资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知菱形的边长为，若对角线的长为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将Rt△ABC平移到△A′B′C′的位置，其中∠C＝90°，使得点C′与△ABC的内心重合，已知AC＝4，BC＝3，则阴影部分的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．下列各式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
6．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
7．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣3） B．（﹣3，0） C．（﹣，0） D．（0，﹣）
10．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，⊙O的半径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD=∠BCD，则弧BD的长为________．
12．如图，在中，，于点，，，则_________；
13．如图， 的对角线交于点平分交于点,交于点，且，连接．下列结论:①;②;③:④其中正确的结论有__________(填写所有正确结论的序号)
14．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为____．
15．方程x2＝2020x的解是_____．
16．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是_____．
17．二次函数解析式为，当x>1时，y随x增大而增大，求m的取值范围__________
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图,在中, ,,于点, 是上的点, 于点, ,交于点.
（1）求证: ;
（2）当的面积最大时,求的长.
20．（6分）如图，在中，，是的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与交于点F，延长BA到点G，使得，连接FG.
备用图
（1）求证：FG是的切线；
（2）若的半径为4.
①当，求AD的长度；
②当是直角三角形时，求的面积.
21．（6分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，
(1)证明：△ABD≌△BCE；
(2)证明：△ABE∽△FAE；
(3)若AF＝7，DF＝1，求BD的长．
22．（8分）如图，⊙O 是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，求sinB的值．
23．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．
（1）把△ABC绕着点C逆时针旋转 90°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积．
24．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO及AO的延长线分别交⊙O于D、C两点，若∠A=40°，求∠C的度数．
25．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC
(1)请判断：FG与CE的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予证明．
26．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】根据反比例函数的一般形式即可判断．
【详解】A、不符合反比例函数的一般形式y＝，（k≠0）的形式，选项错误；
B、是一次函数，正确；
C、不符合反比例函数的一般形式y＝，（k≠0）的形式，选项错误；
D、不符合反比例函数的一般形式y＝，（k≠0）的形式，选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y＝kx−1（k≠0）的形式．
2、B
【分析】先求出对角线AC的长度，再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”，即可得出答案.
【详解】
根据题意可得：AB=BC=CD=AD=13cm，BD=10cm
∵ABCD为菱形
∴BD⊥AC，BO=DO=
AO=
AC=2AO=24cm
∴
故答案选择B.
【点睛】
本题考查的是菱形，难度适中，需要熟练掌握菱形面积的两种求法.
3、A
【分析】由三角形面积公式可求C'E的长，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点C'作C'E⊥AB，C'G⊥AC，C'H⊥BC，并延长C'E交A'B'于点F，连接AC'，BC'，CC'，
∵点C'与△ABC的内心重合，C'E⊥AB，C'G⊥AC，C'H⊥BC，
∴C'E=C'G=C'H，
∵S△ABC=S△AC'C+S△AC'B+S△BC'C，
∴AC×BC=AC×CC'+BA×C'E+BC×C'H
∴C'E=1，
∵将Rt△ABC平移到△A'B'C'的位置，
∴AB∥A'B'，AB=A'B'，A'C'=AC=4，B'C'=BC=3
∴C'F⊥A'B'，A'B'=5，
∴A'C'×B'C'=A'B'×C'F，
∴C'F=，
∵AB∥A'B'
∴△C'MN∽△C'A'B'，
∴C阴影部分=C△C'A'B'×=（5+3+4）×=5.
故选A.
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆和内心，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
4、D
【分析】逐一对选项进行分析即可．
【详解】A. 不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘除法，积的乘方，掌握同底数幂的乘除法和积的乘方的运算法则是解题的关键．
5、C
【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，∴m+n=3，mn=a．
∵，即，
∴，解得：a=﹣1．
故选C．
6、B
【详解】根据二次根式的性质，由此可知2-a≥0，解得a≤2.
故选B
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质可求解.
7、B
【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.
【详解】解：当a>o时，函数的图象位于一、三象限，的开口向下，交y轴的负半轴，选项B符合；
当a<o时，函数的图象位于二、四象限，的开口向上，交y轴的正半轴，没有符合的选项.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键.
8、D
【解析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，
故选D．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
9、A
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】∵抛物线y＝2x2﹣3的对称轴是y轴，
∴该抛物线的顶点坐标为(0，﹣3)，
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点坐标，找到抛物线的对称轴是解题的关键．
10、C
【分析】根据列表法列出所有的可能情况，从中找出两个球颜色相同的结果数，再利用概率的公式计算即可得到答案．
【详解】解：列表如图所示：
由表可知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果
所以摸出两个球颜色相同的概率是
故选：C．
【点睛】
本题考查的是列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或者树状图将所有等可能结果列举出来．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、4π
【解析】根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系以及∠BOD=∠BCD，可求得∠A=60°，从而得∠BOD=120°，再利用弧长公式进行计算即可得.
【详解】解:∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长=，
故答案为4π.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、弧长公式等，求得∠A的度数是解题的关键.
12、
【分析】根据相似三角形的判定得到△ABC∽△CBD，从而可根据其相似比求得AC的长．
【详解】∵，，，
∴∠BDC=∠BCA=90°，∠CBD+∠ABC=90°，BC=3，
∴△ABC∽△CBD，
∴AC：CD=CB：BD，即AC： =3：2，
∴AC= ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理.
13、①③④
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，EC平分∠DCB，得△ECB是等边三角形，结合AB=2BC，得∠ACB=90°，进而得∠CAB=30°，即可判断①；由∠OCF＜∠DAO，∠OFC＞∠ADO，即可判断②；易证△OEF∽△BCF，得OF=OB，进而得S△AOD=S△BOC=3S△OCF，即可判断③；设OF=a，得DF=4a，BF=2a，即可判断④．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∵EC平分∠DCB，
∴∠ECB=∠DCB=60°，
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，
∴△ECB是等边三角形，
∴EB=BC= EC，
∵AB=2BC，
∴EA=EB=EC，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=30°，即：，
故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∵∠OCF＜∠BCO，∠OFC＞∠CBO，
∴∠OCF＜∠DAO，∠OFC＞∠ADO，
∴错误，
故②错误；
∵OA=OC，EA=EB，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴，
∴OF=OB，
∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，
故③正确；
设OF=a，
∵OF=OB，
∴OB=OD=3a，
∴DF=4a，BF=2a，
∴BF2=OF•DF，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质定理，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，以及直角三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质定理，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
14、
【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：，
底面周长，
将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长
设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得：
，
，
即展开图是一个半圆，
点是展开图弧的中点，
，
连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离，
在中由勾股定理得，
，
，
即蚂蚁爬行的最短距离是．
故答案为：．
【点睛】
考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
15、x1＝0，x2＝1．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】移项得：x2﹣1x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
则x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16、1或﹣1
【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．
【详解】当x≥﹣x，即x≥0时，
∴x=x2﹣6，
即x2﹣x﹣6=0，
(x﹣1)(x+2)=0，
解得：x1=1，x2=﹣2(舍去)；
当x＜﹣x，即x＜0时，
∴﹣x=x2﹣6，
即x2+x﹣6=0，
(x+1)(x﹣2)=0，
解得：x1=﹣1，x4=2(舍去)．
故方程max{x，﹣x}=x2﹣6的解是x=1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
【点睛】
考查了解了一元二次方程-因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．
17、m≤1
【分析】先确定图像的对称轴x= ，当x>1时，y随x增大而增大，则≤1，然后列不等式并解答即可．
【详解】解：∵
∴对称轴为x=
∵当x>1时，y随x增大而增大
∴≤1即m≤1
故答案为m≤1．
【点睛】
本题考查二次函数的增减性，正确掌握二次函数得性质和解一元一次不等式方程是解答本题的关键．
18、1
【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．
【详解】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，
∴AB=AC，
∵∠BPC=90°，
∴PA=AB=AC=a，
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，
∵A（1，0），D（4，4），
∴AD=5，
∴AP′=5+1=1，
∴a的最大值为1．
故答案为1．
【点睛】
圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）5
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法即可求；
（2）设，的面积为，由等腰三角形性质和平行线分线段成比例，可求出，再根据的面积可以得出关于的函数关系式，由二次函数性质可得的面积为最大时的值即可．
【详解】解：（1）证明： ，，
，
，
．
（2）解：设，则，
∵，，，
∴，
在Rt△ABG中，，
∵
∴，即，
∴，
，
，即
，
的面积
当的面积最大时，，即的长为．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，可利用数形结合思想根据题目提供的条件转化为函数关系式．
20、（1）见解析；（2）①，②当时，；当时，.
【分析】（1）连接AF，由圆周角定理的推论可知，根据等腰三角形的性质及圆周角定理的推论可证，，从而可得，然后根据切线的判定方法解答即可；
（2）①连接CF，根据“SSS”证明，由全等三角形及等腰三角形的性质可得，进而可证，由平行线分线段成比例定理可证，可求，然后由相交弦定理求解即可；
②分两种情况求解即可，（i）当时，（ii）当时.
【详解】（1）连接AF，
∵BF为的直径，
∴，，
∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
∴，即.
又∵OF为半径，
∴FG是的切线.
（2）①连接CF，
则，
∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵半径是4，，∴，，
∴，即，
又由相交弦定理可得：，
∴，即，
∴（舍负）；
（2）②∵为直角三角形，不可能等于.
∴（i）当时，则，
由于，∴，，
∴，
∴，，
∴；
（ii）当时，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
延长AO交BC于点M，
∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论，切线的判定，垂径定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，三角形的面积公式，熟练掌握圆的有关定理以及分类讨论的思想是解答本题的关键.
21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BD＝2．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证得△ABD≌△BCE；
（2）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可证∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，由此可以证明△AEF∽△BEA；
（3）由△ABD≌△BCE得：∠BAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADB，由此可以证明△BDF∽△ADB，然后可以得到，即BD2=AD•DF=（AF+DF）•DF．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，
在△ABD与△BCE中
∵，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，
又∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠EAF，
又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；
（3）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，
∴△ABD∽△BDF，
∴，
∴BD2＝AD•DF＝（AF+DF）•DF＝8，
∴BD＝2．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质, 全等三角形的判定, 等边三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质, 全等三角形的判定, 等边三角形的性质.
22、
【解析】试题分析：求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．
试题解析：解：连接DC．∵AD是直径，∴∠ACD=90°．∵∠B=∠D，∴sinB=sinD==．
点睛：综合运用了圆周角定理及其推论．注意求一个角的锐角三角函数时，能够根据条件把角转化到一个直角三角形中．
23、（1）见解析；（2）2π
【分析】（1）根据旋转角度、旋转中心、旋转方向找出各点的对称点，顺次连接即可；
（2）根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C即为所求；
（2）∵CA=，
∴S==2π．
【点睛】
本题考查旋转作图的知识，难度不大，注意掌握旋转作图的三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角度．
24、∠C =25°．
【分析】连接OB，利用切线的性质OB⊥AB，进而可得∠BOA=50°，再利用外角等于不相邻两内角的和，即可求得∠C的度数．
【详解】解：如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵∠A=40°，
∴∠BOA=50°，
又∵OC=OB，
∴∠C=∠BOA=25°．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，解决此类题目时，知切点，则连半径，若不知切点，则作垂直．
25、 (1) FG＝CE，FG∥CE；(2)成立，理由见解析.
【解析】(1)结论：FG＝CE，FG∥CE，如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可；
(2)结论仍然成立，如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．
【详解】(1)结论：FG＝CE，FG∥CE.
理由：如图1中，设DE与CF交于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ABC＝∠DCE＝90°，
在△CBF和△DCE中，，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，
∵∠BCF＋∠DCM＝90°，
∴∠CDE＋∠DCM＝90°，
∴∠CMD＝90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG＝DE，CF＝DE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∴GF＝EC，
∴GF＝EC，GF∥EC.
故答案为FG＝CE，FG∥CE；
(2)结论仍然成立．
理由：如图2中，设DE与CF交于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ABC＝∠DCE＝90°，
在△CBF和△DCE中，，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，
∵∠BCF＋∠DCM＝90°，
∴∠CDE＋∠DCM＝90°，
∴∠CMD＝90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG＝DE，CF＝DE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∴GF＝EC，
∴GF＝EC，GF∥EC.
【点睛】
本题三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.
26、（1）D（﹣2，3）；
（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【详解】试题分析：（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）由图象直接写出答案．
试题解析：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
考点：1、抛物线与x轴的交点；2、待定系数法；3、二次函数与不等式（组）．
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