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海门市2014届高三第一学期期末调研考试
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.设，则_________.
2.已知集合，若，则实数的取值范围
3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），所得数据如图。则在这100株树木中，底部周长不小于100cm的有______株。
4.设向量且，若，则实数_________.
5.如图所示的流程图的运行结果是_______.

6.将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥D 体积

7.设等差数列的前项和为，若，，当最大时，_______.

8.若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆相交的概率

9.设函数，的值域为，则实数的取值范围 .

10.已知，且，则________.

11.已知函数满足，当时，，若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围 .
12.设椭圆C:和圆O:，若椭圆C上存在一点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为，满足,则椭圆C的离心率的取值范围是

13.设数列的通项公式，则满足不等式的正整数的集合
14.设，则满足不等式的的取值范围
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解：在中，满足，
（1） 求角的大小；
（2） 设，为垂足，若 ， 求的值.

16.如图四棱锥中，底面为矩形， ，为上一点
求证：（1）平面平面；
（2）若平面，求证：为的中点.

17. 某企业有两种型号的家电产品参加家电下乡活动，若企业投放两种型号的家电产品的价值分别为万元，则农民购买家电产品得到的补贴分别为万元，已知某企业投放两种型号的家电产品的总价值为万元，且投放两种型号的家电产品的金额均不低于万元
（1）请选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求定义域
（2）问两种型号的家电产品各投放多少万元时，农民得到的总补贴最多？

18. 设椭圆的离心率，圆是以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆，直线与圆O相切。
（1）求椭圆的方程
（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以为直径作圆。若圆与轴交于两点，求的面积为；
（3）如图， ，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为
求证：为定值．

19. 已知函数，，其中函数的图像在点处的切线平行于轴。
（1）确定的关系
（2）若，试讨论函数的单调性
（3）设斜率为的直线与函数的图像交于，求证

20.数列的前项和为，满足
（1） ，
①设，若。求证：数列是等比数列；
②若数列是等差数列，求的值；
（2）当时，若数列是等差数列，，且对任意，有，求的取值范围

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数学参考答案与评分标准
1. ；2. ；3. ；4. ；5.； 6. ； 7. ； 8. ； 9. ； 10. ；
11. ； 12. ；13. {1，2，3}；14. .
15. 解：（1），
由正弦定理得：, ………2分
又在中，，
，
即， ………4分
又在中，，
， ………6分
又，； ………7分
（2） 由余弦定理，，
，，，
， ………9分
，即，
， ………11分
. ………14分
16.（1）证明：底面为矩形，，
又，
，，
平面， ………4分
又，
平面平面； ………7分
（2）连接，交于，连接，
平面，
平面平面，
，
， ………11分
底面为矩形，
是的中点，即：，
，
为的中点. ………14分
17. 解：（1）设该企业投放型产品的金额为万元，
则投放型产品的金额为万元，
农民得到的总补贴
， ………3分
由得：，
即的定义域为； ………6分
（2）
令，得， ………7分
1°若，即，则， 在为减函数，
当时，f(x)有最大值； ………9分
2°若，即，则

+

当时，有最大值； ………11分
3°若，即，则，在是增函数，
当时，有最大值． ………13分
当时，投放、型产品分别是万元、万元时，农民得到的总补贴最
多；当时，投放、型产品分别是万元、万元时，农民得到
的总补贴最多；当时，投放、型产品分别是万元、万元时，农民得
到的总补贴最多． ………14分
18. 解：（1）圆的方程为，
直线与圆O相切，
，即：， ………2分
又，
，
，
椭圆的方程：； ………4分
（2）由题意，可得， ………5分
圆的半径，， ………7分
的面积为； ………8分
（3）由题意可知，
的斜率为，直线的方程为，
由，得，
其中，，， ………10分
则直线的方程为，
令，则， 即， ………12分
直线的方程为，
由，解得，， ………14分
的斜率 ，
（定值）． ………16分
19. 解：（1），
，
由题意得，
； ………2分
（2），
当时，，
当时，，函数的单调减区间为；
当时，，函数的单调增区间为；………4分
当时，即，，
函数的单调减区间为；
函数的单调增区间为和； ………6分
当时，即，，
函数的单调增区间为； ………8分
当时．即，，
函数的单调减区间为；
函数的单调增区间为和； ………10分
（3）由题设：，

① ………12分
令，则，
时，，
函数在是减函数，
而，时，
，，
，即， ② ………14分
令，
则，
时，，
在是增函数，
时，，
，即 ③
由①②③得． ………16分
20.解：（1），，
①令，可得，即，
令，可得，即，
,
， ① ………2分
当时，， ②
①式-②式，得，
，即:， ………4分
又，，
，
数列是等比数列； ………6分
②数列是等差数列，
设，
，
， ………8分
，
； ………10分
（2）当时，
数列是等差数列，，
，
，
，， ………12分
，
，
，
即， ………14分
，，
令，
，
当时，，
在上是增函数，而，，