资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．下列结论中正确的是（）
A.当时，无最大值 B.当时，的最小值为3
C.当且时， D.当时，
2．已知，分别是圆和圆上的动点，点在直线上，则的最小值是（）
A. B.
C. D.
3．函数，则函数的零点个数为（ ）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
4．素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式（是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第个梅森素数是,它是目前最大的梅森素数.已知第个梅森素数为,第个梅森素数为,则约等于（参考数据：）（）
A. B.
C. D.
5．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（）
A. B.
C. D.
6．已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
7．已知扇形周长为，圆心角为，则扇形面积为（ ）
A. B.
C. D.
8．当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）
A. B.
C. D.
9．函数对于定义域内任意，下述四个结论中，
①
②
③
④
其中正确的个数是（）
A.4 B.3
C.2 D.1
10．函数的大致图像为（）
A. B.
C. D.
11．已知函数y＝a＋sin bx(b＞0且b≠1)的图象如图所示，那么函数y＝logb(x－a)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
12．y＝sin(2x-)－sin2x的一个单调递增区间是
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（写出一般式）___
14．函数单调递增区间为_____________
15．正三棱柱的侧面展开图是边长为6和12的矩形，则该正三棱柱的体积是_____.
16．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数，，.
（1）若函数与的图象的一个交点的横坐标为2，求a；
（2）若，求证：.
18．已知的三个内角所对的边分别为，且.
（1）角的大小；
（2）若点在边上，且，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，若，试求的长.
19．（1）已知：，若是第四象限角，求，的值；
（2）已知，求的值.
20．某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？
（2）该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求月最大利润；如果不获利，求月最大亏损额.
21．已知关于x，y的方程C：
（1）当m为何值时，方程C表示圆；
（2）在（1）的条件下，若圆C与直线l：相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值.
22．在平面直角坐标系中，已知角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（-，）
（Ⅰ）求cos（α-π）的值；
（Ⅱ）若tanβ=2，求的值
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、D
【解析】利用在单调递增，可判断A；利用均值不等式可判断B，D；取可判断C
【详解】选项A，由都在单调递增，故在单调递增，因此在上当时取得最大值，选项A错误；
选项B，当时，，故，当且仅当，即时等号成立，由于，故最小值3取不到，选项B错误；
选项C，令，此时，不成立，故C错误；
选项D，当时，，故，当且仅当，即时，等号成立，故成立，选项D正确
故选：D
2、B
【解析】由已知可得，，求得关于直线的对称点为，则，计算即可得出结果.
【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径
设关于直线的对称点为，则解得，
则
因为，分别在圆和圆上，所以，，
则
因为，所以
故选：B.
3、D
【解析】
函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数⇔函数f（x）与函数y=log4x的图象交点个数．
画出函数f（x）与函数y=log4x的图象（如上图），其中=的图像可以看出来，
当x增加个单位，函数值变为原来的一半，即往右移个单位，函数值变为原来的一半；依次类推；根据图象可得函数f（x）与函数y=log4x的图象交点为5个
∴函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数为5个．
故选D
4、C
【解析】根据两数远远大于1, 的值约等于,设,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出的值.
【详解】因为两数远远大于1,所以的值约等于,设,
因此有.
故选C
【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.
5、B
【解析】由题，根据向量加减数乘运算得，进而得.
【详解】解：因为在“赵爽弦图”中，若，
所以
，
所以，所以，
所以.
故选：B
6、A
【解析】由题中条件，推导出，，，，由此能求出的值
【详解】解：函数，
，
，
，
，
故选A
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
7、B
【解析】周长为则，代入扇形弧长公式解得，代入扇形面积公式即可得解.
【详解】由题意知，代入方程解得，
所以
故选：B
【点睛】本题考查扇形的弧长、面积公式，属于基础题.
8、B
【解析】根据时指数函数与对数函数均为定义域内的增函数即可得答案.
【详解】解：因，函数为指数函数，为对数函数，
故指数函数与对数函数均为定义域内的增函数，
故选：B.
9、B
【解析】利用指数的运算性质及指数函数的单调性依次判读4个序号即可.
【详解】，①正确；
，
，②错误；
，由，且得
，
故，③正确；
由为减函数，可得，④正确.
故选：B.
10、D
【解析】分析函数的定义域、奇偶性，以及的值，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的，，则函数的定义域为，排除C选项；
，，
所以，函数为偶函数，排除B选项，
因为，排除A选项.
故选：D.
11、C
【解析】由三角函数的图象可得a＞1，且最小正周期T＝＜π，所以b＞2，则y＝logb(x－a)是增函数，排除A和B；当x＝2时，y＝logb(2－a)＜0，排除D，故选C.
12、B
【解析】，由，得，，时，为，故选B
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、x+y-5=0 或2x-3y=0
【解析】当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距相等，可得其方程为2x﹣3y＝0；当直线不经过原点时，可得它的斜率为﹣1，由此设出直线方程并代入P的坐标，可求出其方程为x+y﹣5＝0，最后加以综合即可得到答案
【详解】当直线经过原点时，设方程为y＝kx，
∵直线经过点P（3，2），∴2＝3k，解之得k，
此时的直线方程为yx，即2x﹣3y＝0；
当直线不经过原点时，设方程为x+y+c＝0，
将点P（3，2）代入，得3+2+c＝0，解之得c＝﹣5，此时的直线方程为x+y﹣5＝0
综上所述，满足条件的直线方程为：2x﹣3y＝0或x+y﹣5＝0
故答案为：x+y-5=0 或2x-3y=0
【点睛】本题给出直线经过定点且在两个轴上的截距相等，求直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题
14、
【解析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得.
【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是，
函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，
于是得在是单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
15、或
【解析】分两种情况来找三棱柱的底面积和高，再代入体积计算公式即可
【详解】因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和12的矩形，所以有以下两种情况，
①6是下底面的周长，12是三棱柱的高，此时，下底面的边长为2，面积为，所以正三
棱柱的体积为12
②12是下底面的周长，6是三棱柱的高，此时，下底面的边长为4，面积为，所以正三
棱柱的体积为24，
故答案为或
【点睛】本题的易错点在于只求一种情况，应该注意考虑问题的全面性．分类讨论是高中数学的常考
思想，在运用分类讨论思想做题时，要做到不重不漏
16、
【解析】当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝ ＋1，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝,故填.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据题意，分析可得，变形解可得答案；
（2）根据题意，设，结合二次函数的性质分析可得，当时，恒成立，即可得结论
【小问1详解】
根据题意，若函数与的图象的一个交点的横坐标为2，
则，变形可得或，
解可得；无解；
故；
【小问2详解】
证明：设，
当时，，其对称轴为，又由，则其对称轴，
又由，在区间，上为增函数，
则，
当时，，开口向上，
当时，，必有恒成立，
综合可得：当是，恒成立，即恒成立
18、 (1)；(2)；(3).
【解析】（1）由条件知，结合正弦定理得，整理得，可得，从而得．（2）由，得．在中，由正弦定理得．在中，由余弦定理可得．所以 ．（3）由，可得．在中，由余弦定理得
试题解析：
（1），
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
（2）由，得，
在中，由正弦定理知，
∴，
解得，
设，
在中，由余弦定理得，
∴，
整理得
解得，
∴ ；
（3）∵，
∴，
在中，由余弦定理得
∴.
19、（1），；（2）
【解析】（1）由同角间的三角函数关系计算；
（2）弦化切后代入计算
【详解】（1）因为，若是第四象限角，
所以，；
（2），则
20、（1）400吨；（2）该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.
【解析】
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，化简后再利用基本不等式即可求出最小值．
（2）该单位每月获利为元，则，由的范围，利用二次函数的性质得到的范围即可得结论
【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当，即时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元.
（2）不获利，设该单位每月获利为元，
则
，
因为，
所以时取最大值，时取最小值，
所以.
故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.
【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
21、（1）m＜5；（2）m＝4
【解析】（1）求出圆的标准方程形式，即可求出m的值；
（2）利用半径，弦长，弦心距的关系列方程求解即可
【详解】解：（1）方程C可化为，
显然只要5−m＞0，
即m＜5时，方程C表示圆；
（2）因为圆C的方程为，其中m＜5，
所以圆心C（1，2），半径，
则圆心C（1，2）到直线l：x＋2y−4＝0的距离为，
因为|MN|＝，所以|MN|＝，
所以，
解得m＝4
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键
22、（I）；（II）.
【解析】由任意角三角函数的定义可得，，
（Ⅰ）可求
（Ⅱ）有，，利用诱导公式及同角基本关系即可化简求解
【详解】解：由题意可得cosα=，sin，
（Ⅰ）cos（α-π）=-cosα=，
（Ⅱ）∵tanβ=2，tanα=，
∴====
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系的基本应用，属于基础试题．
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