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学案15 导数的综合应用
导学目标： 1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．
自主梳理
1．已知函数单调性求参数值范围时，实质为恒成立问题．
2．求函数单调区间，实质为解不等式问题，但解集一定为定义域的子集．
3．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．
自我检测
1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为________．
2．(2011·扬州模拟)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(x)＝ax·g(x)
(a>0，且a≠1)，＋＝，则a的值为____________．
3．(2011·厦门质检)已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m为________．
4．函数f(x)＝ex (sin x＋cos x)在区间上的值域为______________．
5．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
探究点一 讨论函数的单调性
例1 已知函数f(x)＝x2e－ax (a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．
变式迁移1 设a>0，函数f(x)＝.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值．
探究点二 用导数证明不等式
例2 已知f(x)＝x2－aln x(a∈R)，
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当x>1时，x2＋ln x<x3.
变式迁移2 (2010·安徽)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
探究点三 实际生活中的优化问题
例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
变式迁移3 甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．
(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？
转化与化归思想
例 (14分)(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.
(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；
(2)证明：(x－1)f(x)≥0.
【答题模板】
(1)解 ∵f′(x)＝＋ln x－1＝ln x＋，x>0，[2分]
∴xf′(x)＝xln x＋1.由xf′(x)≤x2＋ax＋1，
得a≥ln x－x，令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝－1，[5分]
当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0，
∴x＝1是最大值点，g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1，
∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[8分]
(2)证明 由(1)知g(x)＝ln x－x≤g(1)＝－1，∴ln x－x＋1≤0.(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键．)[10分]
当0<x<1时，x－1<0，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝xln x＋ln x－x＋1≤0，
∴(x－1)f(x)≥0.[12分]
当x≥1时，x－1>0，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝ln x＋xln x－x＋1
＝ln x－x≥0，
∴(x－1)f(x)≥0.
综上，(x－1)f(x)≥0.[14分]
【突破思维障碍】
本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题．
1．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．
2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；
(4)回到实际问题，作出解答．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2010·无锡模拟)已知曲线C：y＝2x2－x3，点P(0，－4)，直线l过点P且与曲线C相切于点Q，则点Q的横坐标为________．
2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝________.
3．(2011·盐城调研)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，则a＝f(0)、b＝f()、c＝f(3)的大小关系为________________．
4．函数f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t在(－1,1)上是增函数，则t的取值范围是________．
5．若函数f(x)＝，且0<x1<x2<1，设a＝，b＝，则a，b的大小关系为________．
6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)
7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为_______________m3.
8．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围为________．
二、解答题(共42分)
9．(12分)(2011·徐州模拟)设函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围．
10．(14分)(2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
11．(16分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公共切线．
(1)求a、b的值；
(2)对任意x>0，试比较f(x)与g(x)的大小．
答案 自我检测
1．0<a<1 2. 3.－2 4. 5.6
课堂活动区
例1 解题导引 求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f′(x)＝0，求出x值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．
解 ∵f(x)＝x2e－ax (a>0)，
∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax
＝e－ax(－ax2＋2x)．
令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0，
得0<x<.
∴f(x)在(－∞，0)，上是减函数，
在上是增函数．
①当0<<1，即a>2时，f(x)在[1,2]上是减函数，
∴f(x)max＝f(1)＝e－a.
②当1≤≤2，即1≤a≤2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，∴f(x)max＝f＝4a－2e－2.
③当>2，即0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝4e－2a.
综上所述，
当0<a<1时，f(x)的最大值为4e－2a；
当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a－2e－2；
当a>2时，f(x)的最大值为e－a.
变式迁移1 解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a·(a>0)，
由f′(x)＝a·>0，得0<x<e；
由f′(x)<0，得x>e.
故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
(2)∵f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在[a,2a]上的最小值[f(x)]min＝min{f(a)，f(2a)}．
∵f(a)－f(2a)＝ln，
∴当0<a≤2时，[f(x)]min＝ln a；
当a>2时，[f(x)]min＝.
例2 解题导引 利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．
(1)解 f′(x)＝x－＝(x>0)，
若a≤0时，f′(x)>0恒成立，
∴函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
若a>0时，令f′(x)>0，得x>，
∴函数f(x)的单调增区间为(，＋∞)，减区间为(0，)．
(2)证明 设F(x)＝x3－(x2＋ln x)，
故F′(x)＝2x2－x－.
∴F′(x)＝.∵x>1，∴F′(x)>0.
∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数．
又F(x)在(1，＋∞)上连续，F(1)＝>0，
∴F(x)>在(1，＋∞)上恒成立．
∴F(x)>0.
∴当x>1时，x2＋ln x<x3.
变式迁移2 (1)解 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，
知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，
f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，
单调递增区间是(ln 2，＋∞)，
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，
g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增，
于是当a>ln 2－1时，
对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，
即ex－x2＋2ax－1>0，
故ex>x2－2ax＋1.
例3 解 (1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．
(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)
＝(12－x)(18＋2a－3x)．
令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．
∵3≤a≤5，
∴8≤6＋a≤.
在x＝6＋a两侧L′的值由正变负．
∴①当8≤6＋a<9，即3≤a<时，
Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)．
②当9≤6＋a≤，即≤a≤5时，
Lmax＝L(6＋a)＝(6＋a－3－a)[12－(6＋a)]2
＝4(3－a)3.
所以Q(a)＝
综上，若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；
若≤a≤5，则当每件售价为(6＋a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝4(3－a)3(万元)．
变式迁移3 解 (1)因为赔付价格为S元/吨，
所以乙方的实际年利润为ω＝2 000－St.
由ω′＝－S＝，
令ω′＝0，得t＝t0＝()2.
当t<t0时，ω′>0；
当t>t0时，ω′<0.
所以当t＝t0时，ω取得最大值．
因此乙方获得最大利润的年产量为()2吨．
(2)设甲方净收入为v元，则v＝St－0.002t2.
将t＝()2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：
v＝－.
又v′＝－＋＝，
令v′＝0，得S＝20.
当S<20时，v′>0；
当S>20时，v′<0，
所以S＝20时，v取得最大值．
因此甲方向乙方要求赔付价格S＝20元/吨时，可获得最大净收入．
课后练习区
1．－1 2.5 3.c<a<b
4．t≥5
解析 ∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
f′(x)＝－3x2＋2x＋t，
∴在(－1,1)上f′(x)≥0，
即－3x2＋2x＋t≥0，∴t≥3x2－2x.
设函数g(x)＝3x2－2x，由于g(x)的图象是对称轴为x＝，开口向上的抛物线，故g(x)<g(－1)，
故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立⇔t≥g(－1)，
即t≥5.故t的取值范围是t≥5.
5．a>b
解析 f′(x)＝，令g(x)＝xcos x－sin x，
则g′(x)＝－xsin x＋cos x－cos x＝－xsin x，
∵0<x<1，∴g′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，
故f′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b.
6.d
解析 如图所示，为圆木的横截面，
由b2＋h2＝d2，
∴bh2＝b(d2－b2)．
设f(b)＝b(d2－b2)，
∴f′(b)＝－3b2＋d2.
令f′(b)＝0，由b>0，
∴b＝d，且在(0，d)上f′(b)>0，在[d，d]上f′(b)<0.
∴函数f(b)在b＝d处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝d.
7．300
解析 设长为x m，则宽为(20－x)m，仓库的容积为V，则V＝x(20－x)·3＝－3x2＋60x，V′＝－6x＋60，
令V′＝0得x＝10.
当0<x<10时，V′>0；当x>10时，V′<0，
∴x＝10时，V最大＝300 (m3)．
8．(－1,0]
解析 f′(x)＝≥0，解得－1≤x≤1.
由已知得(m,2m＋1)⊆[－1,1]，
即，解得－1<m≤0.
9．解 (1)当k＝0时，f(x)＝－3x2＋1，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，
单调递减区间为(0，＋∞)．
当k>0时，f′(x)＝3kx2－6x＝3kx(x－)．
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(，＋∞)，单调减区间为(0，)．………………(6分)
(2)当k＝0时，函数f(x)不存在极小值．当k>0时，依题意f()＝－＋1>0，
即k2>4，由条件k>0，
∴k的取值范围为(2，＋∞)．…………………………………………………………(12分)
10．解 (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，
每年能源消耗费用为C(x)＝，……………………………………………………(2分)
再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝，………………………………………………………………………(4分)
而建造费用为C1(x)＝6x.…………………………………………………………………(6分)
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x (0≤x≤10)．………………………………………………………………(8分)
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，
即＝6，解得x＝5，x＝－(舍去)．…………………………………………(10分)
当0<x<5时，f′(x)<0，
当5<x<10时，f′(x)>0，………………………………………………………………(12分)
故x＝5是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．……………………………(14分)
11．解 (1)f(x)＝ln x的图象与x轴的交点坐标是(1,0)，
依题意，得g(1)＝a＋b＝0.①……………………………………………………………(2分)
又f′(x)＝，g′(x)＝a－，
且f(x)与g(x)在点(1,0)处有公共切线，
∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1.②……………………………………………………(4分)
由①②得a＝，b＝－.…………………………………………………………………(6分)
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，则
F(x)＝ln x－(x－)＝ln x－x＋，
∴F′(x)＝－－……………………………………………………………………(8分)
＝－(－1)2≤0.
∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．………………………………………………………(10分)
当0<x<1时，F(x)>F(1)＝0，即f(x)>g(x)；……………………………………………(12分)
当x＝1时，F(1)＝0，即f(x)＝g(x)；…………………………………………………(14分)
当x>1时，F(x)<F(1)＝0，即f(x)<g(x)．
综上，0<x<1时，f(x)>g(x)；
x＝1时，f(x)＝g(x)；
x>1时f(x)<g(x)．………………………………………………………………………(16分)
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