2021年华师大一附中自主招生数学试题含详解.doc

华师一附中高中招生考试
数学测试题详解
考试时间:80分钟 卷面满分:150分
一.选取题（6分×6=36分）
1,如果实数在数轴上位置如图所示,那么代数式可以化简为

【解析】由图知
,
故
,选D.
2.反比例函数图象与直线交于两点,则△OAB面积为

【解析】（补形）
.故有A（－1,4）,B（－4,1）.
作AE⊥y轴于E,BD⊥x轴于D.可知：
△AOE≌△BOD.且.
延长EA,DB交于C,则四边形CDOE是边长为
4正方形,且△ABC是腰长为3等腰直角三角形,且.
于是△OAB面积为
3.设是一元二次方程两根,则等于
A.－4 B.8 C.6 D.0
【解析】（降次）由韦达定理:
,故选A.
4.已知三边长,且满足,则△ABC是
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
注:原题条件不完整（是代数式而不是条件等式）,故无法解出.为试卷完整起见,将原题条件调节为:
已知三边长,且满足,则△ABC是⋯.
【解析】由条件得：
.
故△ABC是等腰直角三角形,选B.
5.在一节3数学实践活动课上,教师拿出三个边长都为40mm正方形硬纸板,她向同窗们提出了这样一种问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一种圆形硬纸板将其盖住,这样圆形硬纸板
最小直径为（单位：mm）

【解析】当3个正方形按如图排列时,其外接圆直径
最小.显然,这个圆是等腰梯形ABCD外接圆O,这里AB∥CD且CD=40,AB=80.
设此等腰梯形对称轴交AB于M,交CD于N,则MN=80.
∵AB>CD,∴OM<ON.设OM=40－x,ON=40+x,圆半径为r.
△AOM中,
△DON中,
（1）－（2）：,代入（2）

故所求最小圆直径为,故选C.
6.如图,△ABC内接于圆O,BC=36,∠A=60°,点D为上一动点,BE⊥直线OD于E,当点D由B点沿运动到点C时,点E通过路线长为

【解析】（轨迹法）如解图,连结OB,分别在
上取其中,则相应动点
依次为
.故点E轨迹是OB为直径优弧.
已知BC=36,∴是含30°角直角三角形,∴.
设M为OB中点（优弧圆心）,连MN.则圆M半径MB=.
注意到∠BOC=120°,∴∠BON=60°,∠BMN=120°，优弧之长为圆M周长,故选B.
二.填空题（7×7=49分）
7.方程所有根和为
【解析1】.依照广义韦达定理,此方程3根之和为4.
即
【解析2】由原方程得:
.
8.在5瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,随机地从这5瓶饮料中取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料概率为
【解析】（正繁则反）由于从这5瓶饮料中任取2瓶,没有过期饮料概率为
故取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料概率为
9.关于x方程无解,则值是
【解析】由原方程得:
关于x方程（1）只有唯一解,代入（1）得,此时原方程无解;
又在方程（1）中令得.矛盾.此时方程（1）无解,从而原方程无解.
故若原方程无解,则必.
10.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同步出发,分别以各自速度在甲乙两地间匀速行驶,1小时后,快车司机发既有重要文献遗忘在出发地,便及时返回拿上文献（取文献时间不计）后再从甲地开往乙地,成果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶速度为x（h）,两车之间距离为y（km）,y与x函数图象如图所示,则
【解析】慢车12.5小时走完全程,

设快车速度为t（h）
∵1小时后两车相距800km,即
1小时两车共行200km,
∴t=120km（h）
∵a小时后两车相遇,此时慢车走80akm,快车走120（a－1）km,故有:

11.已知最小值为－23,则=
【解析】原式配方得:,抛物线开口向上且对称轴为.当,故当时,y随x增大而减小.故当x=3时有:

12.如图,在单位为1正方形网格纸上,都是斜边在x轴上,且斜边长分别为2,4,6,⋯等腰直角三角形.若顶点分别为则依图中规律,坐标为
【解析】注意到点全在x轴上,设其横坐标依次为..
继续分析.点都在原点右边,其横坐标取正值,点都在原点左边（其中为原点）,其横坐标取0或负值（其中仅横坐标为0）.
∵=4×504－1,故必在原点左边,其横坐标必为负值.
易求
,故所求点A坐标为:.
13.有一张矩形风景画,长为90cm,宽为60cm,现对该风景画进行装裱,得到一种新矩形,规定其长,宽之比与原风景画长,宽之比相似,且面积比原风景画面积大44%.若装裱后上,下边衬宽都为cm,左,右边衬都为cm,那么

【解析】依题意有:
（据等比定理）
故
又:

（1）代入（2）：
解得：,从而.
三.解答题
14.（14分）已知m,n是方程两根,
（1）求值;
（2）求值
【解析】（1）∵故

.
（2）m,n是方程两根,
设,则

=7.
15.（15分）如图,△ABC中,AC=BC,I为△ABC内心,O为BC上一点,过B,I两点圆O交BC于D点,
（1）求线段BD长；
（2）求线段BC长
【解析】（1）如解图,I为△ABC内心,故BI平分
∠ABC.设∠ABI=∠CBI=α.
连CI,并延长交AB于E,∵CA=CB,∴CE⊥AB,且
AE=BE=3.于是.
连DI,∵BD为圆O直径,∴∠BID=90°.于是
.
（2）连OI,∵OI=OB=,∴∠DOI=2α,故OI∥AB,
△COI∽△CBE,
.
16.（18分）如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,AD=6,BC=3,DE⊥AB于E,AC交DE于F,
（1）求AE·AB值;
（2）若CD=4,求值;
（3）若CD=6,过A点作
AM∥CD,交CE延长线于M，求值.
【解析】（1）如解图1,作AG∥BC,交
CB延长线于G,则四边形AGCD为矩形.
∴GC=AD=6,但BC=3,∴GB=3.
已知DE⊥AB于E,∴△AGB∽△DEA.
于是
（2）延长AB,DC交于H.∵AD∥BC,且
AD=2BC,∴BC为△AHD中位线,故
CH=DC=4.由勾股定理知AH=10,AB=BH=5.
沿DE,CB交于T,有△AED∽△BTE.
Rt△ADH中,DE⊥AH,
.于是

由△AFD∽△CFT,知.
（3）如解图3有

∵△AEM∽△HEC,
17.（18分）二次函数图象与x轴交于,与y轴交于c点.
（1）若AB=2,且抛物线顶点在直线y=－x－2上,试拟定m,n值;
（2）在（1）中,若点P为直线BC下方抛物线上一点,当△PBC面积最大时,求P点坐标;
（3）与否存在整数m,n,使得同步成立?请证明你结论.
【解析】（1）.
由韦达定理:,故有:
抛物线顶点为,代入y=－x－2:
代入（1）：
从而.
（2）在（1）条件下,有：
此抛物线顶点为（2,－4）,交x轴于A（1,0）,B（3,0）,交y轴于C(0,12）
易求直线BC解析式为.
为使△PBC面积最大,只需点P与直线BC距离最远.
设过P且平行于BC直线解析式为,代入抛物线解析式;

.此时有
即所求点坐标为.
（3）（反证法）如果存在这样整数m,n,使得方程之2根满足.那么:

方程之2根为:
由
由
当m=5时,2m－4=6>4m－16=4,依照（3）,（4）,取2m－4<,即
,无整数解,舍去;
当m=6时，2m－4=8=4m－16，依照（3）,（4）,取2m－4<,即
无整数解,舍去;
当m=7时，2m－4=10<4m－16=12. 依照（5）,（4）,取即无整数解,舍去.
据上分析,不存在整数m,n,使得同步成立.