全国2011年中考数学试题分类解析汇编-专题37梯形.doc

全国2011年中考数学试题分类解析汇编(181套）专题37：梯形
一、选择题
1. （北京4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为
A、 B、 C、 D、
【答案】B。
【考点】梯形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】根据梯形对边平行的性质易证△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：CO的值：∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴。又∵AD=1，BC=3，
∴。故选B。
2.（浙江台州4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，对角线AC、BD
相交于点O．下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3
C．∠2＝∠3 D．OB2＋OC2＝BC2
【答案】B。
【考点】梯形的性质，平行的性质，勾股定理的逆定理。
【分析】所给的关于角的条件，只要能得出∠1+∠2=90°的均满足题意，另外D选项运用勾股定理的逆定理即可作出判断：A、若∠1=∠4，由∠4+∠2=90°，则∠1+∠2=90°，选项正确；B、∠1=∠3得不出∠1+∠2=90°，不符合题意，选项错误；C、∠2=∠3，则∠1+∠2=∠1+∠3=90°，选项正确；D、根据勾股定理的逆定理可得，此选项符合题意，选项正确。故选B。
3.（广西来宾3分）在直角梯形ABCD中（如图所示），已知AB∥DC，∠DAB=90°，∠ABC=60°，EF为中位线，且BC=EF=4，那么AB=
A、3 B、5 C、6 D、8
【答案】B。
【考点】梯形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】作CG⊥AB于G点，∵∠ABC=60°，BC=EF=4，∴BG=2。
设AB=，则CD=﹣2，∵EF为中位线，∴AB+CD=2EF，即+﹣2=8，解得=5。故选B。
4.（广西柳州3分）如图，阴影部分是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100º，∠B＝115º，则
梯形另外两个底角的度数分别是
A．100º、115º B．100º、65º C．80º、115º D．80º、65º
【答案】D。
【考点】梯形和平行线的性质。
【分析】根据梯形一组对边平行另一组对边不平行的性质，由于∠A＝100º，∠B＝115º，所以AD和BC不平行，从而得AB∥DC，因此根据平行线同旁内角互补的性质，得∠D＝180º－∠A＝180º－100º＝80º，
∠C＝180º－∠B＝180º－115º＝65º。故选D。
5.（广西钦州3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，对角线
AC、BD交于点O，中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴
影部分的面积是梯形ABCD面积的
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】梯形和三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】设CD＝，AB＝3，梯形ABCD的高为，则根据梯形和三角形中位线的性质，相似三角形
的判定和性质可得：梯形ABCD面积。△OCD的底边长为，高为，面
积；△OMN的底边长为，高为，面积；
△AEM和△BFN的底边长为，高为，面积；因此图中阴影部分
的面积为，它是梯形ABCD面积的。故选C
6．（湖南长沙3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，
AD=2，BC=4，则梯形的面积为
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】 A。
【考点】等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质。
【分析】过A作AE⊥BC交BC于点E。∵四边形ABCD是等腰梯形．
∴BE=（4－2）÷2=1。∵∠B=45°，∴AE=BE=1。∴梯形的面积为： ×（2＋4）×1=3。故选A。
7.（山东烟台4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点. 已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是
A.8 B.9 C.10 D.12
【答案】B。
【考点】三角形中位线的性质。
【分析】如图，延长EF，交BC于点H，则由图和已知知，EG、FG、EH、FH分别是BC、AD、DC、AB的中位线，根据三角形中位线等于第三边一半的性质，得△EFG的周长＝EG＋FG＋EF＝。故选B。
8.（山东济南3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD
相交于点O．下列结论不一定正确的是
A．AC＝BD B．∠OBC＝∠OCB
C．S△AOB＝S△COD D．∠BCD＝∠BDC
【答案】D。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】A．根据等腰梯形对角线相等的性质，得AC＝BD，∴选项正确；B．根据等腰梯形腰和同一底上的底角相等的性质以及全等三角形SAS的判定，得△ABC≌△DCB，从而由全等三角形对应角相等的性质，得∠OBC＝∠OCB，∴选项正确；C．由△ABO≌△DCO，得S△AOB＝S△COD，∴选项正确；D．∵BD不一定等于BC，∴∠BCD不一定等于∠BDC，∴选项不一定正确。故选D。
9.（山东潍坊3分） 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确的是.
A．CP平分∠BCD B．四边形ABED为平行四边形
C．CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分 D．△ABF为等腰三角形
【答案】C。
【考点】直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。
【分析】用排除法证明，即证明A、B、D正确，C不正确：A．易证△BCF≌△DCE（SAS），∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，∴△BPE≌△DPF（AAS），∴BP=DP，∴△BPC≌△DPC（SSS），∴∠BCP=∠DCP，即A正确；
B．∵AD=BE且AB∥BE，∴四边形ABED为平行四边形，B正确；D．∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即D正确。综上，选项A、B、D正确。故选C。
10.（山东临沂3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．AD=2，BC=6，∠B=60°，则梯形ABCD的周长是
A、12 B、14 C、16 D、18
【答案】C。
【考点】等腰梯形的性质，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】从上底的两个端点向下底作垂线，构造直角三角形和矩形，求得直角三角形的直角边的长利用已知的锐角的度数求得等腰梯形的腰长，然后求得等腰梯形的周长：：作AE⊥BC于E点，DF⊥BC于F点，
∵AD∥BC，∴四边形AEFD为矩形，∵AD=2，BC=6，∴EF=AD=2，BE=CF=（6﹣2）÷2=2，∵∠B=60°，
∴∠BAE=30°，∴AB=DC=2BE=2×2=4，∴等腰梯形的周长为：AB+BC+CD+DA=4+6+4+2=16。故选C。
11.（山东淄博3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=1，BD平分∠ABC，
BD⊥CD，则AD＋BC等于
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B。
【考点】角平分线的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的性质，垂直的性质，三角形内角和定理，含300角的直角三角形的性质。
【分析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC。又∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB。∴∠ABD＝∠ADB。
∴AD＝AB＝1。
又∵等腰梯形ABCD，∠C＝∠ABC＝2∠DBC。又∵BD⊥CD，∴∠CDB＝900。∴∠DBC＝300。
∴BC＝2DC＝2。
∴AD＋BC＝1＋2＝3。故选B。
12. （湖北武汉3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是
     A.40°. B.45°. C.50°. D.60°.
【答案】C。
【考点】等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质
【分析】∵AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，∴∠CBD=∠CDB=∠ABD=25°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°，
又梯形ABCD中，AD=DC=CB，∴为等腰梯形。∴∠BAD=∠ABC=50°。
13.（湖北宜昌3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是
A、∠HGF=∠GHE B、∠GHE=∠HEF
C、∠HEF=∠EFG D、∠HGF=∠HEF
【答案】D。
【考点】等腰梯形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质。
【分析】利用三角形中位线定理证明四边形HEFG是平行四边形，从而可以得到结论：连接BD，∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴HEGE=BD，∴四边形HEFG是平行四边形，∴∠HGF=∠HEF。故选D。
A D
B C
14.（四川遂宁4分）如图：等腰梯形ABCD中 ，AD∥BC，AB=DC，
AD=3，AB=4,∠B=60，则梯形的面积是
A. B.
C. D.
【答案】A。
【考点】等腰梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质。
【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF。
∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形。
∴AD=EF=3。
∵∠B=60°，∠AEB=90°，AB=4，
∴AE=ABsin60°=，BE=ABcos60°=.
根据等腰梯形的的对称性，得CF=BE=2，∴BC=7。
∴梯形的面积= 。故选A。
15.（四川绵阳3分）已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD = 30°，AC⊥BC，AB = 8 cm，则△COD的面积为
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】A。
【考点】等腰梯形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，平行的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于E，OG⊥CD于E。
∵AC⊥BC，∴根据等腰梯形的轴对称性，得∠ADB = 90°。
又∵∠ABD = 30°，AB = 8 cm，∴AD=4 cm，∠ADE = 30°。
∴AE=BF=2 cm。∴EF=4 cm。
∵EFCD是矩形，∴DC= EF=4 cm。
∵AB∥CD，∴∠CDO = ∠ABD = 30°。
又∵根据等腰梯形的轴对称性，OC=OD，∴DG=CG=2 cm。
∴OG=DG·tan30°=（cm）。∴△COD的面积为（cm2）。
故选A。
16.（宁夏自治区3分）等腰梯形的上底是2cm，腰长是4cm，一个底角是60°，则等腰梯形的下底是
A、5cm B、6cm C、7cm D、8cm
【答案】B。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，等边三角形的判定和性质。
【分析】过D作DE∥AB交BC于E，
∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形（平行四边形的定义）。
∴AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，（平行四边形的性质）；∠DEC=∠B=60°（平行的性质）。
又∵DE= DC，∴△DEC是等边三角形（等边三角形的判定）。
∴EC=CD=4cm（等边三角形的性质）。∴BC=4cm+2cm=6cm。故选B。
17.（新疆乌鲁木齐4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD于点O，∠BAC=60°，若BC=，则此梯形的面积为
A．2 B． C． D．
【答案】D。
【考点】等腰梯形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，特殊角的三角函数值。
【分析】由等腰梯形轴对称的性质，知点O在其对称轴上，因此OB=OC，OD=OA。
∵AC⊥BD，∴△OBC和△OAD是等腰直角三角形。
∴由BC=，根据勾股定理，可得OB=OC=。
在Rt△AOB中，由∠BAC=60°，OB =，根据正切函数定义，可得OA= OD =1。
∴此梯形的面积为四个直角三角形面积的和：。
故选D。
二、填空题
1.（重庆江津4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线长为5，高为6，则它的面积是　 ▲ 　．
【答案】30。
【考点】梯形中位线定理。
【分析】利用梯形的中位线的定义求得两底和，在利用梯形的面积计算方法计算即可：
∵中位线长为5，∴AD+BC=2×5=10。
∴梯形的面积为：×10×6=30。
2.（辽宁本溪3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若BC=2AD=8，则tan∠ABE= ▲ 。
【答案】3。
【考点】等腰梯形的的性质，平行的性质，锐角三角函数，勾股定理。
【分析】过D点作DF∥AC交BC的延长线与点F，构造等腰直角三角形后求得AE的长和BE的长，利用锐角三角函数的定义求解即可：
∵在梯形ABCD中，BC＝2AD＝8，∴AE＝2。
∵AC⊥BD于点O，∴BD⊥FD。
∵AD∥BC，∴AD＝CF。∴BF＝BC＋CF＝8＋4＝12。
∵AC＝BD，∴BD＝DF。
∴AC＝BD＝12÷＝6 。∴，A E＝6。
∴tan∠ABE＝ 。
3.（广西桂林3分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，BE∥AD，梯形ABCD的周长为26，DE=4，则△BEC的周长为 ▲ ．
【答案】18。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。
【分析】由AB∥DC，BE∥AD，即可证得四边形ADEB是平行四边形，则可得AD=BE，AB=DE，又由梯形ABCD的周长为26，即AD＋CD＋BC＋AB=AD＋DE＋EC＋BC＋AB=BE＋2DE＋EC＋BC=26和 DE=4，即可求得△BEC的周长：BE＋EC＋BC=18。
4.（广西南宁3分）如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100º，则梯形残缺底角的度数是 ▲ ．
【答案】80º。
【考点】梯形的性质，平行线的性质。
【分析】补全梯形，根据梯形的性质，知DC∥AB，从而根据平行线同旁内角互补的性质，得梯形残缺底角的度数是180º－100º＝80º。
5.（湖南邵阳3分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2cm，则上底DC的长是 ▲ cm．
【答案】2。
【考点】等腰梯形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质。
【分析】∵AB∥DC，∴∠DCA=∠CAB。
∵AC⊥BC，∠B＝60°， ∴∠DAC=∠CAB=30°。
∴∠DCA=30°＝∠DCA 。∴AD=CD 。
∵AD＝BC =2 ∴CD=2。
6.（江苏南京2分）等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为 ▲ ㎝．
【答案】6。
【考点】等腰梯形的中位线。
【分析】由已知，等腰梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰长＝上底＋下底＋10＝22，即上底＋下底＝12。从而中位线＝(上底＋下底)÷2＝6。
7.（江苏盐城3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画
线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是 ▲ ．
【答案】等腰梯形。
【考点】矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的性质，等腰梯形的判定。
【分析】根据矩形的性质，有等于三角板较大锐角（内错角相等），等于∠ABC（相
似三角形对应角相等），且AB≠CD，从而得证四边形ABCD的形状是等腰梯形。
8.（江苏宿迁3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分
线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，
则AB的长度是 ▲ cm．
【答案】15。
【考点】平行的性质，角的平分线定义，等腰三角形的性质。
【分析】∵AB∥DC，∴∠EDC＝∠AED，∠ECD＝∠BEC。
又∵DE平分∠ADC，CE平分∠BDC，∴∠EDC＝∠ADE，∠ECD＝∠BCE。
∴∠AED＝∠ADE，∠BEC＝∠BCE。
∴AD＝AE＝7cm，BC＝BE＝8cm，AB＝AE＋BE＝15cm。
9.（江苏连云港3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角长为_ ▲ ．
【答案】。
【考点】等腰梯形，翻转，勾股定理。
【分析】等腰梯形两组对边中点所连线段，实际上两底的中点所连线段是等
腰梯形的高，即图中BE；两腰中点所连线段是等腰梯形上底与下底和的一半，
即，把，这样。
等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8可表示为，而在
中，。从而BD＝。
10. （湖北十堰3分）如图等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB//DE，BC=8，AB=6，AD=5，则△CDE的周长是 ▲ .
【答案】15。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。
【分析】根据等腰梯形的性质可得到DE将梯形分为一个平行四边形和一个等腰三角形，则可求△CDE的周长：∵AD∥BC，AB∥DE，∴ABED是平行四边形。∴DE=CD=AB=6，EB=AD=5。∴CE=8-5=3。∴△CDE的周长是6+6+3=15。
11.（湖北荆州4分）请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面
积相等的六部分，用实线画出分割后的图形.
【答案】

【考点】作图（应用与设计作图）。
【分析】整个图形含有36个小菱形，分为面积相等的六部分，则每一个部分含6个小菱形，由此设计分割方案。本题答案不唯一。
12.（湖北咸宁3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=4，点E在AB边上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，则点E到CD的距离为　▲　．
【答案】2。
【考点】直角梯形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。
【分析】过点E作EF⊥CD于F，过点D作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A=∠B=90°。
∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴AE=EF，BE=EF。∴EF=AE=BE=AB，
∴△ADE≌△FDE，△CEF≌△CEB，∴DF=AD=2，CF=CB=4。∴CD=6。
∵AB⊥BC，DH⊥BC，AD∥BC，∴∠A=∠B=∠BHD=90°。∴四边形ABHD是矩形。
∴DH=AB，BH=AD=2。∴CH=BC﹣BH=2。
在Rt△DHC中，DH=，∴EF=2。
∴点E到CD的距离为2。
13.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】角平分线和垂直的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，梯形的面积，一元一次方程的应用。
【分析】延长BA与CD，交于F，
∵CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠FCE。
∵CE⊥AB，∴∠BEC=∠FEC=90°。
∵EC=EC，∴△BCE≌△FCE（ASA）。∴BE=EF。
∵BE=2AE，∴BF=4AF。
又∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC。∴。
设S△FAD=x，S△FBC=16x，S△BCE=S△FEC=8x，∴S四边形AECD=7x。
∵四边形AECD的面积为1，∴7x=1，∴x=。
∴梯形ABCD的面积为：S△BCE+S四边形AECD=15x=。
14.（四川达州3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，则S△AOD ▲ S△BOC．（填“＞”、“=”或“＜”）
【答案】=。
【考点】梯形的性质，三角形的面积。
【分析】由题意得：△ABD和△ABC的同底等高，∴S△ABD和S△ABC相等。
∴S△AOD=S△ABD－S△AOB=S△ABC－S△AOB=S△BOC。
15.（四川眉山3分）如图，梯形ABCD中，如果AB∥CD，AB=BC，∠D=60°，AC丄AD，则∠B= ▲ ．
【答案】120°。
【考点】三角形内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质。
【分析】由∠D=60°，AC丄AD，得到∠ACD=30°，
由AB∥CD，根据平行线内错角相等的性质得到∠BAC=∠ACD=30°，
又因为AB=BC，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠BCA=∠BAC=30°，
最后根据三角形的内角和定理计算出∠B=1800－2×30°=120°。
16.（辽宁营口3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝1∶2，AE⊥BC，垂足为E，连结BD交AE于F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为 ▲ ．
【答案】1∶4。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】过点A作AM∥DC，交BC于M，则由AD∥BC得，四边形ADCM是平行四边形。所以由等腰梯形ABCD中，AD∶BC＝1∶2得AM＝DC＝AB，BM＝MC＝AD。由AD∥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，得BE＝EM，即BE∶DA＝1∶2。
由AD∥BC，得△BFE∽△DFA，因此根据相似三角形的面积比等于相似比平方的性质，得△BFE的面积与△DFA的面积之比为1∶4。
17.（福建福州4分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，则∠A+∠B+∠C=　 ▲ 　度．
【答案】270°。
【考点】直角梯形的性质，平行线的性质，
【分析】根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，由已知∠C=90°，相加即可求出答案：∠A+∠B+∠C=180°+90°=270°。
三、解答题
1.（重庆１０分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：CF=AB+AF．
【答案】解：（1）∵BD⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DBC=45°=∠DCB。
∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC=。
∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG=BC=。
∴EG的长是。
（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°。
∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF。
∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD（SAS）。∴AD=DH，∠ADB=∠HDC。
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°。∴∠HDC=45°。∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°。
∴∠ADB=∠HDB。
∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF（SAS）。∴AF=HF。∴CF=CH+HF=AB+AF。
∴CF=AB+AF。
【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质；直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理。
【分析】（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG。
（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案。
2．（重庆潼南10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．
【答案】解：（1）连接AC，
∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC。
∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC。∴∠ACD=∠ACB。
∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°。
∵AC=AC，∴△ADC≌△AEC（AAS）。∴AD=AE。
（2）由（1）知：AD=AE，DC=EC，
设AB=，则BE=﹣4，AE=8，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，由勾股定理得：AE2＋BE2=AB2，
即82+（﹣4）2=2，解得：=10。
∴AB=10。
【考点】直角梯形和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）连接AC，证明△ADC与△AEC全等即可。
（2）设AB=，然后用表示出BE，利用勾股定理得到有关的方程，解得即可。
3.（浙江杭州10分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F。
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值。
【答案】解：（1）∵EF是△OAB的中位线，∴EF∥AB，EF= AB。
而CD∥AB，CD= AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，∴△FOE≌△DOC（ASA）。
（2）∵在Rt△ABC中，AC= ，
∴sin∠OEF=sin∠CAB=。
（3）∵AE=OE=OC，EF∥CD，∴△AEG∽△ACD。
∴ ，即EG= CD。
同理FH= CD，
∴
【考点】直角梯形的性质，三角形中位线定理，平行的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的定义。
【分析】（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF= AB，又CD∥AB，CD= AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC。
（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC与
BC的关系，再求正弦值；
（3））由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD，同理得
FH= CD，又AB=2CD，代入 中求值即可。
4.（辽宁大连9分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是BC的中点，
求证：∠DAM＝∠ADM．
【答案】证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠B=∠C，AB=DC。
∵M是BC的中点，∴BM=CM。∴△ABM≌△DCM（SAS）。
∴AM=DM，∴∠DAM=∠ADM。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。
【分析】根据等腰梯形的性质得出∠B=∠C，AB=DC，由SAS证出△ABM≌△DCM，得到AM=DM即可。
5.（湖南郴州8分）在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC，对角线BD平分∠ABC．
求证：梯形ABCD是一个等腰梯形．
【答案】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。
∴∠ADB=∠ABD。∴AB=AD。
∵AD=DC，∴AB=CD。
∵四边形ABCD是梯形，∴梯形ABCD是等腰梯形。
【考点】等腰梯形的判定，平行线的性质。
【分析】根据平行线的性质推出∠ADB=∠DBC，根据角平分线的性质推出∠ADB=∠ABD，得出AD=AB，求出AB=CD，即可推出答案。
6.（湖南益阳6分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD =DC，
求证：AC是∠DAB的平分线．
【答案】解：∵AB∥CD， ∴。
∵AD =DC，∴。
∴ ， 即AC是∠DAB的平分线。
【考点】梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质。
【分析】利用梯形的一组对边平行可以得到内错角相等，然后利用等边对等角得到两个角相等，从而得到两个角相等，证得结论。
7.（山东菏泽7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．
【答案】解：过点A作AG∥DC，
∵AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形。∴GC=AD。
∴BG=BC﹣AD=4﹣1=3。
在Rt△ABG中，AG=。
∵EF∥DC∥AG，∴，∴EF=。
【考点】梯形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例
【分析】过点A作AG∥DC，然后证明四边形AGCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到GC=AD，然后利用已知条件求出BG，再在Rt△ABG中利用勾股定理求出AG，又EF∥DC∥AG，利用平行线分线段成比例即可解决问题。
8.（广东河源9分） 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．
(1)点C是否在以AB为直径的圆上?请说明理由;
(2)当AB=4时，求此梯形的面积．
【答案】解：(1) 点C在以AB为直径的圆上。理由如下：
连接CM。这样△ACM是△ACD翻折后得到的，∴△ACM≌△ACD。
∴∠DAC=∠MAC，AM=AD。
又∵AB∥CD，∴∠DCA=∠MAC。
∴∠DAC=∠DCA。∴AD=DC。
∴四边形AMCD是菱形。∴AM=CM。∠ACM=∠CAM。
又∵AD=BC，AM=BM，∴CM==BM=BC。
∴△CBM是等边三角形。
∴∠BCM=∠BMC=600。
又∵∠BMC=∠ACM+∠CAM，∴∠ACM=300。
∴∠BCA=∠ACM+∠BCM=900。
∴点C在以AB为直径的圆上。
（2）过C作CE⊥AB于E。
∵AB=4，∴DC=CM=2，
∴在Rt△MCE中，CE=CM·sin∠BMC=2 sin600=.
∴梯形的面积=。
【考点】翻折对称，全等三角形的性质，平行的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三
角形外角和定理，直径所对圆周角的的判定，解直角三角形。
【分析】(1)要证点C在以AB为直径的圆上，只要证∠BCA=900即可。要证∠BCA=900， 连接CM，证∠BCA∠BCA=∠ACM+∠BCM=900即可。考虑到已知的△ACM≌△ACD，AB∥CD,AD=BC和AM=AD就易证得△CBM是等边三角形。从而得证。
（2）要求梯形的面积，即要求出它的上下底和高。由(1)知上底等于下底的一半；作高线CE，在Rt△MCE中利用正弦函数即可求得。
9. （河南省9分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M．
（1）求证：△AMD≌△BME；
（2）若N是CD的中点，且MN=5，BE=2，求BC的长．
【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠A=∠MBE，∠ADM=∠E，
在△AMD和△BME中，，∴△AMD≌△BME（ASA）。
（2）∵△AMD≌△BME，∴MD=ME，ND=NC。∴MN=EC。
∴EC=2MN=2×5=10，∴BC=EC﹣EB=10﹣2=8。
答：BC的长是8。
【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理。
【分析】（1）找出全等的条件：BE=AD，∠A=∠ABE，∠E=∠ADE，即可证明。
（2）首先证得MN是三角形的中位线，根据MN=（BE+BC），又BE=2，即可求得 。
10.（湖北黄石7分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E
是BC的中点，连接.AE、DE。
求证：AE=DE.
【答案】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C．
∵E是BC的中点，∴BE=CE。
在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）。∴AE=DE。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】利用等腰梯形的性质证明△ABE≌DCE后，利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等。
11.（湖北荆州9分）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在轴上，顶点C在轴
正半轴上，B，一次函数的图象平分它的面积，关于的函数
的图象与坐标轴只有两个交点，求的值.
【答案】解：过B作BE⊥AD于E，连接OB、CE交于点P，
∵P为矩形OCBE的对称中心，∴过P点的直线平分矩形OCBE的面积.。
∵P为OB的中点，而B（4，2）， ∴P点坐标为（2，1）。
在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC＝BE，AB＝CD，
∴Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），∴S△ODC＝S△EBA。
∴过点（0，－1）与P（2，1）的直线平分等腰梯形面积，
这条直线为。
∴， ∴。
∵的图象与坐标轴只有两个交点，
①当＝0时，，其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）。
②当≠0时，函数的图象为抛物线，
且与y轴总有一个交点（0，2+1），
若抛物线过原点时，2+1=0，即=，此时=＞0，
∴抛物线与轴有两个交点且过原点，符合题意。
若抛物线不过原点，且与轴只有一个交点，也合题意，
此时=0，∴。
综上所述，的值为=0或或－1。
【考点】等腰梯形的性质，函数与图象与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式。，
【分析】过B作BE⊥AD于E，连接OB、CE交于点P，根据矩形OCBE的性质求出B、P坐标，然后再根据相似三角形的性质求出的值，将解析式中的化为具体数字，再分=0和≠0两种情况讨论，得出的值。
12.（四川资阳9分）如图1，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EFDE，交直线AB于点F．
(1) 若点F与B重合，求CE的长；(3分)
(2) 若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长；(4分)
(3) 设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式(直接写出结果即可)．(2分)

【答案】解：(1) ∵F与B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC。
∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°。∴四边形ABED为矩形。
∴BE=AD=9。∴CE=12－9=3。
(2) 作DH⊥BC于H，则DH= AB=7，CH=3。
设AF＝CE=x，
∵F在线段AB上，∴点E在线段BH上。
∴HE=x－3，BF=7 –x。
∵∠BEF+9