一元二次不等式及其解法.doc

一元二次不等式及其解法（知识讲解与典型例题）课标要求分析：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系。掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。课标建议在一元二次不等式的学习中，应注重了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。本周学习目标：1掌握一元二次不等式的基本解法；2了解一元二次不等式与相应函数，方程的联系，体会数形结合的数学思想；3初步掌握高次(分式)不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法；4能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型，求解不等式。本周学习重难点：一元二次不等式的基本解法及与相应函数、方程的联系。本周学习内容：1一元一次不等式的解法回顾为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备。2一元二次不等式的解法一元二次不等式的一般形式：由一元二次不等式的一般形式，即可发现其与二次函数和二次方程的联系，进而可以利用函数图象得到不等式的解集。设，两根为，。结合图象按判别式分类归纳下表：解集判别式R注意：（1）的情形要转化为的情形；（2），解集的变化。关于含参讨论注意：（1）对二次项系数讨论：定不等式类型、定图象（开口方向）类型；（2）对根的讨论：判别式（根的个数，交点个数）、根的分布（根的大小）；（3）对解集的讨论：画函数图象草图，根据图象定解集。（4）书写表达的规范。3高次（分式）不等式的解法简单高次不等式的解法：穿线法。注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿。单独考虑孤立点。（回顾变号零点存在定理，穿线法的原理还是一个数形结合的思想。）分式不等式：分式化整式。一边化0，改写成乘积式，注意分母不等于0的限制。特别小心“，”型的不等式。4无理及指对不等式的解法无理不等式：转化思想，等价不等式（组）或数形结合或，。5绝对值不等式的解法含一个绝对值： 或含两个或以上绝对值：零点分段法。也可利用绝对值的几何意义或结合函数图象求解。 本周典型例题：1解关于x的不等式：（1）（2）分析：注意对字母系数的讨论，分清谁是参数。提醒数形结合与数轴的运用。解析：（1）不等式可整理为 当，即或时，不等式解集为； 当，即或时，若，解集为R；若，解集为； 当，即时，不等式解集为。 （2）不等式可整理为 当，即或时，不等式解集为 当，即或时，若，解集为R;若，解集为； 若，即时，解集为。2解下列一元二次不等式：（1）； （2）；（3）； （4）。分析：熟悉一元二次不等式的基本解法，注意二次项系数的正负，化简变形，乘法公式。解析：（1）整理得，解集为。（2）整理得，解集为R。（3）整理得，解集为-1，3。（4）整理得，解集为。3已知二次函数，当时，有，解关于x的不等式。分析：考查二次函数与二次不等式的联系。深化对用函数图象解二次不等式的理解。解析：由时，有，说明不等式的解是， 进而方程的两根为。于是由根与系数的关系，求得故不等式即为，解得。4若不等式的解集为，求a和b的值。分析：考查二次方程与二次不等式的联系。注意二次项系数的正负。解析：不等式的解集为，故。利用二次不等式与方程的关系，有，解得。这个解符合，从而a和b的值均为-2。5若不等式对一切都成立，求实数m的取值范围。分析：本题是较为经典的综合运用二次不等式知识的题目。不等式含有参数m，分类讨论的思想是立刻要想到的，首先就是要“定二次项”。而后再运用判别式的知识解题。解析：由于二次项系数含有参数m，故先对二次项系数进行分类讨论。若，即m=2，则不等式化为，对一切都成立，故m=2符合题意。当时，依题意需满足，解得。综上，m的取值范围为。6解关于x的不等式：（1）；（2）；（3）分析：本题侧重考查含参二次不等式的解法。在前面的题目中对含参讨论有一定了解后，本题要求掌握系统的含参讨论方法。数形结合，定开口、定、定根（比大小）、画图、写解集。解析：（1）若，则为一元一次不等式，解集为； 当时，方程两根为； 若时，则解集为； 若，则，解集为； 若，则解集为； 若，则解集为。（2）若m=0，则为一元一次不等式，解集为R； 当m0时，二次项系数，；不等式化为。 若，则解集为； 若，则解集为。（3）若k=0，不等式变形为，解集为 若k0，不等式为一元二次不等式， 若，则， 方程的根为， ，且，解集为 若，则， 方程的根为， ，且， 解集为 若时， 方程的根为，解集为 若时，解集为R。 综上，若，解集为；若，解集为； 若,解集为;若；解集为R。7解关于x的不等式：（1）；（2）；（3）； （4）。分析：分式不等式转化为高次不等式，用穿线法来求解。其中要特别注意分母不为0。（1）原不等式等价于，解集为。（2）原不等式等价于，解集为。（3）原不等式等价于， 若，则解集为； 若，则解集为。（4）不等式可等价为， 若，则解集为； 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为.8解关于x的不等式：（1）；（2）；（3）。分析：利用不等式变形，但一定要注意进行的是等价变形，不能丢解。解析：（1）不等式等价为或，解得。（2）不等式等价为，解得。（3）数形结合 设，要使， 即左边函数图象在右边函数图象下方， 解方程， 由1， 由图得到： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集：； 当时，不等式解集为。9解关于x的不等式：（1）； （2）。分析：利用指对函数的单调性，变形不等式求解。尤其要注意定义域。解析：（1）由为增函数，不等式变形为，再变形为，即 ，解得。（2）原不等式等价为 所以解集为。10解关于x的不等式：。分析：转化为不等式组或利用几何性质求解，通过此题熟悉绝对值不等式的基本解法。解析：故解集为。11解关于x的不等式：；分析：含两个绝对值符号的，利用零点分段，结合图象讨论求解。解析：设，则，解不等式，得解集为。设，则，解不等式，得解集为。8