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一元二次不等式及其解法（知识讲解与典型例题）

课标要求分析：
　　经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系。掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。课标建议在一元二次不等式的学习中，应注重了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。
本周学习目标：
　　1．掌握一元二次不等式的基本解法；
　　2．了解一元二次不等式与相应函数，方程的联系，体会数形结合的数学思想；
　　3．初步掌握高次(分式)不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法；
　　4．能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型，求解不等式。
本周学习重难点：
　　一元二次不等式的基本解法及与相应函数、方程的联系。
本周学习内容：
1．一元一次不等式的解法回顾
　　为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备。
2．一元二次不等式的解法
　　一元二次不等式的一般形式：

　　由一元二次不等式的一般形式，即可发现其与二次函数和二次方程的联系，
　　进而可以利用函数图象得到不等式的解集。
　　设，两根为，。
　　结合图象按判别式分类归纳下表：
解集判别式

R

注意：
　　（1）的情形要转化为的情形；
　　（2），解集的变化。
　　关于含参讨论注意：
　　（1）对二次项系数讨论：定不等式类型、定图象（开口方向）类型；
　　（2）对根的讨论：判别式（根的个数，交点个数）、根的分布（根的大小）；
　　（3）对解集的讨论：画函数图象草图，根据图象定解集。
　　（4）书写表达的规范。
3．高次（分式）不等式的解法
　　简单高次不等式的解法：穿线法。
　　注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿。单独考虑孤立点。
　　（回顾变号零点存在定理，穿线法的原理还是一个数形结合的思想。）
　　分式不等式：分式化整式。
　　一边化0，改写成乘积式，注意分母不等于0的限制。特别小心“≥，≤”型的不等式。

4．无理及指对不等式的解法
　　无理不等式：转化思想，等价不等式（组）或数形结合
　　或，
　　，
　　。
5．绝对值不等式的解法
　　含一个绝对值：
　　 或
　　含两个或以上绝对值：零点分段法。
　　也可利用绝对值的几何意义或结合函数图象求解。
本周典型例题：
　　1．解关于x的不等式：
　　（1）
　　（2）
　　分析：注意对字母系数的讨论，分清谁是参数。提醒数形结合与数轴的运用。
　　解析：（1）不等式可整理为
　　　　　　　 当，即或时，不等式解集为；
　　　　　　　 当，即或时，若，解集为R；若，解集为；
　　　　　　　 当，即时，不等式解集为。
　　　　　（2）不等式可整理为
　　　　　　　 当，即或时，不等式解集为
　　　　　　　 当，即或时，若，解集为R;若，解集为；
　　　　　　　 若，即时，解集为。

　　2．解下列一元二次不等式：
　　（1）； （2）；
　　（3）； 　　　 （4）。
　　分析：熟悉一元二次不等式的基本解法，注意二次项系数的正负，化简变形，乘法公式。
　　解析：（1）整理得，解集为。
　　　　　（2）整理得，解集为R。
　　　　　（3）整理得，解集为[-1，3]。
　　　　　（4）整理得，解集为。
　　3．已知二次函数，当时，有，解关于x的不等式。
　　分析：考查二次函数与二次不等式的联系。深化对用函数图象解二次不等式的理解。
　　解析：由时，有，说明不等式的解是，
　　　　 进而方程的两根为。
　　　　　于是由根与系数的关系，，求得
　　　　　故不等式即为，解得。

　　4．若不等式的解集为，求a和b的值。
　　分析：考查二次方程与二次不等式的联系。注意二次项系数的正负。
　　解析：不等式的解集为，故。
　　　　　利用二次不等式与方程的关系，
　　　　　有，解得。这个解符合，从而a和b的值均为-2。
　　5．若不等式对一切都成立，求实数m的取值范围。
　　分析：本题是较为经典的综合运用二次不等式知识的题目。不等式含有参数m，分类讨论的思想是立刻要想到的，首先就是要“定二次项”。而后再运用判别式的知识解题。
　　解析：由于二次项系数含有参数m，故先对二次项系数进行分类讨论。
　　　　　若，即m=2，则不等式化为，对一切都成立，故m=2符合题意。
　　　　　当时，依题意需满足，解得。
　　　　　综上，m的取值范围为。

　　6．解关于x的不等式：
　　（1）；（2）；（3）
　　分析：本题侧重考查含参二次不等式的解法。在前面的题目中对含参讨论有一定了解后，本题要求掌握系统的含参讨论方法。数形结合，定开口、定△、定根（比大小）、画图、写解集。
　　解析：
　　（1）若，则为一元一次不等式，解集为；
　　 　　当时，方程两根为；
　　 　　若时，则解集为；
　　　　 若，则，解集为；
　　 　　若，则解集为；
　　 　　若，则解集为。
　　（2）若m=0，则为一元一次不等式，解集为R；
　　 　　当m≠0时，二次项系数，；不等式化为。
　　　　 若，则解集为；
　　 　　若，则解集为。
　　（3）若k=0，不等式变形为，解集为
　　 　　若k≠0，不等式为一元二次不等式，
　　 　　若，则，
　　 　　方程的根为，
　　 　　，且，解集为
　　 　　若，则，
　　 　　方程的根为，
　　 　　，且，
　　 　　解集为
　　 　　若时，，
　　 　　方程的根为，解集为
　　 　　若时，，解集为R。
　　 　　综上，若，解集为；若，解集为；
　　 　　若,解集为;若；解集为R。

　　7．解关于x的不等式：
　　（1）；（2）；
　　（3）；　　　 （4）。
　　分析：分式不等式转化为高次不等式，用穿线法来求解。其中要特别注意分母不为0。
　　（1）原不等式等价于，解集为。
　　（2）原不等式等价于，解集为。
　　（3）原不等式等价于，
　　　　 若，则解集为；
　　　　 若，则解集为。
　　（4）不等式可等价为，
　　　　 若，则解集为；
　　　　 若，解集为；
　　　　 若，解集为；
　　　　 若，解集为；
　　　　 若，解集为.

　　8．解关于x的不等式：
　　（1）；（2）；（3）。
　　分析：利用不等式变形，但一定要注意进行的是等价变形，不能丢解。
　　解析：
　　（1）不等式等价为或，解得。
　　（2）不等式等价为，解得。
　　（3）数形结合 设，要使，
　　　　 即左边函数图象在右边函数图象下方，
　　　　 解方程，
　　　　 由[1]，，，
　　　　 由图得到：
　　　　 当时，不等式解集为：；
　　　　 当时，不等式解集：；
　　　　 当时，不等式解集为。

　　9．解关于x的不等式：
　　（1）； （2）。
　　分析：利用指对函数的单调性，变形不等式求解。尤其要注意定义域。
　　解析：（1）由为增函数，不等式变形为，再变形为，即
　　　　　　　 ，解得。
　　　　　（2）原不等式等价为
　　　　　　　 所以解集为。

　　10．解关于x的不等式：。
　　分析：转化为不等式组或利用几何性质求解，通过此题熟悉绝对值不等式的基本解法。
　　解析：
　　　　　故解集为。

　　11．解关于x的不等式：；
　　分析：含两个绝对值符号的，利用零点分段，结合图象讨论求解。
　　解析：
　　设，则，解不等式，得解集为。
　　设，则，解不等式，得解集为。

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