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补充讲义

求和约定与张量概念

雷君相 编

上海理工大学

二00九年九月十六日

求和约定和张量概念
(以三维空间为例)
一、 求和约定
1．字母标号法
① 一点位置：──── （）
② 一点位移：──── （）
③ 轴向单位矢：────（）
④ 方向单位矢：──── （）
⑤ 一点应力状态：
── ()
──
⑥ 一点应变状态：──
──
⑦ 偏导数：
────
────
注：1）角标符号：成组的符号和数组都可用一个带下角标的符
号表示，这种符号叫做角标符号。
2) 角标符号后的括号在不引起误会的情况下常可省略。
3）如一个角标符号带有m个角标，每个角标取n个值，则
该角标符号代表了个元素。如：，有个元素。
2.求和标号（哑标）:
同一项中的重复标号表示求和，顺序取1,2,3，……。
哑标
A 二重哑标
三重哑标
哑标：算式中重复出现的角标叫做哑标。
求和约定：在算式的某一项中，如果有某个角标重复出现，就表示要对该角标自1至n的所有元素求和。
例： 即：（i=1,2，3）
说明：
（1）求和标号可用任何字母表示（或代替）。
……

（2）和式相乘，每一和式取不同标号。
= （二重哑标）
（）（）（四重哑标）
=++
=++
=++
而（）（）=（二重哑标）
=++++++++
A= B= AB=
3.自由标号：
同一项中不重复出现的标号称为自由标号。
= j—求和标号，j=1,2,3；
i—自由标号，i取1,2,3之一。
（线性代数方程）
i为方程的序号，代表等式的数目
又

即：自由标号要改统一改，否则便不改。
例：
① （平衡微分方程）
i：自由标；j：哑标
，。
，。
，。
② （应力边界条件） i：自由标；j：哑标
i=1 ，
i=2 ，
i=3 ，
③ （或） （几何方程）

4.Kronecker delta：

即
1）的运算公式：
=

=
=

2）与单位矢的关系
，……。
3）与方向余弦的关系
新\旧

: 第一标号—原坐标
第二标号—新坐标
第一行为轴与x，y，z轴的方向余弦
第二行为轴与x，y，z轴的方向余弦
第三行为轴与x，y，z轴的方向余弦
= ，=
即：

且=

又

4）的应用
（1）更换字母标号：
①
（）
，即：。
②求

（2）简写方程：
①，
。
② （矩阵表示）：
二．张量概念
标量：零阶张量：
矢量：一阶张量：
张量：二阶张量： 分量（或元素）
1.标量（Scalar）
绝对标量
与坐标选取无关的量称为不变量。
2. 矢量（Vector）

矢量与坐标选取有关，坐标系变化时要服从一定的规律。
（旧坐标中）
（新坐标中）

即 即为矢量转轴公式（坐标变换）。

引申定义：
已知：三个数，一个矢量， 若----不变量，则----构成矢量；若---矢量， 则---不变量。
证明：
（不变量）
又
为不变量。
则
故 。
3.张量（Tensor）
定义：有量在坐标转换过程中满足：
（二阶张量的转轴公式）

规律的量称量为张量，记为。
引申定义一：
已知：九个数，两个矢量 ，若——不变量（双线性组合），则。
证明：
而

则（定义）
。
引申定义二：
已知：九个数，一个矢量，若，而， 则。
证明：
给乘矢量得
（引申定义）
。
例：证明：一点的应力状态是张量。
单位面积上的内力----应力矢（全应力）

设的面积为1，则面的面积为

而，
即
（引申定义二）
是张量。
4.张量的矩阵、种类
； 单位矩阵

1）对称张量：
六个独立分量，。
2）反对称张量：
三个独立变量

3）共轭张量：
（反）对称张量（）转置后→（），则互为共轭张量。
5. 张量的加减和分解：
1） 加减
即对应元素的加减。可能出现零张量。
2） 分解为对称张量和反对称张量
设其共轭
，为对称张量；
，为反对称张量。
而。
例：应力张量：可分解为
即 。
6．张量的不变量和主方向：

设单位方向矢，张量
，，若，则λ=const.为主值。
所以，就是的主方向。

练习题
1. 写出下列各式的具体表达式：
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) 。
2. 简写下列各式：
（a）；
（b）。
3. 证明下列等式：
（a） ；
（b） ；
（c） ，其中，。