四川省绵阳市2016届高三上学期第一次诊断数学试卷(文科) Word版含解析.doc

2015-2016学年四川省绵阳市高三（上）第一次诊断数学试卷（文科）

一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．集合S={3，4，5}，T={4，7，8}，则S∪T=（　　）
A．{4} B．{3，5，7，8} C．{3，4，5，7，8} D．{3，4，4，5，7，8}
2．命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为（　　）
A．∃x0∈N，x02+2x0≤3 B．∀x∈N，x2+2x≤3
C．∃x0∈N，x02+2x0＜3 D．∀x∈N，x2+2x＜3
3．已知幂函数过点（2，），则当x=8时的函数值是（　　）
A．2 B． C．2 D．64
4．若a，b，c∈R，且abc≠0，已知P：a，b，c成等比数列；Q：b=，则P是Q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．下列四个函数中，最小正周期为π，且关于直线x=﹣对称的函数是（　　）
A．y=sin（） B．y=sin（） C．y=sin（2x﹣） D．y=sin（2x+）
6．在等差数列{an}中，若a4+a9+a14=36，则2a10﹣a11=（　　）
A．6 B．12 C．24 D．36
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2=，sinA=2，则cosC=（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
8．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，9]内的零点个数是（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
10．直角△ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上，点M（，）．则||最大值是（　　）
A． B． C． D．

二、填空题：每小题5分，共25分．
11．函数f（x）=的定义域为　　．
12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=　　．
13．已知函数f（x）=其中a＞0，a≠1，若对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，恒有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围　　．
14．已知a，b满足log2a﹣logb=1，则（1+2a）（1+b）的最小值为　　．
15．设集合M是实数集R的一个子集，如果点x0∈R满足：对任意ɛ＞0，都存在x∈M，使得0＜|x﹣x0|＜ɛ，称x0为集合M的一个“聚点”．若由集合：
①有理数集；
②无理数集；
③{sin|n∈N*}；
④{|n∈N*}
其中以0为“聚点”的集合是　　．（写出所有符合题意的结论序号）

三、解答题：共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知向量=（cosα，1﹣sinα），=（﹣cosα，sinα）（α∈R）．
（1）若⊥，求角α的值；
（2）若|﹣|=，求cos2α的值．
17．已知数列{an}的首项a1=1，且an+1=2an+1（n∈N*）．
（1）证明数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）记bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．某民营企业家去年为西部山区80名贫困大学生捐奖学金共50万元，该企业家计划从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的贫困大学生每年净增a人．
（1）当a=10时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过0.8万元？请说明理由．
（2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？
19．已知如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=6，点D、E是斜边AB上两点．
（1）当点D是线段AB靠近A的一个三等点时，求•的值；
（2）当点D、E在线段AB上运动时，且∠DCE=30°，设∠ACD=θ，试用θ表示△DCE的面积S，并求S的最小值．

20．已知f（x）=ax3+bx2+cx﹣1的导函数为f′（x），且不等式f′（x）≥0的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线斜率是﹣3，求实数a的值；
（2）当x∈[﹣3，0]时，关于x的方程f（x）﹣ma+1=0恰有两个实数根，求实数m的取值范围．
21．己知函数f（x）=lnx﹣ax+l，其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；
（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1一）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．

2015-2016学年四川省绵阳市高三（上）第一次诊断数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．集合S={3，4，5}，T={4，7，8}，则S∪T=（　　）
A．{4} B．{3，5，7，8} C．{3，4，5，7，8} D．{3，4，4，5，7，8}
【考点】并集及其运算．
【分析】由已知条件利用并集的定义直接求解．
【解答】解：∵集合S={3，4，5}，T={4，7，8}，
∴S∪T={3，4，5，7，8}．
故选：C．

2．命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为（　　）
A．∃x0∈N，x02+2x0≤3 B．∀x∈N，x2+2x≤3
C．∃x0∈N，x02+2x0＜3 D．∀x∈N，x2+2x＜3
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是求出命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为：∀x∈N，x2+2x＜3．故选：D．

3．已知幂函数过点（2，），则当x=8时的函数值是（　　）
A．2 B． C．2 D．64
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】设出幂函数的解析式，用待定系数法求出函数的解析式，再计算对应的函数值．
【解答】解：设幂函数y=xα，其图象过点（2，），
∴2α=，解得α=，
∴函数y==，
∴当x=8时，函数y==2．
故选：A．

4．若a，b，c∈R，且abc≠0，已知P：a，b，c成等比数列；Q：b=，则P是Q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由P：b2=ac，即b=；Q：b=，即可判断出结论．
【解答】解：∵abc≠0，P：a，b，c成等比数列，可得：b2=ac，于是；
Q：b=，
可得：Q⇒P，反之不成立．
∴P是Q的必要不充分条件．
故选：B．

5．下列四个函数中，最小正周期为π，且关于直线x=﹣对称的函数是（　　）
A．y=sin（） B．y=sin（） C．y=sin（2x﹣） D．y=sin（2x+）
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由周期求出ω，由函数的图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：对于函数y=sin（ωx+φ），由最小正周期为=π，求得ω=2，
再根据它的图象直线x=﹣对称，可得2•（﹣）+φ=kπ+，k∈Z，
即φ=kπ+，故可取φ=，y=sin（2x+），
故选：D．

6．在等差数列{an}中，若a4+a9+a14=36，则2a10﹣a11=（　　）
A．6 B．12 C．24 D．36
【考点】等差数列的性质．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a4+a9+a14=36，
∴3a1+24d=36，即a1+8d=12．
则2a10﹣a11=2（a1+9d）﹣（a1+10d）=a1+8d=12．
故选：B．

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2=，sinA=2，则cosC=（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理可得a=2b，利用已知可求c2=5b2，根据余弦定理可得cosC的值．
【解答】解：∵sinA=2，由正弦定理可得：a=2b，
∴c2==b2+2b×b=5b2，
∴cosC===．
故选：A．

8．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（2，1），
代入目标函数z=x+y得z=2+1=3．
即目标函数z=x+y的最大值为3．
故选：C

9．设函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，9]内的零点个数是（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用．
【分析】根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），可得函数y=f（x）是以2为周期的周期函数，作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间[﹣6，9]内的图象，即可得到结论．
【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），
即f（x+2）=f（x），
∴函数y=f（x）是以2为周期的周期函数，
由h（x）=f（x）﹣g（x）=0得f（x）=g（x），
∵当x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，
∴分别作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间[﹣6，9]内的图象，可得共有14个交点
故选：B．

10．直角△ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上，点M（，）．则||最大值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】由题意，||=|+2|≤||+2||，当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即可求出||的最大值．
【解答】解：由题意，||=|+2|≤||+2||，
当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即||取得最大值，最大值是++1=+1，
故选：C．

二、填空题：每小题5分，共25分．
11．函数f（x）=的定义域为　[10，+∞﹚　．
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【分析】函数f（x）=的定义域为：{x|}，由此能够求出结果．
【解答】解：函数f（x）=的定义域为：{x|}，
解得{x|x≥10}．
故答案为：[10，+∞）．

12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=　　．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．
【解答】解：tan60°=tan（20°+40°）==

tan20°+tan40°+tan20°tan40
故答案为：

13．已知函数f（x）=其中a＞0，a≠1，若对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，恒有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围　a≥2　．
【考点】分段函数的应用．
【分析】由已知可得函数f（x）=在R上为增函数，则，解得答案．
【解答】解：若对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，恒有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，
则函数f（x）=在R上为增函数，
则，
解得：a≥2，
故答案为：a≥2．

14．已知a，b满足log2a﹣logb=1，则（1+2a）（1+b）的最小值为　9　．
【考点】基本不等式．
【分析】由题意可得a、b为正数且b=，代入化简可得原式=5++2a，由基本不等式可得．
【解答】解：由题意可得a、b为正数且1=log2a﹣logb=log2a+log2b=log2ab，
∴ab=2，∴b=，∴（1+2a）（1+b）=（1+2a）（1+）
=1++2a+4=5++2a≥5+2=9
当且仅当=2a即a=1且b2时取等号．
故答案为：9．

15．设集合M是实数集R的一个子集，如果点x0∈R满足：对任意ɛ＞0，都存在x∈M，使得0＜|x﹣x0|＜ɛ，称x0为集合M的一个“聚点”．若由集合：
①有理数集；
②无理数集；
③{sin|n∈N*}；
④{|n∈N*}
其中以0为“聚点”的集合是　①②③　．（写出所有符合题意的结论序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据聚点的定义分别进行判断即可．
【解答】解：①定义[x]为不大于x的最大整数，
则对任意ɛ＞0，＜[]+2，则＞，
取有理数x=即可得，0＜|﹣0|＜ɛ，故0为有理数集的“聚点”；
②对任意的ɛ＞0，都存在x=，使得0＜|x|＜ɛ
∴0是无理数集的聚点；
③∵sinx＜x，x∈（0，1），
∴对任意ɛ＞0，0＜|sinɛ|＜ɛ，
∴0为集合{sin||n∈N*}的“聚点”；
④∵＜＜…＜，
∴0不是集合{|n∈N*}的“聚点”，
故答案为：①②③．

三、解答题：共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知向量=（cosα，1﹣sinα），=（﹣cosα，sinα）（α∈R）．
（1）若⊥，求角α的值；
（2）若|﹣|=，求cos2α的值．
【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）由，可得=0，解得即可得出；
（2）由于﹣（2cosα，1﹣2sinα），可得|﹣|==，化简再利用倍角公式即可得出．
【解答】解：（1）∵，∴=﹣cos2α+（1﹣sinα）sinα=sinα﹣1=0，解得sinα=1．
∴α=，（k∈Z）．
（2）∵﹣（2cosα，1﹣2sinα），
∴|﹣|===，
∴sin．
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=．

17．已知数列{an}的首项a1=1，且an+1=2an+1（n∈N*）．
（1）证明数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）记bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）由已知得an+1+1=2（an+1），a1+1=2，由此能证明数列{an+1}是以2为公比，以其昏昏为首项的等比数列，并能求出{an}的通项公式．
（2）由，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和．
【解答】证明：（1）∵数列{an}的首项a1=1，且an+1=2an+1（n∈N*），
∴an+1+1=2（an+1），a1+1=2，
∴数列{an+1}是以2为公比，以2为首项的等比数列，
∴，
∴．
解：（2）∵，
∴数列{bn}的前n项和：
Sn=，①
，②
①﹣②，得： =﹣
=﹣
=1﹣，
∴Sn=2﹣．

18．某民营企业家去年为西部山区80名贫困大学生捐奖学金共50万元，该企业家计划从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的贫困大学生每年净增a人．
（1）当a=10时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过0.8万元？请说明理由．
（2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）设从今年起的第x年后（今年为第0年后）受捐贫困大学生人均获得的奖学金y万元．在计划时间内，列出受捐贫困大学生人均获得的奖学金，令其大于或等于0.8万元，求出最低年限，即可得出结论．
（2）设0≤x1＜x2≤9，利用函数的单调性定义，人均年终奖年年有增长，确定a的范围，然后确定资助的大学生每年净增量不能超过的人数．
【解答】解：（1）设从今年起的第x年后（今年为第0年后）受捐贫困大学生人均获得的奖学金为y万元．
则y=（x∈N+，0≤x≤9）；
由题意，有＞0.8（a=10），
解得，x＞7．
所以，在计划时间内，第9年起受捐贫困大学生人均获得的奖学金超过0.8万元．
（2）设0≤x1＜x2≤9，则f（x2）﹣f（x1）=﹣=＞0，
所以，10×80﹣50a＞0，得a＜16．
所以，为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过16人．

19．已知如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=6，点D、E是斜边AB上两点．
（1）当点D是线段AB靠近A的一个三等点时，求•的值；
（2）当点D、E在线段AB上运动时，且∠DCE=30°，设∠ACD=θ，试用θ表示△DCE的面积S，并求S的最小值．

【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）以C为坐标原点建立平面直角坐标系，求出，的坐标带入公式计算；
（2）在△ACD中，由正弦定理得CD的长，在△BCE中，由正弦定理求出CE的长，带入面积公式S=CD•CE•sin30°进行三角化简．
【解答】解：（1）以CA为x轴，CB为y轴建立平面直角坐标系如图：
∵∠A=60°，AB=6，∠BCA=90°．
∴A（3，0），B（0，3），C（0，0），
∴=（﹣3，3），==（﹣1，），
=（3，0）．
∴=+=（2，）．
∴•=3×2+0×=6．
（2）在△ACD中，∠ADC=180°﹣60°﹣θ=120°﹣θ，AC=3，
由正弦定理得=
∴CD=AC•=．
在△BCE中，∠BCE=90°﹣30°﹣θ=60°﹣θ，
∠BEC=180°﹣30°﹣（60°﹣θ）=90°+θ，BC=3．
由正弦定理得=，
∴CE=BC•=．
∴S=CD•CE•sin30°=•
=•
=•．
∵0°≤θ≤60°，
∴60°≤2θ+60°≤180°，
∴0≤sin（2θ+60°）≤1，
∴当sin（2θ+60°）=1时，S取得最小值，最小值为．

20．已知f（x）=ax3+bx2+cx﹣1的导函数为f′（x），且不等式f′（x）≥0的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线斜率是﹣3，求实数a的值；
（2）当x∈[﹣3，0]时，关于x的方程f（x）﹣ma+1=0恰有两个实数根，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求导f′（x）=3ax2+bx+c，从而可得f′（x）=3a（x+2）（x﹣1），且a＜0；再由f′（2）=﹣3解得；
（2）结合（1）知b=3a，c=﹣6a，从而可化简方程为x3+x2﹣6x﹣m=0，利用数形结合的方法求解即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx﹣1，
∴f′（x）=3ax2+bx+c，
又∵不等式f′（x）≥0的解集为{x|﹣2≤x≤1}，
∴f′（x）=3a（x+2）（x﹣1），且a＜0；
∴f′（2）=3a（2+2）（2﹣1）=﹣3，
解得，a=﹣；
（2）由（1）知，b=3a，c=﹣6a，
故f（x）﹣ma+1=0可化为ax3+•3ax2﹣6ax﹣1﹣ma+1=0，
即x3+x2﹣6x﹣m=0，
即x3+x2﹣6x=m，
令g（x）=x3+x2﹣6x，则g′（x）=3x2+3x﹣6=3（x+2）（x﹣1），
故g（﹣3）=﹣27++18=，g（﹣2）=﹣8+6+12=10，
g（0）=0，
作g（x）=x3+x2﹣6x的图象如下，
，
结合图象可知，实数m的取值范围为[，10）．

21．己知函数f（x）=lnx﹣ax+l，其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；
（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1一）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；
（2）把a=1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）=lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；
（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）=x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．
【解答】（1）解：∵f′（x）=，x＞0，
∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．
综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；
（2）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，
∴，
∴．
要证，即证＜＜，
∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．
令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．
令k（t）=lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，
∴k（t）＜k（1）=0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①
令h（t）=lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）=，
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②
综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；
（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，
即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．
令g（x）=x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，
则g′（x）=lnx﹣k，
当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，
由g（1）=﹣1﹣k+2k=k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．
当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞ek，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜ek，
故g（x）在（1，ek）上是减函数，在（ek，+∞）上是增函数，
∴．

2016年12月5日

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