习
1、一元二次方程的一般式？
（板书） ，
2、一元二次方程有实数根的条件是什么？（
3、＞0 ，即△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？
反过来，若方程有两个不相等的实数根，说明△怎么样等？
4、一元二次方程的求根公式
二、引入
由求根公式可知，一元二次方程的根由系数、、确定，换句话就是说根与系数有关系，今天我们将进一步来学习并发现一元二次方程的根与系数到底还有没有其他关系。思考填表（幻灯）
解出下列各方程的两根和，并计算和的值。

方程
两个根
两根之和
两根之积

+
·

三、新授
师：谁能发现两根和、两根积与系数的关系？
（两根和由一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数得到；而两根和
是由常数项除以二次项系数所得）
（板书）若，，（假设成立）
则，
1、论证韦达定理
师：刚才列举了部分方程发现两根和、两根积与系数有这样的关系，那么是不
是所有的一元二次方程根与系数都有关系呢？
（板书） 证明：当△＞0时，由求根根式得：，

∴

当△=0时，
即

师：假设成立，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，因为是
法国数学家韦达最先发现的。
2、出示例题 （幻灯片）
1. 不解方程，求下列方程的两个根的和与积：
① ②
③ ④
2.已知方程 的一个根是2，求它的另一根及k的值.
3.设、是方程的两实根，则+=_________,
·=__________,=__________.
4. 已知一元二次方程的两根是-1、3，则b=_____c=_______.
5. 运用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的两个根是：、.
3、巩固练习
1、已知一元二次方程的两根为、，则______．
2、关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和2，则______，______．
3、一元二次方程的两实数根相等，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
4、已知方程的两个根为、，求的值.
5、关于的方程的两根同为负数，则（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
6、若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为（ ） A、－1或 B、－1 C、 D、不存在
(注意:的值不仅须满足,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即的值必须使得△才可以.)
7、已知、是方程的两实数根，求的值.

8、已知关于的方程的一个根是另一个根的2倍，求的值.

9、已知，是关于的方程的两个实数根．
（1）求，的值；
（2）若，是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

四、小结
今天我们学习了一元二次方程根与系数的关系，刚才通过填空题我们小结了一下，知道这两个关系我们可以用来求两根和、两根积，而且可以验算所求的根是否正确，更重要的是利用韦达定理可以简捷地解决许多有关一元二次方程的问题。
五、作业 教材16页练习题、17页第7题
教学设计：
为了能让学生更好的掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积，故在设计教案时前一段引入部分通过实例，这样能让学生有一个感性的认识。
能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题。
利用韦达定理渗透爱国主义精神，激发学生发现问题，提高学生解决问题
的能力
教学反思：
1、 学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够
熟练，思路不清。
2、韦达定理导入时，充分挖掘，调动学生的探究精神。
3、两根和、两根积有小部分同学有些混淆。