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小学代数思维教学初探
作者：汤卫红
    摘要：代数思维本质上是一种关系思维，目的是发现（一般化的）关系、明确结构、并把它们联接起来。小学数学教学传统和现实、人为因素的影响造成算术与代数的割裂是代数思维教学的主要障碍。通过发展算术中的关系性思维、符号表征能力和函数思想可以发展儿童的代数思维。
关键词：代数思维；小学数学；教学

    全美数学教师理事会1994年通过的“为每个人的代数”的报告引发了世界各国越来越多的数学教育工作者开始关注代数思维的教学研究。在推进新课程改革的今天，我国的一些数学教育工作者也逐步开展了这方面的研究。究竟什么是代数思维，当前小学阶段的代数思维教学存在什么问题，产生的原因何在，我们又应当如何发展儿童的代数思维，本文试图作一些探讨。
一、什么是代数思维
    在中小学数学教育中，代数思维被认为是数学的“核心思想”而占有较为重要的地位。因为“‘数字化时代’，代数已经成为通向高等教育和机遇的大门，成功参与民主社会和科技市场离不开抽象代数思维”。[1]
长期以来，小学数学的内容在思维方式上更多地倾向于算术思维。算术思维的对象主要是数字（属于常量）及其计算与拆合，而代数思维的对象则主要是代数式（属于变量）及其运算与变换。算术思维侧重于程序思维，着重的是利用数量计算求出答案的过程，这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点，甚至是直观的。而代数思维就其本质而言是一种关系思维，它的要点是发现（一般化的）关系和结构，以及明确这些关系与结构之间的关系。代数思维的运算过程是结构性的，侧重的是关系的符号化及其运算，是无法依赖直观的。结构化、符号化、抽象化及概括化是代数思维的特点。如“南京地铁一号线地下部分大约长14.3千米，比地上部分的2倍少0.7千米。地上部分大约长多少千米？”用算术思维来解决，通过对问题情境的理解，首先算出14.3＋0.7＝15（米），这就是地上部分的2倍，再用15÷2＝7.5（千米），求出地上部分的长度。两道算式记录了思考的过程，通过对已知数量的一系列运算，不断接近最终的结果。而用代数思维来解决，设地上部分大约长x千米，通过对问题情境的抽象，分析出具有结构性的关系式，再符号化成方程式2x－0.7＝14.3，接下来的运算过程则是与原问题情境无关的符号运算，最后再对求出的解x＝7.5进行意义上的还原。代数思维必须以算术思维为基础但又必须超越算术思维。从算术思维到代数思维的跨越是儿童数学学习必须经历的一个极为重要的阶段，这个过渡并非一个经过练习能够跨越的量变过程，而是一个必须经历结构转化的质变过程。
二、当前代数思维教学存在的问题及原因分析
    尽管数学教育是一个不可分割的整体，但在小学数学教学中，算术思维和代数思维割裂的状况却长期存在。尽管课程标准中将“数与代数”设为一个领域，但一个不争的事实却是课程实施中数学教师们仍普遍将算术和代数两个领域“分而治之”。更多的教师在观念上仍然将小学数学主要理解为“算术”，在思维方式上总体上也倾向于算术思维，算术中潜在的代数特性在无视关系思维的前提下，被只关注算术中的程序思维所遗忘，这也就在客观上造成了儿童学习代数的潜在困难。笔者曾听到一位教师在初教“方程”单元时提醒学生：把用算术方法求出的结果换成x，“反过来”，不就得到方程了吗？学生还真屡试不爽，“顺利”过关了第一次接触的“方程”内容。好一个“反过来”！总是试图用算术程序思维来解决“代数问题”能够实现从算术思维到代数思维的过渡吗？难以想像，学生第二次接触“方程”单元时，如何解决稍复杂的实际问题呢？我真不知道这位老师还会想出什么“高招”。
造成这种状况的原因，有历史和传统的原因，更有认识和现实的根源。长期以来，“算术”被视为小学数学教育的主要内容，而“代数”则被认为是中学数学的内容，许多人认为小学儿童还不具备相应的抽象思维能力涉及代数内容。尽管课程标准已经将义务教育阶段的内容整体考虑，但由于传统的惯性，人们的认识还未能与时俱进。一线的很多小学数学教师自身已经非常缺乏“代数地思考”问题的意识，这也就很难从根本上去改变代数思维教学。笔者曾经多次参加小学数学教师学科素养测试或招聘考试的命题，测试的内容往往不局限于小学数学教材内容，或多或少有些拓展，还包括一些中学数学的内容，阅卷中我们发现：新师范毕业生和新教师往往在解决问题时自然而然地将一些较复杂的问题用代数的方法来解决，而随着教龄的增长，老教师们却越来越少地对问题进行“代数地思考”，整张答卷中很少出现代数式、方程、不等式和函数，虽然有许多问题用这些代数知识很容易解答，但老教师们似乎对算术方法情有独钟，哪怕算术方法相当的困难，需要花费较多的精力。或许，有人会辩解：老教师们中学代数的知识已经大多遗忘了。但事实是，当我们事后有意识地提醒第×题可以用方程解决时，老教师们却并没有让命题者失望。这充分表明：小学数学教师的“代数地思考”的意识正日渐淡薄，尽管他们仍具有代数思维的能力。另一方面，小学数学教学与研究和中学数学与研究是两个互不相干的领域，这两个领域的人们似乎“隔行如隔山”，鲜有往来。甚至从编写教材开始，尽管课程标准是统一编制的，但编写初中（7～9年级）和小学（1～6年级）的人员却是两套人马，即使这些人员能够将标准的整体要求了然于胸，但缺少了对教材的整体规划与把握，很难说通过对教材内容的学习，儿童能够顺利实现从算术思维到代数思维的跨越，使代数思维的发展迈入良性的轨道。
三、怎样发展儿童的代数思维
    从上面的分析我们不难看出，算术思维与代数思维的割裂具有很强的人为性，而且还为学生学习代数及其思维制造了不必要的麻烦和障碍。所以，改变教师的旧有观念，寻求算术（思维）和代数（思维）内在的关联与一致，重新思考将代数作为贯穿所有年级的课程的线索，发展“早期代数”，成为发展代数思维的现实途径。
（一）关系性思维的早期发展
    关系性思维被认为是代数思维的基础，它的发展能够有效地促进儿童从算术学习向代数学习的顺利过渡。关系性思维是指学生“有联系地”进行思考。这里的“联系”就数或含有字母的等式而言，表现为：⑴将等号作为代表等量或平衡关系的符号看待；⑵将表达式和等式看作整体；⑶不采用常规的计算，而是通过比较，识别出数之间的相互联系；⑷合理利用“关系”来解决问题。[2]比如，计算49＋36可以通过49“增加1”、36“减去1”转化为50＋35。这里就隐含着一个代数关系和结构：a＋b＝（a＋c）＋（b－c）。当儿童利用这种策略解决不同的数字问题时，他就表现了对“等价”和“抵消”等数字关系的理解。儿童显示了在不依靠字母符号的情况下也可以实施概括策略。儿童的思考对象是算术的，但思维却是代数的，即运用了关系性思维。这种思维反映了儿童数字运算的代数性质，蕴含着对数字语句中数字的关系和结构的解释。如果儿童能够合理进行这种思维，在遇到用字母表示的变量和代数式及其关系时，理解就不会那么困难。
1．等号作为关系的理解
    儿童一般都认为，等号就意味着在确信相等之前要进行计算。如儿童在看到算式“6＋4”时，往往条件反射般地写上等号，这个等号被理解成执行加法运算的标志。他们通常把等号解释为“得到……”。于是在儿童作业中就会出现5×4＝20＋6＝26之类的错误。他们总认为等号后面总是前一个算式的得数。这反映了儿童在算术中只关注“等号的程序性质”，而忽视或无视“等号的关系性质”。而卡彭特等人认为：由算术思维到代数思维的转换标志之一是，从等号的程序观念到等号的关系观念的转变。[3]因此，在教学中，我们应该引导学生把等号理解成表示相等或平衡关系的符号。49＋36与在转化成50＋35后它们之间仍然是平衡的，可以用等号连接，而5×4＝20＋6＝26却不存在相等关系，应改为5×4＋6＝20＋6＝26。从低年级起，我们可以结合加减法的学习，渗透9＋3＝10＋（　）－（　），14－9＝14－（　）＋（　）这些等式；结合运算律的学习，引导儿童将得数相等的算式用等号连接，如28＋17＝17＋28，（23×5）×6＝23×（5×6）等；结合数的组成、拆分及运算推理渗透8＋（　）＝10，10－（　）＝8，102＝（　）＋（　），○＝△＋△、□＝○＋○＋○、□＝？△等内容，促进儿童对相等关系的理解。我们还应当通过49＋36＝50＋（　），71－59＝73－（　），18＋（　）＝20＋（　），18－9＝（　）－（　），12×（　）＝6×（　）等式子促进儿童运用关系性思维，超越算术思维识别出数式隐含的结构关系，并要求儿童作出清晰的关系性解释。这也就在促进儿童对等号的关系性理解上迈出关键的步伐。
2．把表达式看作整体
    在学习“用字母表示数”时，儿童对像a＋20这样的式子可以表示一个数量难以理解。因为他们往往认为只有一个个确定的数才能用来表示数量，而式子只能表示一个“过程”，一个待计算的表达式。这种认识在很大程度上会阻碍代数思维的发展。因此，我们需要在计算教学中渗透算式可以理解为一个数的另一种表达方式，是一个数的过程展示。例如，在教学简便计算时，我们就可以结合具体的算式向学生传递“一个式子可以表示一个数”的思想。像37×102＝37×（100＋2），就可以引导儿童明确把102改写成100＋2，这100＋2就是102这个数的另一种表达方式。其实，这就体现了“＋”的过程性与对象性的双重性质。儿童对此的理解有助于他们关系性思维的形成，也有助于他们对类似a＋b这样的表达式的理解。在圆的周长和面积的有关计算中，我们可以引导儿童保留π，最后再根据需要取近似值算出结果，在不涉及实际应用的情况下，甚至就将“8π”这样的表达式作为结果。在计算圆环面积、圆柱表面积等的计算中，更是通过含有π的表达式对象化与过程化的不断转化，促进儿童对代数式的理解。
3．“关系”问题的解决
    Max Stephens等人的研究表明，好的问题模型的设计有助于推动儿童进行关系性思维，促进其从具体的数字例子中作出正确的数学概括，而这正是代数推理中的关键因素。[4]例如，下面的这个问题就可以作为我们进一步设计的模型：对于下面的数式中的c和d，你有什么想法？c＋2＝d＋10。根据年段的不同，我们可以相对具体化或阶梯化。在低年级，我们可以利用著名的“彼特减5算法”（比如，41－5＝41＋5－10），设计相关的问题促进儿童关系性思维的运用。如，⑴你认为这样算正确吗？你怎样想？⑵你能像彼特那样，也写一个类似的减几的算式吗？⑶你有没有发现进行这样的减法计算有什么规律？儿童如果能够进行这样的一般化：无论减去什么数，都要加上一个数，使减去的数和加上的数构成10，然后再减去10。这就在很大程度上促进了关系性思维的发展。另外，像“损坏的计算器”这样的典型问题都应当成为发展儿童关系性思维的极好素材。问题是这样的：如果计算器键盘上的键“6”失灵了，怎样用这个计算器计算“636－465”呢？这个问题为儿童提供了一个探索算法多样化的极好机会。比如，636－465＝525－354或636－465＝748－577等。这些都很好地体现了关系性思维地特点。
（二）符号表征能力的初步发展
    符号语言是代数中最重要的方面和特点。符号语言的理解要求读写和在公式、表达式、等式和不等式中操作数字与符号表征的能力。我们需要促使儿童利用多种表征形式表征同一情境，以及理解这些表征之间的等价关系，这种等价关系又如何推广到类似的情境中，从而促进代数思维和代数理解的发展。
1．自然语言的符号化
    “代数”，从字面看就有“以符号代表数”的意思。符号的理解与使用是进入代数思维的第一步，更为重要的是符号背后的代数思想即一般化的想法的形成。在教学中，教师需要有意识地让学生将自然语言描述的数或数量关系用符号或含有字母的式子表示。结合认识乘法，教师可作这样的渗透：3＋3＋3＋3＝（　）×（　），5＋5＋5＋5＝（　）×（　）,6＋6＋6＋6＝（　）×（　），△＋△＋△＋△＝（　）×（　），通过用△表示相同加数，并进一步思考△可以表示哪些数形成乘法意义的一般化认识，渗透△表示的是一个变量。结合运算律的教学，引导儿童将自己“两个数相加得到一个结果，两个加数交换位置后还得到相同的结果”的自然语言描述用符号语言予以简化，像△＋○＝○＋△，a＋b＝b＋a，并对符号所代表的数进行讨论，体现符号语言的概括化与一般化，并在今后的使用和表达中淡化自然语言的描述。教师在帮助儿童用概念上与概括的代数程序一致的方法来理解运算及其定律的过程中，能够促进儿童建立相互联系的网络，有利于开始正式学习代数时能够正确刻画数学关系。在用字母表示数、倍数和因数的教学之后，可以引进字母n用来表示任意的自然数，让儿童思考：2的倍数、3的倍数、5的倍数分别怎样表示？用2n、3n、5n分别表示2、3、5的倍数后，就可以引导儿童通过其与自然数n的一一对应，理解倍数个数的无限性，避免了“偶数的个数是自然数个数的一半”之类的认识。我们还可以进一步明确2n＋1表示奇数，3n＋1一定不是3的倍数等，促进儿童变量思想的萌发。在圆柱表面积计算方法的符号化表达S＝2πrh＋2πr2之后，有利于儿童通过对公式的结构及内在联系的分析，发现另一计算公式S＝2πr（h＋r），再进一步寻求意义解释，从而体验到符号化表达所带来的代数思考的优势。
2．问题表征的符号化
    随着儿童认知水平的不断发展，小学阶段的儿童会逐渐由图形表征期进入符号表征期。这种质的变化表现为表征的不同抽象水平上的变化。我们要不时机地适当发展儿童的认知图式，发展他们抽象表征数学问题的能力，而不能过多地停留于依赖表象进行思维，否则将阻碍儿童代数思维的发展。例如，五、六年级的儿童解决下面的问题：右图中正方形的面积是10平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？如果儿童仍过分依赖表象进行思维，就会去寻找圆的半径，但根据已有经验，却找不到哪个数的平方是10，从而使思维陷入僵局。也有儿童试图去寻找正方形与圆面积之间的关系，方向对了，但又缺少办法，有的只好放弃，有的干脆假设圆的半径为1，从而通过计算发现关系，最终解决问题。如果我们能够引导儿童用符号去表征问题，将有利用问题的解决。用r表示圆的半径，则正方形的面积表示为r2，圆的面积为πr2，从而发现它们之间的关系，甚至直接进行抽象思维，将10作为圆面积公式中的一个条件予以利用。更进一步，儿童对圆面积公式的理解也不局限于切拼成的长方形与圆之间的关系，而产生了新的变式：圆面积是以半径为边长的正方形面积的π倍。这种概括性的表征无论是对认知结构的优化还是对于今后相关问题的解决都很有价值。儿童充分体会到符号的使用使得代数能处理的概念形式远远大于算术，这将有利于儿童对符号表征的自觉运用。
（三）函数思想的萌芽
小学阶段的有关代数问题（如方程）的解决，不少儿童实际进行的仍是算术思维。因为他们虽然使用了符号，但仍没有跳出具体的问题情境，只是就题解题，没有对问题形成一般化、概括化的理解。因此，一方面我们要引导儿童用字母表示未知数后将其视作条件，并在观念上将未知数与已知数放置在同等地位，从整体出发，建立一般化与结构化的抽象的等量关系，再用方程刻画进行符号描述。另一方面，我们必须认识到“未知数不变，变量变化”，要促进儿童变量思维的形成，早期函数思想的渗透势在必行。

被减数
80
80
80
80
减数
12
22
32
42
差

    低年级，我们可以通过映射图、表格等渗透函数思想。如，通过右边的表格，引导儿童观察被减数、减数的变化情况，可以推测差的变化情况，再进行验证。还可以表征发现的减数与差的关系，并进一步加以应用。到中年级，可以引导儿童将减数与差的关系进行符号化表征：a＋b=80，并描述两个变量的变化规律。
    高年级，随着方程教学的深入，儿童代数意识与思维进一步发展，我们可以设计有关问题，借助几何模式、数字模式促进儿童利用符号语言表征和解决有关一次函数的问题。例如，“花园问题”：如图，花园是以单排的瓷砖镶边的。（一个长度为3的花园需要12块瓷砖镶边）
A.一个长度为12的花园需要多少块瓷砖？（30）
B.长度为x的花园需要多少块瓷砖？（2x＋6）
C.一个花园用了152块瓷砖，它的长度是多少？（73）儿童可能从画出花园并从数瓷砖开始，也可能会列出一个花园长度与相应瓷砖数的表格（数字表征），但必须探索出其中的模式，并通过归纳推理用数字和符号表征两个变量之间的线性关系（即函数），再利用函数对其中一个变量赋值，求出另一变量的对应值。这也就促进了儿童在抽象化、概括化、符号化的过程中，增进了对符号与变量的理解，建立起代数思维的一般化与结构化方法。
    另外，六年级我们有必要结合比例的教学有机渗透函数思想。小学阶段所研究的正比例关系和反比例关系其实就对应着正比例函数和反比例函数。我们需要通过儿童熟悉的问题情境入手研究变量之间的正、反比例关系，通过数字模式（列出表格，分析关系）到几何模式（正比例图像、反比例图像）再抽象到线性模式（函数的符号表征）。小学阶段的正、反比例教学往往忽视关系的符号表达式，过多纠缠于具体问题的分析。其实，关系（函数）的符号表达正是代数推理（概括）的结果，非常有利于促进儿童的代数思想和理解的发展。我们需要用函数思想统摄具体问题中的变量之间的正（反）比例关系，建立起自变量（x）、因变量（y）和常数（k）与实际问题中有关变量、常量的对应关系。通过对变量关系的结构化与符号化表达，引导儿童逐步舍弃问题情境中的非数学本质因素，看到其背后的函数关系。特别是通过对常见数量关系“路程＝速度×时间”、“总价＝单价×数量”、“工作总量＝工作效率×工作时间”和常用公式“长方形面积＝长×宽”、“柱体体积＝底面积×高”、“实际距离＝图上距离×比例尺”等的抽象，用字母概括为“c＝a×b”，再进一步讨论当其中一个量不变时，另外两个变量之间的正（反）比例关系。这也就将过去具体问题中常量之间的数量关系代数化为变量之间的关系，并能够用联系的观点认识和把握正、反比例关系。从常量到变量，从个别分析到普遍联系是儿童数学观念的飞跃，儿童也就此跨入变量概念的大门，迈入真正意义上的代数学习。

江苏省如皋师范学校附属小学